逆余弦関数（arccos関数）の極限

逆余弦関数\(\arccos \left( x\right) :\left[ -1,1\right] \supset X\rightarrow \left[ 0,\pi \right] \)が点\(a\in \left[ -1,1\right] \)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\arccos \left( x\right) =\arccos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

逆余弦関数は\(\left[ -1,1\right] \)上に定義可能であるため、関数\begin{equation*}\arccos \left( x\right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \left[ 0,\pi \right] \end{equation*}が定義可能です。定義域の内点\(a\in \left( -1,1\right) \)を任意に選んだとき、\(\arccos \left( x\right) \)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\arccos \left( x\right) =\arccos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arccos \left( x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)は多項式関数\(x+1\)と逆余弦関数\(\arccos \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の内点\(a\in \left(-2,0\right) \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( x+1\right) =a+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a+1\in\left( -1,1\right) \)であるため、逆余弦関数\(\arccos \left( x\right) \)は点\(a+1\)の周辺の任意の点において定義されています。したがって、逆余弦関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a+1}\arccos \left( x\right) =\arccos \left( a+1\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\arccos \left( x\right) \)は点\(a+1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\arccos
\left( x+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\arccos \left( a+1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arccos \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ \frac{x^{2}-1}{x-1}\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)と逆余弦関数\(\arccos\left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の内点\(a\in \left( -2,0\right) \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) =\frac{a^{2}-1}{a-1}=a+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(a+1\in\left( -1,1\right) \)であるため、逆余弦関数\(\arccos \left( x\right) \)は点\(a+1\)の周辺の任意の点において定義されています。したがって、逆余弦関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a+1}\arccos \left( x\right) =\arccos \left( a+1\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\arccos \left( x\right) \)は点\(a+1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\arccos \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\arccos \left( a+1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

逆余弦関数\(\arccos \left( x\right) :\left[ -1,1\right] \supset X\rightarrow \left[ 0,\pi \right] \)が点\(a\in \left[ -1,1\right] \)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\arccos \left( x\right) =\arccos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。また、\(\arccos \left( x\right) \)が点\(a\in \left[ -1,1\right] \)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\arccos \left( x\right) =\arccos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。

逆余弦関数は\(\left[ -1,1\right] \)上に定義可能であるため、関数\begin{equation*}\arccos \left( x\right) :\left[ -1,1\right] \rightarrow \left[ 0,\pi \right] \end{equation*}が定義可能です。定義域の端点\(-1\)に注目したとき、逆余弦関数の右側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -1+}\arccos \left( x\right) =\arccos \left( -1\right)
=\pi
\end{equation*}となります。定義域のもう一方の端点\(1\)に注目したとき、逆余弦関数の左側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1-}\arccos \left( x\right) =\arccos \left( 1\right) =0
\end{equation*}となります。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arccos \left( x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)は多項式関数\(x+1\)と逆余弦関数\(\arccos \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の端点\(-2\)に注目したとき、多項式関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -2+}\left( x+1\right) =-2+1=-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(x+1\)は\(-1\)よりも大きい値をとりながら\(-1\)に限りなく近づきます。逆余弦関数\(\arccos \left(x\right) \)は点\(-1\)以上の周辺の任意の点において定義されています。したがって、逆余弦関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -1+}\arccos \left( x\right) =\arccos \left( -1\right)
=\pi \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\arccos \left( x\right) \)は点\(-1\)において右側連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -2+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -2+}\arccos
\left( x+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\pi \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。定義域のもう一方の端点\(0\)に関しても同様に考えることにより、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を得ます（演習問題）。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arccos \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ \frac{x^{2}-1}{x-1}\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)と逆余弦関数\(\arccos\left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。定義域の端点\(-2\)に注目したとき、有理関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -2+}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) =\frac{\left(
-2\right) ^{2}-1}{\left( -2\right) -1}=-1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(x+1\)は\(-1\)よりも大きい値をとりながら\(-1\)に限りなく近づきます。逆余弦関数\(\arccos \left(x\right) \)は点\(-1\)以上の周辺の任意の点において定義されています。したがって、逆余弦関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow -1+}\arccos \left( x\right) =\arccos \left( -1\right)
=\pi \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\arccos \left( x\right) \)は点\(-1\)において右側連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -2+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -2+}\arccos
\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\pi \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。定義域のもう一方の端点\(0\)に関しても同様に考えることにより、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を得ます（演習問題）。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arccos \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \ |\ \frac{1}{x}\in \left[ -1,1\right] \right\}
\\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}です。\(f\)は有理関数\(\frac{1}{x}\)と逆余弦関数\(\arccos \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。関数\(\frac{1}{x}\)は限りなく大きい任意の点において定義されており、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(\frac{1}{x}\)は\(0\)より大きい値をとりながら\(0\)へ限りなく近づきます。逆余弦関数\(\arccos \left(x\right) \)は点\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されています。したがって、逆余弦関数の右側極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}\arccos \left( x\right) =\arccos \left( 0\right) =\frac{1}{2}\pi \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます（関数\(\arccos \left( x\right) \)は点\(0\)において右側連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\arccos \left( \frac{1}{x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\pi \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。負の無限大における極限についても同様に考えることにより、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\frac{1}{2}\pi
\end{equation*}を得ます（演習問題）。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arccos \left( x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。以下の片側極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arccos \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ \frac{x^{2}-1}{x-1}\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \ |\ x+1\in \left[ -1,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,0\right] \end{eqnarray*}です。以下の片側極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arccos \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \ |\ \frac{1}{x}\in \left[ -1,1\right] \right\}
\\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}です。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。