有界変動関数の定数倍
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot f\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
c\cdot f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動であるものとします。つまり、関数\(f\)の区間\(\left[ a,b\right] \)上での全変動\begin{eqnarray*}TV\left( f\right) &=&\sup \left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&=&\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right) -f\left(
x_{k-1}\right) \right\vert \in \mathbb{R} \ |\ \left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{eqnarray*}が有限な実数として定まるということです。この場合、関数\(c\cdot f\)もまた区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動になることが保証されるとともに、両者の全変動の間には以下の関係\begin{equation*}TV\left( c\cdot f\right) =\left\vert c\right\vert \cdot TV\left( f\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(c\cdot f\)が与えられたとき、\(c\cdot f\)もまた区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動であるとともに、\(f\)の全変動を\(\left\vert c\right\vert \)倍すれば\(c\cdot f\)の全変動が得られます。したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(c\cdot f\)の有界変動性を検討する際には、\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が有界変動であることを確認すればよいということになります。
\end{equation*}という関係が成立する。
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)は区間\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動です。関数\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍（\(-1\)倍）として定義されているため、先の命題より、\(f\)もまた\(\left[ a,b\right]\)上で有界変動です。さらに、恒等関数\(x\)の全変動が、\begin{equation}TV\left( x\right) =b-a \quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると（確認してください）、先の命題より、関数\(f\)の全変動は、\begin{eqnarray*}TV\left( f\right) &=&TV\left( -x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert -1\right\vert \cdot TV\left( x\right) \\
&=&1\left( b-a\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&b-a
\end{eqnarray*}です。
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