実数ベキ関数（実数指数の累乗関数）の定義と具体例

実数ベキ関数

実数\(a\in \mathbb{R} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(n\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}
\end{equation*}と定義した上で、これが指数法則などの性質を満たすことを示しました。

以上を踏まえた上で、非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、底が\(a\)であり指数が\(z\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{z}=\left\{
\begin{array}{cc}
a^{z} & \left( if\ z>0\right) \\
1 & \left( if\ z=0\right) \\
\dfrac{1}{a^{-z}} & \left( if\ n<0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定義した上で、これもまた指数法則を満たすことを示しました。

以上を踏まえた上で、正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と有理数\(\frac{z}{n}\ \left( z\in \mathbb{Z} ,n\in \mathbb{N} \right) \)が与えられたとき、底が\(a\)であり指数が\(\frac{z}{n}\)であるような累乗を、以下の条件\begin{equation*}\left( a^{\frac{z}{n}}\right) ^{n}=a^{z}\wedge a^{\frac{z}{n}}>0
\end{equation*}を満たす実数として定義した上で、これが1つの実数として定まるとともに、これもまた指数法則を満たすことを示しました。

以上を踏まえた上で、正の実数\(a>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}S\left( a,x\right) =\left\{ a^{r}\in \mathbb{R} \ |\ r<x\wedge r\in \mathbb{Q} \right\}
\end{equation*}と定めるとともに、底が\(a\)であり指数が\(x\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{x}=\left\{
\begin{array}{cl}
\sup S\left( a,x\right) & \left( if\ a>1\right) \\
1 & \left( if\ a=1\right) \\
\left( \frac{1}{a}\right) ^{-x} & \left( if\ 0<a<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義した上で、これが1つの実数として定まるとともに、これもまた指数法則を満たすことを示しました。

このような事情を踏まえた上で、底\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を固定した上で指数\(x\in \mathbb{R} \)を変数とみなした場合、全区間上に以下のような関数\begin{equation*}a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これを\(a\)を底とする指数関数と呼びました。

指数関数の場合とは逆に、指数\(p\in \mathbb{R} \)を固定した上で底\(x\in \mathbb{R} _{++}\)を変数とみなせば、\(\mathbb{R} _{++}\)上に以下のような関数\begin{equation*}x^{p}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数\(x^{p}\)を実数ベキ関数（power function with real exponent）や累乗関数（power function）などと呼びます。

\(0\)は実数であるため、\(0\)を指数とする実数ベキ関数\begin{equation*}x^{0}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、累乗の定義より、任意の\(x\in \mathbb{R} _{++}\)について、\begin{equation*}x^{0}=1
\end{equation*}が成り立つため、\(0\)を指数とする実数ベキ関数は定数関数\(1\)となってしまいます。このような事情もあり、多くの場合、\(x^{0}\)を実数ベキ関数から除外します。つまり、\(p\not=0\)を満たす実数\(p\in \mathbb{R} \)に対してのみ実数ベキ関数\(x^{p}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義するということです。

実数\(p\in \mathbb{R} \)と正の実数\(x\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、対数法則より、\begin{equation*}\ln \left( x^{p}\right) =p\ln \left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、これと対数の定義より、\begin{eqnarray*}
x^{p} &=&e^{p\ln \left( x\right) } \\
&=&\exp \left( p\ln \left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}を得ます。したがって、実数ベキ関数\(x^{p}\)は以下の関数\begin{equation*}\exp \left( p\ln \left( x\right) \right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と関数として一致することが明らかになりました。

例（実数ベキ関数）

\(\sqrt{2}\)は実数であるため、\(\sqrt{2}\)を指数とする実数ベキ関数\begin{equation*}x^{\sqrt{2}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

\(f\left( x\right) =x^{\sqrt{2}}\)とおいた場合、先の命題より、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x^{\sqrt{2}} \\
&=&\exp \left( \sqrt{2}\ln \left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&\exp \left( \sqrt{2}\ln \left( 1\right) \right) \\
&=&\exp \left( \sqrt{2}\cdot 0\right) \\
&=&\exp \left( 0\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となり、\begin{eqnarray*}
f\left( e\right) &=&\exp \left( \sqrt{2}\ln \left( e\right) \right) \\
&=&\exp \left( \sqrt{2}\cdot 1\right) \\
&=&\exp \left( \sqrt{2}\right) \\
&=&4.1133
\end{eqnarray*}となります。

例（実数ベキ関数）

\(-\sqrt{2}\)は実数であるため、\(-\sqrt{2}\)を指数とする実数ベキ関数\begin{equation*}x^{-\sqrt{2}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

\(f\left( x\right) =x^{-\sqrt{2}}\)とおいた場合、先の命題より、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x^{-\sqrt{2}} \\
&=&\exp \left( -\sqrt{2}\ln \left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
f\left( 1\right) &=&\exp \left( -\sqrt{2}\ln \left( 1\right) \right) \\
&=&\exp \left( -\sqrt{2}\cdot 0\right) \\
&=&\exp \left( 0\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となり、\begin{eqnarray*}
f\left( e\right) &=&\exp \left( -\sqrt{2}\ln \left( e\right) \right) \\
&=&\exp \left( -\sqrt{2}\cdot 1\right) \\
&=&\exp \left( -\sqrt{2}\right) \\
&=&0.24312
\end{eqnarray*}となります。

実数ベキ関数の狭義単調性

指数\(p\)が非ゼロである場合、実数ベキ関数\(x^{p}\)は狭義の単調関数になります。ただし、指数\(p\)が\(0\)より大きい場合には狭義単調増加関数であり、指数\(p\)が\(0\)より小さい場合には狭義単調減少関数です。

実数ベキ関数の値域

指数\(p\)が非ゼロである場合、実数ベキ関数\(x^{p}\)の値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。つまり、実数ベキ関数は任意の正の実数を値としてとり得ます。

例（実数ベキ関数）

関数\(x^{\sqrt{2}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(x^{\sqrt{2}}\)の指数\(\sqrt{2}\)は正の実数であるため、先の命題より\(x^{\sqrt{2}}\)は狭義単調増加関数であり、値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例（実数ベキ関数）

関数\(x^{-\sqrt{2}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(x^{-\sqrt{2}}\)の指数\(-\sqrt{2}\)は負の実数であるため、先の命題より\(x^{-\sqrt{2}}\)は狭義単調減少関数であり、値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

実数ベキ関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、実数\(p\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、実数ベキ関数\begin{equation*}x^{p}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)の値域が\(x^{p}\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
x^{p}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( x^{p}\circ f\right) \left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{p}
\end{equation*}を値として定めます。

実数\(p\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、実数ベキ関数\begin{equation*}x^{p}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(x^{p}\)の値域\(\mathbb{R} _{++}\)が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\mathbb{R} _{++}\subset X\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ x^{p}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ x^{p}\right) \left( x\right) =f\left( x^{p}\right)
\end{equation*}を定めます。