有理関数を定義します。有理関数は定義域中の任意の点において収束するとともに、連続です。

有理関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) \in \mathbb{R}\)が多項式の商として表されるならば、つまり、多項式関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}という形で表すことができる場合には、\(f\)を有理関数(rational function)と呼びます。

ゼロで割ることはできないため、多項式関数\(f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)は\(h\left( x\right) =0\)であるような\(x\)の値において定義されません。つまり、多項式関数\(f\)の定義域\(X\)は、\begin{equation*}
X=\{x\in \mathbb{R}\ |\ h\left( x\right) \not=0\}
\end{equation*}となります。

多項式関数\(f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)が与えられたとき、分母の関数が定数関数\(h\left( x\right) =1\)である場合には任意の\(x\)について\(f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{1}=g\left( x\right) \)となり、これは多項式関数です。つまり、多項式関数は有理関数の特殊ケースです。

例(有理関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{3x^{2}+5x-9}{2x}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理関数です。\(x=0\)の場合には分母が\(0\)になるため、\(f\)は\(x=0\)において定義されないことに注意が必要です。
例(有理関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{\sqrt{3}\}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{x^{2}+7x-\pi }{2\left( x^{2}-3\right) }
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理関数です。\(x=\sqrt{3}\)の場合には分母が\(0\)になるため、\(f\)は\(x=\sqrt{3}\)において定義されていないことに注意が必要です。

 

有理関数の極限

有理関数は多項式関数の商として定義されますが、多項式関数が任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において収束することはすでに明らかです。また、一般に、関数\(f,g\)が点\(\alpha \)において収束する場合には関数\(\frac{f}{g}\)もまた点\(\alpha \)において収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成立します。ただし、これは\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) \not=0\)の場合に限定されます。以上の事実を利用すると、有理関数の極限に関する以下の命題を証明できます。

多項式関数の極限について復習する 収束する関数の商について復習する
命題(有理関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が有理関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値は、多項式関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}という形で表すことができるものとする。また、\(X=\{x\in \mathbb{R}\ |\ h\left( x\right) \not=0\}\)である。この\(f\)は\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }h\left( x\right) \not=0\)を満たす任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow
\alpha }g\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }h\left(
x\right) }
\end{equation*}となる。
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例(有理関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{3x^{2}+5x-9}{2x}
\end{equation*}であるならば、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2}\left( \frac{3x^{2}+5x-9}{2x}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 2}\left( 3x^{2}+5x-9\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow 2}\left( 2x\right) } \\
&=&\frac{13}{4}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -1}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -1}\left(
\frac{3x^{2}+5x-9}{2x}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -1}\left( 3x^{2}+5x-9\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow -1}\left( 2x\right) } \\
&=&\frac{11}{2}
\end{eqnarray*}となります。

 

有理関数の連続性

有理関数は多項式関数の商として表されますが、多項式関数が任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において連続であることはすでに明らかです。また、一般に、関数\(f,g\)が点\(\alpha \)において連続であるならば関数\(\frac{f}{g}\)もまた点\(\alpha\)において連続です。ただし、これは\(g\left( \alpha \right) \not=0\)を満たす点\(\alpha \)に限定されます。以上の事実を利用すると、有理関数の連続性に関する以下の命題を証明できます。

多項式関数の連続性について復習する 連続関数の商について復習する
命題(有理関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が有理関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値は、多項式関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}という形で表すことができるものとする。また、\(X=\{x\in \mathbb{R}\ |\ h\left( x\right) \not=0\}\)である。この\(f\)は\(X\)上で連続である。
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例(有理関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{3x^{2}+5x-9}{2x}
\end{equation*}であるならば、上の命題より、この\(f\)は定義域\(\mathbb{R} \backslash \{0\}\)上で連続です。実際、\(0\)ではない任意の点\(\alpha \)において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( \frac{3x^{2}+5x-9}{2x}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }\left( 3x^{2}+5x-9\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }\left( 2x\right) } \\
&=&\frac{3\alpha ^{2}+5\alpha -9}{2\alpha } \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(\alpha \)において連続です。

次回からベキ関数について解説します学びます。

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