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有理関数

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有理関数

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数であるとは、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表すことができることを意味します。

定義域を共有する2つの多項式関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}を定める新たな関数\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。このような関数\(h\)を有理関数(rational function)と呼びます。ゼロで割ることはできないため、有理関数の分母を構成する関数\(g\)はゼロを値としてとりません。

例(有理関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{3x^{2}+5x-9}{2x}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理関数です。点\(0\)において分母は\(0\)になるため、\(f\)は点\(0\)において定義されないことに注意が必要です。
例(有理関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{\sqrt{3}\}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x^{2}+7x-\pi }{2\left( x^{2}-3\right) }
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理関数です。点\(\pm \sqrt{3}\)において分母は\(0\)になるため、\(f\)は点\(\pm \sqrt{3}\)において定義されないことに注意が必要です。
例(有理関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2-\frac{3}{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は定数関数と有理関数の差として定義されていますが、実際には、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\frac{2\left( x+1\right) }{x+1}-\frac{3}{x+1} \\
&=&\frac{2\left( x+1\right) -3}{x+1} \\
&=&\frac{2x-1}{x+1}
\end{eqnarray*}という変形が可能であるため、\(f\)は有理関数であることが明らかになりました。
例(有理関数)
多項式関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{1}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。右辺は多項式関数\(f\)と定数関数\(1\)の商ですが、定数関数は特別な多項式関数であるため右辺は有理関数です。したがって、それと一致する\(f\)もまた有理関数です。つまり、多項式関数は有理関数の特殊ケースです。

 

有理関数の定義域

繰り返しになりますが、関数\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有理関数であるとは、\(h\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}h\left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}と表されることを意味します。ただ、ゼロで割ることはできないため、有理関数\(h\)は\(g\left( x\right) =0\)となるような点\(x\)において定義されません。言い換えると、\(h\)の定義域となり得る最大の集合は、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ g\left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。

例(有理関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2x-1}{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を求めるために、分母が\(0\)になるような点を特定します。具体的には、\(x+1=0\)より\(x=-1\)であるため、\begin{eqnarray*}X &=&\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \\
&=&\left( -\infty ,-1\right) \cup \left( -1,+\infty \right)
\end{eqnarray*}となります。

例(有理関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2x^{2}-1}{x^{2}-1}-\frac{3x-2}{x^{2}-1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は2つの有理関数の差として定義されているため、\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を求めるために、それぞれの有理関数の分母が\(0\)になるような点を特定します。具体的には、\(x^{2}-1=0\)より\(x=\pm 1\)であるため、\begin{eqnarray*}X &=&\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,-1\right\} \\
&=&\left( -\infty ,-1\right) \cup \left( -1,1\right) \cup \left( 1,+\infty
\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(有理関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2-\frac{3}{x+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を求めてください。
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問題(有理関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2x^{2}-1}{x^{2}-1}/\frac{3x-2}{x^{2}-1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を求めてください。
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次回から累乗について解説します。

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