指数関数の定義

指数関数

正の実数\(a>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(x\)であるような累乗\(a^{x}\)と呼ばれる概念を定義するとともに、これが常に1つの実数として定まることを明らかにしました。したがって、\(a>0\)が与えられたとき、全区間上に以下のような関数\begin{equation*}a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを底を\(a\)とする指数関数（exponential function）と呼びます。

例（自然指数関数）

ネイピア数\(e\)は正の実数であるため、\(e\)を底とする指数関数\begin{equation*}e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを自然指数関数（natural exponential function）と呼びます。この関数のグラフは以下の通りです。

例（指数関数）

\(2\)は正の実数であるため、\(2\)を底とする指数関数\begin{equation*}2^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

例（指数関数）

\(\frac{1}{2}\)は正の実数であるため、\(\frac{1}{2}\)を底とする指数関数\begin{equation*}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

指数関数は狭義の単調関数

指数関数は狭義の単調関数です。

指数関数の値域

正の実数\(a>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、実数乗の定義より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a^{0}=1 \\
&&\left( b\right) \ a^{1}=a
\end{eqnarray*}がともに成り立ちますが、これは任意の指数関数\(a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフが点\(\left( 0,1\right) \)と点\(\left( 1,a\right) \)を通過することを意味します。

正の実数\(a>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、実数乗の性質より、\begin{equation*}a^{x}>0
\end{equation*}が成り立ちますが、これは任意の指数関数\(a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が正の実数のみを値としてとることを意味します。

任意の指数関数は正の実数のみを値として取ることが明らかになりましたが、後に導入する関数の極限や連続性などの概念を利用することにより、指数関数は任意の正の実数を値として取り得ること、すなわち指数関数の値域が\(\mathbb{R} _{++}\)であることが導かれます。

例（指数関数のグラフ）

関数\(e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(e^{x}\)は指数関数であるため値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。また、ネイピア数は\(e>1\)を満たすため\(e^{x}\)は狭義の単調増加関数です。加えて、そのグラフは点\(\left(0,1\right) \)と点\(\left( 1,e\right) \)を通過します。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例（指数関数のグラフ）

関数\(2^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(2^{x}\)は指数関数であるため値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。また、底が\(2>1\)を満たすため\(2^{x}\)は狭義の単調増加関数です。加えて、そのグラフは点\(\left( 0,1\right) \)と点\(\left(1,2\right) \)を通過します。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例（指数関数のグラフ）

関数\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\)は指数関数であるため値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。また、底が\(0<\frac{1}{2}<1\)を満たすため\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\)は狭義の単調減少関数です。加えて、そのグラフは点\(\left(0,1\right) \)と点\(\left( 1,\frac{1}{2}\right) \)を通過します。上のグラフは以上の事実と整合的です。

指数関数との合成関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。また、全区間上に定義された指数関数を\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。\(g\left( x\right)=a^{x}\)です。\(f\)の値域は明らかに\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であることから合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が常に定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&a^{f\left( x\right) }\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。

演習問題

次回は対数関数について解説します。