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指数関数

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指数関数

正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(a\)の\(x\)乗である、\begin{equation*}a^{x}
\end{equation*}を定義し、これが常に1つの実数として定まることを明らかにしました。以上を踏まえると、底\(a\)を所与としたときに、指数\(x\)を変数とし累乗\(a^{x}\)を値として定めるような関数が定義可能です。

具体的には、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}という形で表されるならば、\(f\)を指数関数(exponential function)と呼びます。

例(指数関数)
正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき\(a^{x}\)は1つの実数として定まることが保証されます。したがって、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}を定める指数関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。つまり、底\(a>0\)を任意に選んだとき、指数関数\(f\)は\(\mathbb{R} \)上に定義可能です。
例(指数関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。これは底が\(2\)であるような指数関数です。
例(指数関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。これは底\(\frac{1}{2}\)であるような指数関数です。
例(指数関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、これは底が\(1\)であるような指数関数ですが、累乗の定義より\(1^{x}=1\)であるため\(f\)は定数関数でもあります。このような事情もあり、多くの場合、\(1\)とは異なる底に対してのみ指数関数を定義します。
例(指数関数)
指数関数\(a^{x}\)は正の実数であるような底\(a\)に対してのみ定義されます。試しに、負の実数を底とするような指数関数を定義してみましょう。具体的には、関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -2\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、例えば、\begin{equation*}
f\left( \frac{1}{2}\right) =\left( -2\right) ^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2}
\end{equation*}となりますが、これは平方が\(-2\)になるような正の実数です。ただ、任意の実数の平方は非負の実数であるため\(\sqrt{-2}\)すなわち\(f\left( \frac{1}{2}\right) \)は1つの実数として定まりません。したがって\(f\)は点\(\frac{1}{2}\)において定義不可能であり、\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は関数ではないことになってしまいます。

 

指数関数の値

任意の指数関数は\(\mathbb{R} \)上で定義可能であるため、これを\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、何らかの正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}という形で表されるということです。このとき、\begin{eqnarray*}
f\left( 0\right) &=&a^{0}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \text{累乗の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、底\(a\)に関わらず、指数関数が点\(0\)に対して定める値は常に\(1\)です。

命題(指数関数の値)
任意の指数関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}f\left( 0\right) =1
\end{equation*}を満たす。

指数関数はゼロを値としてとりません。

命題(指数関数の値)
任意の指数関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) \not=0
\end{equation*}を満たす。
証明

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復習になりますが、実数を指数とする累乗は正の実数になることが保証されます。したがって、指数関数はゼロを値としてとらないだけでなく、常に正の実数を値としてとる関数であることが保証されます。

命題(指数関数の値)
任意の指数関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) >0
\end{equation*}を満たす。
証明

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指数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、上の命題より、任意の\(x\in X\)に対して\(f\left( x\right) >0\)が成り立つため、\(f\)の値域は\(\mathbb{R} _{++}\)の部分集合になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}が成り立つということです。特に、定義域が\(X=\mathbb{R} \)である場合には、\begin{equation*}f\left( \mathbb{R} \right) =\mathbb{R} _{++}
\end{equation*}になります。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された指数関数は任意の正の実数を値として取るということです。証明には関数の連続性に関する知識が必要であるため、必要な知識が揃った段階で改めて解説します。

命題(指数関数の値域)

任意の指数関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}f\left( \mathbb{R} \right) =\mathbb{R} _{++}
\end{equation*}を満たす。

 

指数関数は狭義単調関数

命題(指数関数は狭義単調関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}という形で表されるものとする。\(a>1\)の場合には\(f\)は狭義単調増加関数であり、\(1>a>0\)の場合には\(f\)は狭義単調減少関数である。
証明

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例(指数関数は狭義単調増加関数)
指数関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、何らかの正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}という形で表されるということです。\(a>1\)の場合、上の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において狭義単調増加であり、\(1>a>0\)である場合、上の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において狭義単調減少です。
例(指数関数のグラフ)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。これは底が\(2\)であるような指数関数であり、以下のようなグラフを持ちます。これまで示した諸命題より、このグラフは点\(\left( 0,1\right) \)を通るとともに、グラフ上の任意の点は\(x\)軸より上の領域に存在します。\(x\)軸とは交わりません。加えて、指数\(2\)が\(1\)より大きいため狭義単調増加であるとともに、その値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。
図:指数関数
図:指数関数
例(指数関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。これは底\(\frac{1}{2}\)であるような指数関数であり、以下のようなグラフを持ちます。これまで示した諸命題より、このグラフは点\(\left( 0,1\right) \)を通るとともに、グラフ上の任意の点は\(x\)軸より上の領域に存在します。\(x\)軸とは交わりません。加えて、指数\(\frac{1}{2}\)が\(1\)より小さいため狭義単調減少であるとともに、その値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。
図:指数関数
図:指数関数

次回は自然指数関数について解説します。

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