指数関数の定義と具体例

指数関数

実数\(a\in \mathbb{R} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(n\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}
\end{equation*}と定義した上で、これが指数法則などの性質を満たすことを示しました。

以上を踏まえた上で、非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、底が\(a\)であり指数が\(z\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{z}=\left\{
\begin{array}{cc}
a^{z} & \left( if\ z>0\right) \\
1 & \left( if\ z=0\right) \\
\dfrac{1}{a^{-z}} & \left( if\ n<0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定義した上で、これもまた指数法則を満たすことを示しました。

以上を踏まえた上で、正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と有理数\(\frac{z}{n}\ \left( z\in \mathbb{Z} ,n\in \mathbb{N} \right) \)が与えられたとき、底が\(a\)であり指数が\(\frac{z}{n}\)であるような累乗を、以下の条件\begin{equation*}\left( a^{\frac{z}{n}}\right) ^{n}=a^{z}\wedge a^{\frac{z}{n}}>0
\end{equation*}を満たす実数として定義した上で、これが1つの実数として定まるとともに、これもまた指数法則を満たすことを示しました。

以上を踏まえた上で、正の実数\(a>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}S\left( a,x\right) =\left\{ a^{r}\in \mathbb{R} \ |\ r<x\wedge r\in \mathbb{Q} \right\}
\end{equation*}と定めるとともに、底が\(a\)であり指数が\(x\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{x}=\left\{
\begin{array}{cl}
\sup S\left( a,x\right) & \left( if\ a>1\right) \\
1 & \left( if\ a=1\right) \\
\left( \frac{1}{a}\right) ^{-x} & \left( if\ 0<a<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義した上で、これが1つの実数として定まるとともに、これもまた指数法則を満たすことを示しました。

このような事情を踏まえると、正の実数\(a>0\)が与えられたとき、全区間上に以下のような関数\begin{equation*}a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できます。この関数\(a^{x}\)を\(a\)を底とする指数関数（exponential function with base \(a\)）と呼びます。

\(1\)は正の実数であるため、\(1\)を底とする指数関数\begin{equation*}1^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、実数乗の定義より、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}1^{x}=1
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(1\)を底とする指数関数\(1^{x}\)は定数関数\(1\)となってしまいます。このような事情もあり、多くの場合、\(1^{x}\)を指数関数から除外します。つまり、\(a\not=1\)かつ\(a>0\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)に対してのみ指数関数\(a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義するということです。

例（自然指数関数）

ネイピア数\(e\)は\(1\)とは異なる正の実数であるため、\(e\)を底とする指数関数\begin{equation*}e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを自然指数関数（natural exponential function）と呼びます。自然指数関数を、\begin{equation*}
\exp \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記することもできます。この関数のグラフは以下の通りです。

例（指数関数）

\(2\)は\(1\)とは異なる正の実数であるため、\(2\)を底とする指数関数\begin{equation*}2^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

例（指数関数）

\(\frac{1}{2}\)は\(1\)とは異なる正の実数であるため、\(\frac{1}{2}\)を底とする指数関数\begin{equation*}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

指数関数\(a^{x}\)は\(1\)とは異なる正の底\(a\)に対してのみ定義されますが、負の実数を底とするような指数関数を定義すると何らかの問題が生じるでしょうか。関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -2\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、例えば、\begin{equation*}
f\left( \frac{1}{2}\right) =\left( -2\right) ^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2}
\end{equation*}となりますが、これは平方が\(-2\)になるような正の実数です。ただ、任意の実数の平方は非負の実数であるため\(\sqrt{-2}\)は実数として定まりません。したがって\(f\)は点\(\frac{1}{2}\)において定義不可能であり、上のように定義された\(f\)は関数ではないことになってしまいます。

指数関数は狭義の単調関数

指数関数は狭義の単調関数です。ただし、底が\(1\)より大きい場合には狭義単調増加関数であり、底が\(1\)より小さい場合には狭義単調減少関数です。

指数関数の値域

\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数乗の定義より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a^{0}=1 \\
&&\left( b\right) \ a^{1}=a
\end{eqnarray*}がともに成り立ちますが、これは任意の指数関数\(a^{x}\)のグラフが点\(\left( 0,1\right) \)および点\(\left(1,a\right) \)を通過することを意味します。

\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)と実数\(x\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、実数乗の性質より、\begin{equation*}a^{x}>0
\end{equation*}が成り立ちますが、これは任意の指数関数\(a^{x}\)が正の実数のみを値としてとることを意味します。

任意の指数関数は正の実数のみを値として取ることが明らかになりましたが、後に導入する関数の極限や連続性などの概念を利用することにより、指数関数は任意の正の実数を値として取り得ること、すなわち指数関数の値域が\(\mathbb{R} _{++}\)であることが明らかになります。

例（指数関数のグラフ）

関数\(e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(e^{x}\)は指数関数であるため値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。また、ネイピア数は\(e>1\)を満たすため\(e^{x}\)は狭義の単調増加関数です。加えて、そのグラフは点\(\left(0,1\right) \)および点\(\left( 1,e\right) \)を通過します。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例（指数関数のグラフ）

関数\(2^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(2^{x}\)は指数関数であるため値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。また、底が\(2>1\)を満たすため\(2^{x}\)は狭義の単調増加関数です。加えて、そのグラフは点\(\left( 0,1\right) \)および点\(\left( 1,2\right) \)を通過します。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例（指数関数のグラフ）

関数\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\)は指数関数であるため値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。また、底が\(0<\frac{1}{2}<1\)を満たすため\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\)は狭義の単調減少関数です。加えて、そのグラフは点\(\left(0,1\right) \)および点\(\left( 1,\frac{1}{2}\right) \)を通過します。上のグラフは以上の事実と整合的です。

指数関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。さらに、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、指数関数\begin{equation*}a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。関数\(f\)の値域は指数関数\(a^{x}\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため合成関数\begin{equation*}a^{x}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( a^{x}\circ f\right) \left( x\right) =a^{f\left( x\right) }
\end{equation*}を値として定めます。

\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、指数関数\begin{equation*}a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(a^{x}\)の値域が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}a^{x}\left( \mathbb{R} \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ a^{x}\right) \left( x\right) =f\left( a^{x}\right)
\end{equation*}を値として定めます。

演習問題