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指数関数の定義と具体例

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指数関数

実数\(a\in \mathbb{R} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(n\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}
\end{equation*}と定義した上で、これが指数法則などの性質を満たすことを示しました。

以上を踏まえた上で、非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、底が\(a\)であり指数が\(z\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{z}=\left\{
\begin{array}{cc}
a^{z} & \left( if\ z>0\right) \\
1 & \left( if\ z=0\right) \\
\dfrac{1}{a^{-z}} & \left( if\ n<0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定義した上で、これもまた指数法則を満たすことを示しました。

以上を踏まえた上で、正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と有理数\(\frac{z}{n}\ \left( z\in \mathbb{Z} ,n\in \mathbb{N} \right) \)が与えられたとき、底が\(a\)であり指数が\(\frac{z}{n}\)であるような累乗を、以下の条件\begin{equation*}\left( a^{\frac{z}{n}}\right) ^{n}=a^{z}\wedge a^{\frac{z}{n}}>0
\end{equation*}を満たす実数として定義した上で、これが1つの実数として定まるとともに、これもまた指数法則を満たすことを示しました。

以上を踏まえた上で、正の実数\(a>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}S\left( a,x\right) =\left\{ a^{r}\in \mathbb{R} \ |\ r<x\wedge r\in \mathbb{Q} \right\}
\end{equation*}と定めるとともに、底が\(a\)であり指数が\(x\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{x}=\left\{
\begin{array}{cl}
\sup S\left( a,x\right) & \left( if\ a>1\right) \\
1 & \left( if\ a=1\right) \\
\left( \frac{1}{a}\right) ^{-x} & \left( if\ 0<a<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義した上で、これが1つの実数として定まるとともに、これもまた指数法則を満たすことを示しました。

このような事情を踏まえると、正の実数\(a>0\)が与えられたとき、全区間上に以下のような関数\begin{equation*}a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できます。この関数\(a^{x}\)を\(a\)を底とする指数関数(exponential function with base \(a\))と呼びます。

\(1\)は正の実数であるため、\(1\)を底とする指数関数\begin{equation*}1^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、実数乗の定義より、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}1^{x}=1
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(1\)を底とする指数関数\(1^{x}\)は定数関数\(1\)となってしまいます。このような事情もあり、多くの場合、\(1^{x}\)を指数関数から除外します。つまり、\(a\not=1\)かつ\(a>0\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)に対してのみ指数関数\(a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義するということです。

例(自然指数関数)
ネイピア数\(e\)は\(1\)とは異なる正の実数であるため、\(e\)を底とする指数関数\begin{equation*}e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを自然指数関数(natural exponential function)と呼びます。自然指数関数を、\begin{equation*}
\exp \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記することもできます。この関数のグラフは以下の通りです。

図:自然指数関数
図:自然指数関数
例(指数関数)
\(2\)は\(1\)とは異なる正の実数であるため、\(2\)を底とする指数関数\begin{equation*}2^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

図:指数関数
図:指数関数
例(指数関数)
\(\frac{1}{2}\)は\(1\)とは異なる正の実数であるため、\(\frac{1}{2}\)を底とする指数関数\begin{equation*}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

図:指数関数
図:指数関数
例(指数関数)
「単利・年利\(1\)\% 」という条件の定期金利に\(100\)万円を預けると、\(x\)年後の元利合計(万円)は、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&100\cdot \left( 1+0.01\right) ^{x} \\
&=&100\cdot 1.01^{x}
\end{eqnarray*}となります。この関数\(f\)は指数関数\(1.01^{x}\)の定数倍として定義される関数です。
例(指数関数)
ある人が伝染病を発症しました。その病気は平均して1人から1日あたり平均で3人に感染するものとします。\(x\)日後の総感染者数は、\begin{equation*}f\left( x\right) =3^{x}
\end{equation*}となります。この関数\(f\)は指数関数です。
例(指数関数)
全\(32\)人が参加するテニスのトーナメントが開催されます。第\(x\)回戦で敗退する人数は、\begin{equation*}f\left( x\right) =32\cdot \left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{equation*}となります。この関数\(f\)は指数関数\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\)の定数倍として定義される関数です。
例(指数関数)
\(500\)万円で購入した車の価値が一年あたり\(15\)%の割合で減価償却していくものとします。\(x\)年後の価値(万円)は、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&500\cdot \left( 1-0.15\right) ^{x} \\
&=&500\cdot 0.85^{x}
\end{eqnarray*}となります。この関数\(f\)は指数関数\(0.85^{x}\)の定数倍として定義される関数です。

指数関数\(a^{x}\)は\(1\)とは異なる正の底\(a\)に対してのみ定義されますが、負の実数を底とするような指数関数を定義すると何らかの問題が生じるでしょうか。関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -2\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、例えば、\begin{equation*}
f\left( \frac{1}{2}\right) =\left( -2\right) ^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2}
\end{equation*}となりますが、これは平方が\(-2\)になるような正の実数です。ただ、任意の実数の平方は非負の実数であるため\(\sqrt{-2}\)は実数として定まりません。したがって\(f\)は点\(\frac{1}{2}\)において定義不可能であり、上のように定義された\(f\)は関数ではないことになってしまいます。

 

指数関数は狭義の単調関数

指数関数は狭義の単調関数です。ただし、底が\(1\)より大きい場合には狭義単調増加関数であり、底が\(1\)より小さい場合には狭義単調減少関数です。

命題(指数関数は狭義単調関数)
\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、指数関数\(a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(a>1\)の場合には\(a^{x}\)は狭義の単調増加関数であり、\(1>a>0\)の場合には\(a^{x}\)は狭義の単調減少関数である。
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指数関数の値域

\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、実数乗の定義より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a^{0}=1 \\
&&\left( b\right) \ a^{1}=a
\end{eqnarray*}がともに成り立ちますが、これは任意の指数関数\(a^{x}\)のグラフが点\(\left( 0,1\right) \)および点\(\left(1,a\right) \)を通過することを意味します。

命題(指数関数の値)
\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、指数関数\(a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。これに対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a^{0}=1 \\
&&\left( b\right) \ a^{1}=a
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)と実数\(x\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、実数乗の性質より、\begin{equation*}a^{x}>0
\end{equation*}が成り立ちますが、これは任意の指数関数\(a^{x}\)が正の実数のみを値としてとることを意味します。

命題(指数関数の値の符号)
\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、指数関数\(a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。このとき、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :a^{x}>0
\end{equation*}が成り立つ。

任意の指数関数は正の実数のみを値として取ることが明らかになりましたが、後に導入する関数の極限や連続性などの概念を利用することにより、指数関数は任意の正の実数を値として取り得ること、すなわち指数関数の値域が\(\mathbb{R} _{++}\)であることが明らかになります。

命題(指数関数の値域)

\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、指数関数\(a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。この関数の値域は\(\mathbb{R} _{++}\)である。

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例(指数関数のグラフ)
関数\(e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

図:自然指数関数
図:自然指数関数

この関数\(e^{x}\)は指数関数であるため値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。また、ネイピア数は\(e>1\)を満たすため\(e^{x}\)は狭義の単調増加関数です。加えて、そのグラフは点\(\left(0,1\right) \)および点\(\left( 1,e\right) \)を通過します。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例(指数関数のグラフ)
関数\(2^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

図:指数関数
図:指数関数

この関数\(2^{x}\)は指数関数であるため値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。また、底が\(2>1\)を満たすため\(2^{x}\)は狭義の単調増加関数です。加えて、そのグラフは点\(\left( 0,1\right) \)および点\(\left( 1,2\right) \)を通過します。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例(指数関数のグラフ)
関数\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

図:指数関数
図:指数関数

この関数\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\)は指数関数であるため値域は\(\mathbb{R} _{++}\)です。また、底が\(0<\frac{1}{2}<1\)を満たすため\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\)は狭義の単調減少関数です。加えて、そのグラフは点\(\left(0,1\right) \)および点\(\left( 1,\frac{1}{2}\right) \)を通過します。上のグラフは以上の事実と整合的です。

 

指数関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。さらに、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、指数関数\begin{equation*}a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。関数\(f\)の値域は指数関数\(a^{x}\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため合成関数\begin{equation*}a^{x}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( a^{x}\circ f\right) \left( x\right) =a^{f\left( x\right) }
\end{equation*}を値として定めます。

例(多項式関数と指数関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。先の議論より、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、関数\begin{equation*}a^{f\left( x\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これは多項式関数\(f\)と指数関数\(a^{x}\)の合成関数です。例えば、以下の関数\begin{equation*}e^{x^{2}+x+1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は多項式関数\(x^{2}+x+1\)と指数関数\(e^{x}\)の合成関数です。
例(有理関数と指数関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \subset X\rightarrow \mathbb{R} \)は有理関数であるものとします。先の議論より、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、関数\begin{equation*}a^{f\left( x\right) }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これは有理関数\(f\)と指数関数\(a^{x}\)の合成関数です。例えば、以下の関数\begin{equation*}e^{\frac{x}{x+1}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は有理関数\(\frac{x}{x+1}\)と指数関数\(e^{x}\)の合成関数です。

\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、指数関数\begin{equation*}a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(a^{x}\)の値域が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}a^{x}\left( \mathbb{R} \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ a^{x}\right) \left( x\right) =f\left( a^{x}\right)
\end{equation*}を値として定めます。

例(指数関数と多項式関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。先の議論より、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、指数関数\(a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、関数\begin{equation*}f\left( a^{x}\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。例えば、以下の関数\begin{equation*}
\left( e^{x}\right) ^{2}+e^{x}+1:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は指数関数\(e^{x}\)と多項式関数\(x^{2}+x+1\)の合成関数です。
例(指数関数と有理関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \subset X\rightarrow \mathbb{R} \)は有理関数であるものとします。先の議論より、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、指数関数\(a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が\(f\)の定義域\(X\)の部分集合である場合には、関数\begin{equation*}f\left( a^{x}\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。例えば、以下の関数\begin{equation*}
\frac{e^{x}}{e^{x}+1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は指数関数\(e^{x}\)と有理関数\(\frac{x}{x+1}\)の合成関数です。

 

演習問題

問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{-x^{2}-4x+7}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{2}\right) ^{\frac{x-4}{x^{2}-2x-15}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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