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指数関数

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指数関数

正の実数\(a>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(x\)であるような累乗\(a^{x}\)と呼ばれる概念を定義するとともに、これが常に1つの実数として定まることを明らかにしました。したがって、\(a>0\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であるため、これを指数関数(exponential function)と呼びます。

例(自然指数関数)
ネイピア数\(e\)は正の実数であるため、\(e\)を底とする指数関数が定義可能です。具体的には、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定める指数関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これを自然指数関数(natural exponential function)と呼びます。
例(指数関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。これは底が\(2\)であるような指数関数です。
例(指数関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。これは底\(\frac{1}{2}\)であるような指数関数です。
例(指数関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、これは底が\(1\)であるような指数関数ですが、累乗の定義より、\begin{equation*}1^{x}=1
\end{equation*}が成り立つため\(f\)は定数関数です。このような事情もあり、多くの場合、\(1\)とは異なる底に対してのみ指数関数を定義します。
例(指数関数)
指数関数\(a^{x}\)は正の実数であるような底\(a\)に対してのみ定義されます。試しに、負の実数を底とするような指数関数を定義してみましょう。関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -2\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、例えば、\begin{equation*}
f\left( \frac{1}{2}\right) =\left( -2\right) ^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2}
\end{equation*}となりますが、これは平方が\(-2\)になるような正の実数です。ただ、任意の実数の平方は非負の実数であるため\(\sqrt{-2}\)は1つの実数として定まりません。したがって\(f\)は点\(\frac{1}{2}\)において定義不可能であり、上のように定義された\(f\)は関数ではないことになってしまいます。

 

指数関数の値

任意の指数関数は正の実数を値としてとります。特に、点\(0\)において値\(1\)をとります。

命題(指数関数の値)
正の実数\(a>0\)を任意に選んだとき、\(a\)を底とする指数関数\(a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :a^{x}>0 \\
&&\left( b\right) \ a^{0}=1
\end{eqnarray*}をともに満たす。

証明

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上の命題中の\(\left( b\right) \)より、任意の指数関数のグラフは点\(\left( 0,1\right) \)を通過します。また、\(\left( a\right) \)より任意の指数関数は正の実数を値としてとるため、その値域は\(\mathbb{R} _{++}\)の部分集合です。実際には、任意の指数関数の値域は\(\mathbb{R} _{++}\)と一致します。詳細は場を改めて解説します。

例(自然指数関数の値)
自然指数関数\(e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は指数関数であるため、上の命題より、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :e^{x}>0 \\
&&\left( b\right) \ e^{0}=1
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。

 

指数関数は狭義単調関数

指数関数は狭義単調関数です。

命題(指数関数は狭義単調関数)
正の実数\(a>0\)を任意に選んだ上で、\(a\)を底とする指数関数\(a^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(a^{x}\)は\(a>1\)の場合には狭義単調増加関数であり、\(1>a>0\)の場合には狭義単調減少関数である。
証明

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例(自然指数関数は狭義単調増加関数)
自然指数関数\(e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。先に示した諸命題より、このグラフは点\(\left( 0,1\right) \)と点\(\left(1,e\right) \)を通過するとともに、グラフ上の任意の点は\(x\)軸より上の領域に存在し、\(x\)軸とは交わりません。ネイピア数は\(e>1\)を満たすためこれは狭義単調増加関数です。

図:自然指数関数
図:自然指数関数
例(指数関数は狭義単調関数)
底が\(2\)であるような指数関数\(2^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。先に示した諸命題より、このグラフは点\(\left( 0,1\right) \)を通るとともに、グラフ上の任意の点は\(x\)軸より上の領域に存在し、\(x\)軸とは交わりません。加えて、底\(2\)が\(1\)より大きいためこれは狭義単調増加関数です。

図:指数関数
図:指数関数
例(指数関数は狭義単調関数)
底が\(\frac{1}{2}\)であるような指数関数\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。先に示した諸命題より、このグラフは点\(\left( 0,1\right) \)を通るとともに、グラフ上の任意の点は\(x\)軸より上の領域に存在し、\(x\)軸とは交わりません。加えて、底\(\frac{1}{2}\)が\(1\)より小さいためこれは狭義単調減少関数です。

図:指数関数
図:指数関数

次回は対数関数について解説します。

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