絶対連続関数

絶対連続関数

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}をとり、さらにこの閉区間上に関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

関数\(f\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)を念頭においた上で、それに対して以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right] =\phi \right)
\end{eqnarray*}を満たす集合族\begin{equation*}
\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}
\end{equation*}に注目します。つまり、この集合族は有限個の要素として持ち、個々の要素は区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合であるような正の長さを持つ有界閉区間であり、なおかつ、それらの閉区間どうしは互いに素です。簡潔に表現すると、\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}\)は互いに素な有界閉区間からなる\(\left[ a,b\right] \)の有限部分集合族です。

以上を踏まえた上で、関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a\right) ,\left(
b\right) ,\left( c\right) \text{を満たす}\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}:\left[ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\left\vert
f\left( b_{i}\right) -f\left( a_{i}\right) \right\vert <\varepsilon \right] \end{equation*}を満たす場合には、つまり、どれほど小さい\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合でも、それに対して何らかの\(\delta >0\)を選ぶことにより、以下の4つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right] =\phi \right) \\
&&\left( d\right) \ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta
\end{eqnarray*}を満たす任意の閉区間族\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}\)について、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}\left\vert f\left( b_{i}\right) -f\left( a_{i}\right)
\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことを保証できる場合には、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で絶対連続（absolutely continuous on \(\left[ a,b\right] \)）であると言います。

有界開区間族を用いた絶対連続関数の定義

絶対連続性の定義には有限個の互いに素な閉区間が登場しますが、これを有限個の互いに素な開区間に置き換えた場合にも、それは絶対連続関数の定義として通用します。具体的には以下の通りです。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}をとり、さらにこの閉区間上に関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

関数\(f\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)を念頭においた上で、それに対して以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left( a_{i},b_{i}\right) \cap \left( a_{j},b_{j}\right)
=\phi \right)
\end{eqnarray*}を満たす集合族\begin{equation*}
\left\{ \left( a_{i},b_{i}\right) \right\} _{i=1}^{n}
\end{equation*}に注目します。つまり、この集合族は有限個の要素として持ち、個々の要素は区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合であるような正の長さを持つ有界開区間であり、なおかつ、それらの開区間どうしは互いに素です。簡潔に表現すると、\(\left\{\left( a_{i},b_{i}\right) \right\} _{i=1}^{n}\)は互いに素な有界開区間からなる\(\left[ a,b\right] \)の有限部分集合族です。

以上を踏まえた上で、関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a\right) ,\left(
b\right) ,\left( c\right) \text{を満たす}\left\{
\left( a_{i},b_{i}\right) \right\} _{i=1}^{n}:\left[ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\left\vert
f\left( b_{i}\right) -f\left( a_{i}\right) \right\vert <\varepsilon \right] \end{equation*}を満たすことは、つまり、どれほど小さい\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合でも、それに対して何らかの\(\delta >0\)を選ぶことにより、以下の4つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left( a_{i},b_{i}\right) \cap \left( a_{j},b_{j}\right)
=\phi \right) \\
&&\left( d\right) \ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta
\end{eqnarray*}を満たす任意の開区間族\(\left\{ \left( a_{i},b_{i}\right) \right\} _{i=1}^{n}\)について、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}\left\vert f\left( b_{i}\right) -f\left( a_{i}\right)
\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で絶対連続であるための必要十分条件になります。

可算区間族を用いた絶対連続関数の定義

絶対連続性の定義には有限個の互いに素な閉区間が登場しますが、これを可算個の互いに素な閉区間に置き換えた場合にも、それは絶対連続関数の定義として通用します。具体的には以下の通りです。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}をとり、さらにこの閉区間上に関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

関数\(f\)の定義域である区間\(\left[ a,b\right] \)を念頭においた上で、それに対して以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathbb{N} :a\leq a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( b\right) \ \forall i,j\in \mathbb{N} :\left( i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right] =\phi \right)
\end{eqnarray*}を満たす可算集合族\begin{equation*}
\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{+\infty }
\end{equation*}に注目します。つまり、この集合族は可算個の要素として持ち、個々の要素は区間\(\left[ a,b\right] \)の部分集合であるような正の長さを持つ有界閉区間であり、なおかつ、それらの閉区間どうしは互いに素です。簡潔に表現すると、\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{+\infty }\)は互いに素な有界閉区間からなる\(\left[ a,b\right] \)の可算部分集合族です。

以上を踏まえた上で、関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a\right) ,\left(
b\right) \text{を満たす}\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{+\infty }:\left[ \sum_{i=1}^{+\infty }\left\vert
b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta \Rightarrow \sum_{i=1}^{+\infty }\left\vert
f\left( b_{i}\right) -f\left( a_{i}\right) \right\vert <\varepsilon \right] \end{equation*}を満たすことは、つまり、どれほど小さい\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合でも、それに対して何らかの\(\delta >0\)を選ぶことにより、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall i\in \mathbb{N} :a\leq a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( b\right) \ \forall i,j\in \mathbb{N} :\left( i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right] =\phi \right) \\
&&\left( c\right) \ \sum_{i=1}^{+\infty }\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert
<\delta
\end{eqnarray*}を満たす任意の区間族\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{+\infty }\)について、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{+\infty }\left\vert f\left( b_{i}\right) -f\left( a_{i}\right)
\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で絶対連続であるための必要十分条件になります。

閉区間を開区間に置き換えた場合にも同様の議論が可能であるため以下を得ます。

関数は絶対連続であるとは限らない

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(\left[ a,b\right] \)上で絶対連続であることとは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a\right) ,\left(
b\right) ,\left( c\right) \text{を満たす}\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}:\left[ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\left\vert
f\left( b_{i}\right) -f\left( a_{i}\right) \right\vert <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right] =\phi \right)
\end{eqnarray*}です。したがって、関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上で絶対連続ではないこととは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists \left( a\right) ,\left(
b\right) ,\left( c\right) \text{を満たす}\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}:\left[ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta \wedge \sum_{i=1}^{n}\left\vert f\left(
b_{i}\right) -f\left( a_{i}\right) \right\vert \geq \varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、何らかの\(\varepsilon >0\)のもとでは、任意の\(\delta >0\)について以下の4つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right] =\phi \right) \\
&&\left( d\right) \ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta
\end{eqnarray*}を満たす何らかの区間族\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}\)について、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}\left\vert f\left( b_{i}\right) -f\left( a_{i}\right)
\right\vert \geq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続ではありません。

閉区間族\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\}_{i=1}^{n}\)を開区間族\(\left\{ \left(a_{i},b_{i}\right) \right\} _{i=1}^{n}\)に置き換えた場合や、有限区間族\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}\)を可算区間族\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{+\infty }\)ないし\(\left\{ \left(a_{i},b_{i}\right) \right\} _{i=1}^{+\infty }\)に置き換えた場合にも同様です。

関数は絶対連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。

演習問題