確認テスト I（1変数関数）

以下の問いに答えてください。

1. 関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-2x+5\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全単射でしょうか。\(f\)が全単射である場合には証明し、全単射ではない場合には反例を提示してください。（5点）
2. 関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =4x^{2}+5\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全単射でしょうか。\(f\)が全単射である場合には証明し、全単射ではない場合には反例を提示してください。（5点）
3. 関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -3\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -3\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x+2}{x+3}\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全単射でしょうか。\(f\)が全単射である場合には証明し、全単射ではない場合には反例を提示してください。（5点）
4. 関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は全単射でしょうか。\(f\)が全単射である場合には証明し、全単射ではない場合には反例を提示してください。（5点）

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -2,2\right] \rightarrow \left[ 0,4\right] \)はそれぞれの\(x\in \left[ -2,2\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

1. 関数\(f\)は全単射ではないことを示してください。（10点）
2. 開集合\(A\subset \left[ 0,4\right] \)を任意に選んだとき、その逆像\(f^{-1}\left( A\right) \subset \left[ -2,2\right] \)が開集合であることを示してください。（10点）
3. 非空集合\(B\subset \left[ 0,4\right] \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}f^{-1}\left( B^{c}\right) =\left[ f^{-1}\left( B\right) \right] ^{c}\end{equation*}が成り立つことを示してください。（10点）

以下の問いに答えてください。

1. 以下の極限を特定してください。（5点）\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\left( 1+x\right) ^{2}-\left( 1-x\right) ^{2}}
   \end{equation*}
2. 以下の極限を特定してください。（5点）\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{4x^{2}+6}}{3-2x}
   \end{equation*}
3. 以下の極限を特定してください。（5点）\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 2}\frac{3}{\left( 2-x\right) ^{3}}
   \end{equation*}
4. 以下の極限を特定してください。（5点）\begin{equation*}\lim_{t\rightarrow 0}e^{-t}\sin \left( 2\pi t\right)
   \end{equation*}

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
5x & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
x^{2}+6 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

1. 関数\(f\)は点\(2\)において連続であることを証明してください（15点）。
2. 関数\(f\)は点\(1\)において連続ではないことを証明してください（15点）。