自然数ベキ関数（自然数指数の累乗関数）の定義と具体例

自然数ベキ関数

実数\(a\in \mathbb{R} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(n\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}
\end{equation*}と定義した上で、これが指数法則などの性質を満たすことを示しました。

以上を踏まえた上で、指数\(n\in \mathbb{N} \)を固定した上で底\(x\in \mathbb{R} \)を変数とみなすことにより、全区間上に以下のような関数\begin{equation*}x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できます。この関数\(x^{n}\)を自然数ベキ関数（power function with natural exponents）や累乗関数（power function）などと呼びます。

例（自然数ベキ関数）

\(2\)は自然数であるため、\(2\)を指数とする自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

\(f\left( x\right) =x^{2}\)とおく場合、例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( -1\right) &=&\left( -1\right) ^{2}=1 \\
f\left( -\frac{1}{2}\right) &=&\left( -\frac{1}{2}\right) ^{2}=\frac{1}{4}
\\
f\left( 0\right) &=&0^{2}=0 \\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}=\frac{1}{4} \\
f\left( 1\right) &=&1^{2}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例（自然数ベキ関数）

\(3\)は自然数であるため、\(3\)を指数とする自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

\(f\left( x\right) =x^{3}\)とおく場合、例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( -1\right) &=&\left( -1\right) ^{3}=-1 \\
f\left( -\frac{1}{2}\right) &=&\left( -\frac{1}{2}\right) ^{3}=-\frac{1}{8}
\\
f\left( 0\right) &=&0^{3}=0 \\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}=\frac{1}{8} \\
f\left( 1\right) &=&1^{3}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例（自然数ベキ関数）

\(4\)は自然数であるため、\(4\)を指数とする自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{4}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

\(f\left( x\right) =x^{4}\)とおく場合、例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( -1\right) &=&\left( -1\right) ^{4}=1 \\
f\left( -\frac{1}{2}\right) &=&\left( -\frac{1}{2}\right) ^{4}=\frac{1}{16}
\\
f\left( 0\right) &=&0^{4}=0 \\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{4}=\frac{1}{16} \\
f\left( 1\right) &=&1^{4}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

自然数ベキ関数は狭義の単調関数

自然数ベキ関数\(x^{n}\)は\(n\)の偶奇によっては狭義単調関数になります。

自然数ベキ関数の値域

自然数ベキ関数\(x^{n}\)の値域は\(n\)の偶奇によって以下のように変化します。証明では後に導入する関数の極限と連続性の概念を利用します。

例（自然数ベキ関数）

関数\(x^{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(x^{2}\)は指数が偶数であるような自然数ベキ関数であるため値域は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、\(\mathbb{R} _{-}\)上で狭義単調減少であり、\(\mathbb{R} _{+}\)上で狭義単調増加です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例（自然数ベキ関数）

関数\(x^{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(x^{3}\)は指数が奇数であるような自然数ベキ関数であるため値域は\(\mathbb{R} \)であり、\(\mathbb{R} \)上で狭義単調増加です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

自然数ベキ関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。関数\(f\)の値域はベキ関数\(x^{n}\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため合成関数\begin{equation*}x^{n}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( x^{n}\circ f\right) \left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}
\end{equation*}を値として定めます。

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(x^{n}\)の値域が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}x^{n}\left( \mathbb{R} \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ x^{n}\right) \left( x\right) =f\left( x^{n}\right)
\end{equation*}を値として定めます。

演習問題