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自然数ベキ関数(自然数指数の累乗関数)の定義と具体例

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自然数ベキ関数

実数\(a\in \mathbb{R} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(n\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}
\end{equation*}と定義した上で、これが指数法則などの性質を満たすことを示しました。

以上を踏まえた上で、指数\(n\in \mathbb{N} \)を固定した上で底\(x\in \mathbb{R} \)を変数とみなすことにより、全区間上に以下のような関数\begin{equation*}x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できます。この関数\(x^{n}\)を自然数ベキ関数(power function with natural exponents)や累乗関数(power function)などと呼びます。

例(自然数ベキ関数)
\(2\)は自然数であるため、\(2\)を指数とする自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

図:自然数ベキ関数
図:自然数ベキ関数

\(f\left( x\right) =x^{2}\)とおく場合、例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( -1\right) &=&\left( -1\right) ^{2}=1 \\
f\left( -\frac{1}{2}\right) &=&\left( -\frac{1}{2}\right) ^{2}=\frac{1}{4}
\\
f\left( 0\right) &=&0^{2}=0 \\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}=\frac{1}{4} \\
f\left( 1\right) &=&1^{2}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(自然数ベキ関数)
\(3\)は自然数であるため、\(3\)を指数とする自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

図:自然数ベキ関数
図:自然数ベキ関数

\(f\left( x\right) =x^{3}\)とおく場合、例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( -1\right) &=&\left( -1\right) ^{3}=-1 \\
f\left( -\frac{1}{2}\right) &=&\left( -\frac{1}{2}\right) ^{3}=-\frac{1}{8}
\\
f\left( 0\right) &=&0^{3}=0 \\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}=\frac{1}{8} \\
f\left( 1\right) &=&1^{3}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(自然数ベキ関数)
\(4\)は自然数であるため、\(4\)を指数とする自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{4}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

図:自然数ベキ関数
図:自然数ベキ関数

\(f\left( x\right) =x^{4}\)とおく場合、例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( -1\right) &=&\left( -1\right) ^{4}=1 \\
f\left( -\frac{1}{2}\right) &=&\left( -\frac{1}{2}\right) ^{4}=\frac{1}{16}
\\
f\left( 0\right) &=&0^{4}=0 \\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{4}=\frac{1}{16} \\
f\left( 1\right) &=&1^{4}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(自然数ベキ関数)
一辺の長さが\(x\in \mathbb{R} _{+}\)の正方形の面積は、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数です。
例(自然数ベキ関数)
一辺の長さが\(x\in \mathbb{R} _{+}\)の立方体の体積は、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数です。
例(自然数ベキ関数)
物体を初速度\(0\)で自由落下させます。経過時間(秒)が\(x\in \mathbb{R} _{+}\)であるときの物体の移動距離(メートル)は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}gx^{2}
\end{equation*}となります。ただし、\(g\)は重力加速度を表す定数であり、地球上の場所によってわずかに異なりますが、ほぼ\(9.8\)です。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数の定数倍として定義される関数です。

 

自然数ベキ関数は狭義の単調関数

自然数ベキ関数\(x^{n}\)は\(n\)の偶奇によっては狭義単調関数になります。

命題(自然数ベキ関数は狭義単調関数)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、自然数ベキ関数\(x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(n\)が奇数である場合に\(x^{n}\)は\(\mathbb{R} \)上で狭義単調増加関数である。\(n\)が偶数である場合に\(x^{n}\)は\(\mathbb{R} _{-}\)上で狭義単調減少であり、\(\mathbb{R} _{+}\)上で狭義単調増加である。
証明

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自然数ベキ関数の値域

自然数ベキ関数\(x^{n}\)の値域は\(n\)の偶奇によって以下のように変化します。証明では後に導入する関数の極限と連続性の概念を利用します。

命題(自然数ベキ関数の値域)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、自然数ベキ関数\(x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(n\)が奇数である場合には\(x^{n}\)の値域は\(\mathbb{R} \)である。\(n\)が偶数である場合には\(x^{n}\)の値域は\(\mathbb{R} _{+}\)である。
証明

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例(自然数ベキ関数)
関数\(x^{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

図:自然数ベキ関数
図:自然数ベキ関数

この関数\(x^{2}\)は指数が偶数であるような自然数ベキ関数であるため値域は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、\(\mathbb{R} _{-}\)上で狭義単調減少であり、\(\mathbb{R} _{+}\)上で狭義単調増加です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

例(自然数ベキ関数)
関数\(x^{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

図:自然数ベキ関数
図:自然数ベキ関数

この関数\(x^{3}\)は指数が奇数であるような自然数ベキ関数であるため値域は\(\mathbb{R} \)であり、\(\mathbb{R} \)上で狭義単調増加です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

 

自然数ベキ関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。関数\(f\)の値域はベキ関数\(x^{n}\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため合成関数\begin{equation*}x^{n}\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( x^{n}\circ f\right) \left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}
\end{equation*}を値として定めます。

例(多項式関数と自然数ベキ関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。先の議論より、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、関数\begin{equation*}\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これは多項式関数\(f\)と自然数ベキ関数\(x^{n}\)の合成関数です。例えば、以下の関数\begin{equation*}\left( x^{2}+x+1\right) ^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は多項式関数\(x^{2}+x+1\)と自然数ベキ関数\(x^{n}\)の合成関数です。
例(有理関数と自然数ベキ関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は有理関数であるものとします。先の議論より、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、関数\begin{equation*}\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これは有理関数\(f\)と自然数ベキ関数\(x^{n}\)の合成関数です。例えば、以下の関数\begin{equation*}\left( \frac{1}{x+1}\right) ^{n}:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は有理関数\(\frac{1}{x+1}\)と自然数ベキ関数\(x^{n}\)の合成関数です。

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(x^{n}\)の値域が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}x^{n}\left( \mathbb{R} \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ x^{n}\right) \left( x\right) =f\left( x^{n}\right)
\end{equation*}を値として定めます。

例(自然数ベキ関数と多項式関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、自然数ベキ関数\(x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、関数\begin{equation*}f\left( x^{n}\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これは自然数ベキ関数\(x^{n}\)と多項式関数\(f\)の合成関数です。例えば、以下の関数\begin{equation*}\left( x^{3}\right) ^{2}+x^{3}+1:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は自然数ベキ関数\(x^{3}\)と多項式関数\(x^{2}+x+1\)の合成関数です。
例(自然数ベキ関数と有理関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は有理関数であるものとします。自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、自然数ベキ関数\(x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が\(f\)の定義域\(X\)の部分集合である場合には、関数\begin{equation*}f\left( x^{n}\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これは自然数ベキ関数\(x^{n}\)と有理関数\(f\)の合成関数です。例えば、以下の関数\begin{equation*}\frac{x^{3}}{x^{3}+1}:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は自然数ベキ関数\(x^{3}\)と有理関数\(\frac{x}{x+1}\)の合成関数です。

 

演習問題

問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -x^{2}-4x+7\right) ^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x-4}{x^{2}-2x-15}\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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問題(自然数ベキ関数の逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(n\in \mathbb{N} \)です。逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在するとは限らないことを示してください。
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問題(自然数ベキ関数の逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(n\in \mathbb{N} \)です。\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} _{+}\)に縮小して\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)とした場合、\(f\)は狭義単調増加関数であることを\(n\)に関する数学的帰納法によって証明してください。
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