自然数ベキ関数

\(2\)は自然数であるため、\(2\)次の自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( -1\right) &=&\left( -1\right) ^{2}=1 \\
f\left( -\frac{1}{2}\right) &=&\left( -\frac{1}{2}\right) ^{2}=\frac{1}{4} \\
f\left( 0\right) &=&0^{2}=0 \\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}=\frac{1}{4} \\
f\left( 1\right) &=&1^{2}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

\(3\)は自然数であるため、\(3\)次の自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( -1\right) &=&\left( -1\right) ^{3}=-1 \\
f\left( -\frac{1}{2}\right) &=&\left( -\frac{1}{2}\right) ^{3}=-\frac{1}{8}
\\
f\left( 0\right) &=&0^{3}=0 \\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}=\frac{1}{8} \\
f\left( 1\right) &=&1^{3}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

\(4\)は自然数であるため、\(4\)次の自然数ベキ関数\begin{equation*}x^{4}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この関数のグラフは以下の通りです。

例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( -1\right) &=&\left( -1\right) ^{4}=1 \\
f\left( -\frac{1}{2}\right) &=&\left( -\frac{1}{2}\right) ^{4}=\frac{1}{16}
\\
f\left( 0\right) &=&0^{4}=0 \\
f\left( \frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{4}=\frac{1}{16} \\
f\left( 1\right) &=&1^{4}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

一辺の長さが\(x\in \mathbb{R} _{+}\)の正方形の面積は、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数です。

一辺の長さが\(x\in \mathbb{R} _{+}\)の立方体の体積は、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}
\end{equation*}となります。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数です。

物体を初速度\(0\)で自由落下させます。経過時間（秒）が\(x\in \mathbb{R} _{+}\)であるときの物体の移動距離（メートル）は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}gx^{2}
\end{equation*}となります。ただし、\(g\)は重力加速度を表す定数であり、地球上の場所によってわずかに異なりますが、ほぼ\(9.8\)です。この関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数\(x^{2}\)の定数倍（\(\frac{1}{2}g\)倍）です。

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、自然数ベキ関数\(x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(n\)が奇数である場合には、\(x^{n}\)は\(\mathbb{R} \)上で狭義単調増加関数である。\(n\)が偶数である場合には、\(x^{n}\)は\(\mathbb{R} _{-}\)上で狭義単調減少であり、\(\mathbb{R} _{+}\)上で狭義単調増加である。

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、自然数ベキ関数\(x^{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(n\)が奇数である場合には、\(x^{n}\)の値域は\(\mathbb{R} \)である。\(n\)が偶数である場合には、\(x^{n}\)の値域は\(\mathbb{R} _{+}\)である。

関数\(x^{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(x^{2}\)は次数が偶数であるような自然数ベキ関数であるため値域は\(\mathbb{R} _{+}\)であり、\(\mathbb{R} _{-}\)上で狭義単調減少であり、\(\mathbb{R} _{+}\)上で狭義単調増加です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

関数\(x^{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。

この関数\(x^{3}\)は次数が奇数であるような自然数ベキ関数であるため値域は\(\mathbb{R} \)であり、\(\mathbb{R} \)上で狭義単調増加です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}で表されるということです。先の議論より、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left[ c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}\right] ^{n}
\end{equation*}を値として定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは多項式関数\(f\left( x\right) \)と自然数ベキ関数\(x^{n}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) ^{3}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)はともに多項式関数であるものとします。先の議論より、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\left[ \frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\right] ^{n}
\end{equation*}を定める関数\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは有理関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)と自然数ベキ関数\(x^{n}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{4}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -x^{2}-4x+7\right) ^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x-4}{x^{2}-2x-15}\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(n\in \mathbb{N} \)です。逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在するとは限らないことを示してください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(n\in \mathbb{N} \)です。\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} _{+}\)に縮小して\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)とした場合、\(f\)は狭義単調増加関数であることを\(n\)に関する数学的帰納法によって証明してください。