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自然数ベキ関数

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自然数ベキ関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}という形で表されるならば、\(f\)を自然数ベキ関数(natural number power function)と呼びます。ベキ関数は累乗関数(power function)と呼ばれることもあります。

例(自然数ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}という形で表すことができるとき、この\(f\)は自然数ベキ関数です。つまり、自然数ベキ関数は\(\mathbb{R} \)上に定義可能です。
例(自然数ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{7}
\end{equation*}であるとき、この\(f\)は自然数ベキ関数です。
例(自然数ベキ関数)
繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が自然数ベキ関数であることとは、それぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}という形で表すことができることを意味しますが、これは多項式関数です。自然数ベキ関数は特別な多項式関数です。特に、\(n=1\)とすれば、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}となりますが、これは恒等関数です。恒等関数は特別な自然数ベキ関数です。

 

自然数ベキ関数との合成関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。また、任意の自然数ベキ関数は\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため、これを\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。\(g\left( x\right)=x^{n}\)かつ\(n\in \mathbb{N} \)です。\(f\)の値域\(f\left( X\right) \)は明らかに\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であることから合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が常に定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{m}c_{k}x^{k}
\end{equation*}で表されるということです。先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}=\left[
\sum_{k=0}^{m}c_{k}x^{k}\right] ^{n}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし\(n\in \mathbb{N} \)です。これは多項式関数\(y=f\left( x\right) \)と自然数ベキ関数\(y^{n}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right) ^{3}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は有理関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }
\end{equation*}で表されるということです。先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}i\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}=\left[ \frac{g\left(
x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{n}
\end{equation*}を定める関数\(i:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし\(n\in \mathbb{N} \)です。これは有理関数\(y=f\left( x\right) \)と自然数ベキ関数\(y^{n}\)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left[ \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right] ^{4}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。

 

演習問題

問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -x^{2}-4x+7\right) ^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x-4}{x^{2}-2x-15}\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)となり得る最大の集合を特定してください。
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問題(自然数ベキ関数の逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(n\in \mathbb{N} \)です。逆関数\(f^{-1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在するとは限らないことを示してください。
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問題(自然数ベキ関数の逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}を定めるものとします。\(n\)が自然数かつ奇数である場合、\(f\)は狭義単調増加関数であることを示してください。
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問題(自然数ベキ関数の逆関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(n\in \mathbb{N} \)です。\(f\)の定義域を\(\mathbb{R} _{+}\)に縮小して\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)とした場合、\(f\)は狭義単調増加関数であることを示してください。
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次回は整数ベキ関数について学びます。

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自然数ベキ関数

自然数ベキ関数の微分

自然数ベキ関数が微分可能であることを示すとともに、その微分係数や導関数を求める方法を解説します。自然数ベキ関数は任意の点において微分可能であるため、微分可能な関数と自然数ベキ関数の合成関数は微分可能であることが保証されるとともに、その導関数を連鎖公式により求めることができます。

DISCUSSION

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