自然数ベキ関数

次数が自然数であるようなベキ関数は任意の点において収束し、かつ連続です。この事実を利用すると、ベキ関数との合成関数として表される関数の極限や連続性を容易に示すことができます。

自然数ベキ関数

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N}\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}という形で表されるならば、\(f\)を自然数ベキ関数(natural number power function)と呼びます。ベキ関数は累乗関数(power function)と呼ばれることもあります。

例(自然数ベキ関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}であるならば、この\(f\)は自然数ベキ関数です。

 

自然数ベキ関数の極限

自然数ベキ関数\(x^{n}\)は、\(n\)個の恒等関数\(x\)の積です。すでに示したように、恒等関数\(x\)は任意の点\(\alpha \)において収束します。また、一般に、関数\(f,g\)が点\(\alpha \)において収束する場合には関数\(f\cdot g\)もまた点\(\alpha \)において収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow \alpha
}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上の事実を利用すると、\(n\)に関する数学的帰納法により、自然数ベキ関数の極限に関する以下の命題を証明できます。

恒等関数の極限について復習する 収束する関数の積について復習する
命題(自然数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}という形で表すことができるものとする。この\(f\)は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\alpha ^{n}
\end{equation*}となる。
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例(自然数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{5}
\end{equation*}であるならば、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
3}x^{5}=3^{5}=243 \\
\lim_{x\rightarrow -1}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-1}x^{5}=\left( -1\right) ^{5}=-1 \\
\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}}x^{5}=\frac{1}{32}
\end{eqnarray*}などとなります。

 

自然数ベキ関数の連続性

自然数ベキ関数\(f\left( x\right) =x^{n}\)は任意の点\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は\(\alpha ^{n}\)であることを先に示しました。以上を踏まえると、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\alpha ^{n}=f\left( \alpha
\right)
\end{equation*}が成り立つため、ベキ関数は点\(\alpha \)において連続です。

命題(自然数ベキ関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は自然数ベキ関数であるものとする。すなわち、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}という形で表すことができるものとする。この\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続である。
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例(自然数ベキ関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{5}
\end{equation*}であるならば、上の命題よりこの\(f\)は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において連続です。実際、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha
}x^{5}=\alpha ^{5}=f\left( \alpha \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

 

自然数ベキ関数との合成関数

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。また、\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を自然数ベキ関数とします。つまり、\(g\left( x\right) =x^{n}\)です。\(f\)の値域\(f\left( \mathbb{R} \right) \)は\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。この合成関数\(g\circ f\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を値として定めます。ただし、\(n\)は自然数です。

合成関数について復習する

関数\(f\)が点\(\alpha \)において収束するものとします。自然数ベキ関数\(g\)は\(\mathbb{R} \)上で連続であるため、点\(f\left( \alpha \right) \)においても連続です。したがって、合成関数の極限に関する命題より、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&g\left( \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right) \quad
\because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{n}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。

合成関数の極限について復習する
命題(自然数ベキ関数との合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を考える。ただし、\(n\)は自然数である。\(f\)が点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において収束するならば\(g\)もまた\(\alpha \)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) =\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{n}
\end{equation*}となる。
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関数\(f\)が点\(\alpha \)において収束するだけではなく、連続であるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }g\left( x\right) &=&\left[ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \right] ^{n}\quad \because \text{上の命題} \\
&=&\left[ f\left( \alpha \right) \right] ^{n}\quad \because f\text{の連続性} \\
&=&g\left( \alpha \right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は\(\alpha \)において連続です。

命題(自然数ベキ関数との合成関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を考える。ただし、\(n\)は自然数である。\(f\)が点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において連続ならば、\(g\)もまた\(\alpha \)において連続である。
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例(単項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(m,n\)と実数\(c\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( cx^{n}\right) ^{m}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。これは単項式関数\(cx^{n}\)と自然数ベキ関数\(x^{m}\)の合成関数です。単項式関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において収束するだけでなく連続でもあるため、上の命題より、この関数\(f\)もまた\(\mathbb{R} \)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。ちなみに、それぞれの点\(\alpha \in \mathbb{R}\)における極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( cx^{n}\right) ^{m}=\left( \alpha x^{n}\right) ^{m}=f\left( \alpha
\right)
\end{equation*}を満たします。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( -7x^{3}\right) ^{5}
\end{equation*}は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( -7x^{3}\right) ^{5}=\left( -7\alpha ^{3}\right) ^{5}=f\left( \alpha
\right)
\end{equation*}を満たします。
単項式関数について復習する
例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(m,n\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{m} \\
&=&\left( c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}\right) ^{m}
\end{eqnarray*}という形で表すことができるものとします。これは多項式関数\(\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)と自然数ベキ関数\(x^{m}\)の合成関数です。多項式関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において収束するだけでなく連続でもあるため、上の命題より、この関数\(f\)もまた\(\mathbb{R} \)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。ちなみに、それぞれの点\(\alpha \in \mathbb{R}\)における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{m} \\
&=&\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}\alpha ^{k}\right) ^{m} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( 2x^{2}-\sqrt{3}x+1\right) ^{5}
\end{equation*}は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}\)において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( 2x^{2}-\sqrt{3}x+1\right) ^{5} \\
&=&\left( 2\alpha ^{2}-\sqrt{3}\alpha +1\right) ^{5} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。
多項式関数について復習する
例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(f\)が定める値は、自然数\(n\)と多項式関数\(g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{n}
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\{x\in \mathbb{R}\ |\ h\left( x\right) \not=0\}
\end{equation*}です。これは有理関数\(\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)と自然数ベキ関数\(x^{n}\)の合成関数です。有理関数は定義域\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく連続でもあるため、上の命題より、この関数\(f\)もまた\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。ちなみに、それぞれの点\(\alpha \in X\)における極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha }
\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{m} \\
&=&\left[ \frac{g\left( \alpha \right) }{h\left( \alpha \right) }\right] ^{m}
\\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。例えば、関数\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( \frac{2x^{2}-7}{x-5}\right) ^{5}
\end{equation*}は任意の点\(\alpha \in \mathbb{R}\backslash \{5\}\)において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \alpha
}\left( \frac{2x^{2}-7}{x-5}\right) ^{5} \\
&=&\left( \frac{2\alpha ^{2}-7}{\alpha -5}\right) ^{5} \\
&=&f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}を満たします。
有理関数について復習する

次回は整数ベキ関数について学びます。

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