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数列を用いた無限大における関数の収束判定

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数列を用いた無限大における関数の極限の定義

関数が無限大において収束することをイプシロン・デルタ論法を使って証明するのは面倒です。点における関数の極限や片側極限と同様、無限大における関数の極限もまた数列を用いて表現することができ、そちらの定義を利用した方が関数が無限大において収束することを容易に示すことが出来ます。順を追って説明します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は限りなく大きい任意の点において定義されているものとします。その上で、実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=+\infty
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(X\)の点を項とするとともに、正の無限大へ発散する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。この数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の任意の項\(x_{n}\)は\(X\)の要素であるため、それに対して\(f\)は像\(f\left(x_{n}\right) \)を定めます。\(f\left(x_{n}\right) \)は実数であるため、これを項とする新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right)\right\} \)を構成できます。このとき、この数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(正の無限大における関数の収束と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)をつくる。このとき、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、先のように定義された任意の数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=+\infty
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を構成します。このように定義される任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束する場合には、\(x\rightarrow +\infty \)のときに関数\(f\)が\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(正の無限大における関数の収束と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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この命題について注意しなければならないのは、\(X\)の点を項とするとともに正の無限大へ発散する「任意の」数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することが前提条件になっているという点です。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、上の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。

以上の2つの命題により、正の無限大における関数の収束というがいいねんは数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(数列を用いた正の無限大における関数の極限の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。

負の無限大において収束する関数についても同様の命題が成り立ちます。

命題(数列を用いた負の無限大における関数の極限の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに負の無限大\(-\infty \)へ発散する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。

以上の命題より、無限大における関数の収束に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

例(無限大における関数の収束と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものと定義されているとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right) &=&0
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを数列を用いて証明します。そこで、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の点をとりながら正の無限大へ発散する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{x_{n}}\right) \quad \because \left( a\right) \\
&=&0\quad \because \left( b\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) =0
\end{equation*}であることが示されました。続いて、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の点をとりながら負の無限大へ発散する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\not=0 \\
&&\left( d\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=-\infty
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{x_{n}}\right) \quad \because \left( a\right) \\
&=&0\quad \because \left( b\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =0
\end{equation*}であることが示されました。

 

関数が無限大において収束しないことの証明

先の諸命題は、関数が無限大において有限な実数へ収束しないことを示す際にも有用です。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を適当に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)が有限な実数へ収束しないのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。同様に、\(X\)の点を項とするとともに負の無限大\(-\infty \)へ発散する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を適当に選んだ場合、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が有限な実数へ収束しないのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。

例(関数が無限大において収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことを示します。具体的には、一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}として与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に注目します。この数列は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty
\end{eqnarray*}をともに満たします。その一方で、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}^{2}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\right) ^{2}\quad \because \left(
a\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \quad \because \left(
b\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり有限な実数へ収束しないため、\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。

次回は無限大において関数が発散することの意味を解説します。

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