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線形代数学
ベクトル空間上の線形写像
〈 ベクトル空間
複素解析 〉
定義域と終集合が一般のベクトル空間であるような線形写像について解説します。
学習内容
線形写像
線形写像という概念を定義します。
線形写像の定義と具体例
定義域と終集合がともに一般のベクトル空間であり、なおかつ加法性と斉次性を満たす写像を線形写像と呼びます。
線形写像の表現行列と行列表現
実ベクトル空間の間に定義された線形写像を行列を用いて表現できるように、一般のベクトル空間の間に定義された線形写像についても、ベクトル空間の基底を指定すれば、それを行列を用いて表現できます。
線形写像の性質
線形写像の性質について解説します。
線形写像の値域(像)
線形写像がとり得るすべての値からなる集合を線形写像の値域と呼びます。値域は線形写像の終集合の部分空間です。
線形写像の核(ゼロ空間)
線形写像によるゼロベクトルの逆像をその線形写像の核やゼロ空間などと呼びます。線形写像の核は線形写像の定義域であるベクトル空間の部分空間です。
線形写像の次元定理(線形写像の基本定理)
線形写像の定義域であるベクトル空間が有限次元を持つ場合、その線形写像の核と値域もまた有限次元になるとともに、定義域の次元は、核の次元と値域の次元の和と一致します。これを次元定理や線形写像の基本定理と呼びます。
線形写像が全射・単射・全単射であることの判定
線形写像の値域と終集合が一致することと、その線形写像が全射であることは必要十分条件です。線形写像の核がゼロベクトル空間であることと、その線形写像が単射であることは必要十分です。
同型写像
同型写像について解説します。
同型写像・同型なベクトル空間
全射であるような線形写像を同型写像と呼びます。2つのベクトル空間の間に同型写像が存在する場合、それらのベクトル空間は同型であると言います。
同型写像のもとで不変な性質
ベクトル空間の部分集合Xが満たすある性質Pに注目したとき、集合Xを同型写像によって別のベクトル空間へ写した場合にも、その像が性質Pを依然として満たすのであれば、そのような性質Pは同型写像のもとで不変であると言います。
線形写像の演算
線形写像の演算について解説します。
線形写像の加法と表現行列の加法
線形写像どうしの加法を定義した上で、その基本的な性質について解説します。また、線形写像どうし加法と、線形写像の表現行列どうしの加法の関係について解説します。
線形写像のスカラー乗法と表現行列のスカラー乗法
線形写像のスカラー乗法を定義した上で、その基本的な性質について解説します。また、線形写像のスカラー乗法と、線形写像の表現行列のスカラー乗法の関係について解説します。
線形写像の合成と表現行列の乗法
線形写像どうしの合成写像について、その基本的な性質について解説します。また、線形写像の合成と、線形写像の表現行列の乗法の関係について解説します。
〈 ベクトル空間
複素解析 〉
学習ガイド
2026-06-10
学習ガイド
大学の数学カリキュラムとWIISのカリキュラムは何が違うのか
多くの大学では入学後すぐに微分積分学や線形代数学を学び、その後に実数論や位相空間論などの理論的な科目へ進みます。一方、WIISでは論理学・集合論の後に実数論を学び、その上で微分積分学へ進むカリキュラムを採用しています。本記事では、それぞれの考え方とWIISの学習順序のメリットについて解説します。
キーワード:
実数論
,
数学
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線形写像の核(ゼロ空間)
1件の返信 ・最終更新 2年、 2ヶ月前
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