直線どうしの位置関係

2本の直線の位置関係

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線を表現するためには、その直線上に存在する点の位置ベクトルと直線の方向ベクトルを指定すれば十分です。具体的には、問題としている直線上に存在する点\(P\)の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と直線の方向ベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、その直線のベクトル方程式は、媒介変数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}と表現されるため、直線上のすべての点の位置ベクトルからなる集合、すなわち直線は、\begin{equation*}
L\left( p,v\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\}
\end{equation*}と表現されます。以上がベクトル方程式を用いた直線の定義です。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2本の直線が、\begin{eqnarray*}L\left( p,v\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\} \\
L\left( q,w\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s\in \mathbb{R} :x=q+sw\right\}
\end{eqnarray*}としてそれぞれ与えられているものとします。ただし、\(p,q\in \mathbb{R} ^{n}\)は位置ベクトルであり、\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)は方向ベクトルであり、\(t,s\in \mathbb{R} \)は媒介変数です。2本の直線の位置関係としてどのようなパターンが起こり得るのでしょうか。

1つ目の基準は「2本の直線が平行であるかどうか」です。具体的には、2本の直線の方向ベクトル\(v,w\)のうちの一方を他方の非負のスカラー倍として表せるならば、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\exists k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :v=kw
\end{equation*}が成り立つならば、2本の直線は平行です。逆に、以下の条件\begin{equation*}
\forall k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :v\not=kw
\end{equation*}が成り立つならば、2本の直線は平行ではありません。

2つ目の基準は「2本の直線が交わるかどうか」です。具体的には、2つの直線が同一の点を共有するならば、すなわち、\begin{equation*}
\exists s,t\in \mathbb{R} :p+tv=q+sw
\end{equation*}が成り立つならば、2本の直線は交わります。逆に、以下の条件\begin{equation*}
\forall s,t\in \mathbb{R} :p+tv\not=q+sw
\end{equation*}が成り立つならば、2本の直線は交わりません。

以上の2つの基準をもとに場合を分けると、論理的には、2本の直線の位置関係として以下の4つの状況が考えられます。

$$\begin{array}{ccc}\hline
方向\diagdown 交点 & 交わる & 交わらない \\ \hline
平行である & 一致する直線 & 平行かつ異なる直線 \\ \hline
平行ではない & 交差する直線 & ねじれの位置にある直線 \\ \hline
\end{array}$$

以降ではそれぞれの場合について順番に解説します。

一致する2本の直線

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2本の直線が、\begin{eqnarray*}L\left( p,v\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\} \\
L\left( q,w\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s\in \mathbb{R} :x=q+sw\right\}
\end{eqnarray*}としてそれぞれ与えられているものとします。ただし、\(p,q\in \mathbb{R} ^{n}\)は位置ベクトルであり、\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)は方向ベクトルです。

これらの直線が「平行である」とともに「交わる」場合について考えます。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \exists k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :v=kw \\
&&\left( b\right) \ \exists s,t\in \mathbb{R} :p+tv=q+sw
\end{eqnarray*}が成り立つケースを想定するということです。このとき、これらの直線は一致する（coincident）と言います。

実際、以上の2つの条件が成り立つ場合には、2つの直線が集合として一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}
L\left( p,v\right) =L\left( q,w\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

平行かつ異なる2本の直線

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2本の直線が、\begin{eqnarray*}L\left( p,v\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\} \\
L\left( q,w\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s\in \mathbb{R} :x=q+sw\right\}
\end{eqnarray*}としてそれぞれ与えられているものとします。ただし、\(p,q\in \mathbb{R} ^{n}\)は位置ベクトルであり、\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)は方向ベクトルです。

これらの直線が「平行である」とともに「交わらない」場合について考えます。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \exists k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :v=kw \\
&&\left( b\right) \ \forall s,t\in \mathbb{R} :p+tv\not=q+sw
\end{eqnarray*}が成り立つケースを想定するということです。このとき、これらは平行かつ異なる直線（distinct paralell lines）である言います。

2本の直線が平行である場合、それらの直線が一致するケースと、異なる直線であるケースの2通りの可能性があります。「平行」という用語を「平行かつ異なる」という意味で使われる場合もあるため、文脈から判断する必要があります。

交差する2本の直線

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2本の直線が、\begin{eqnarray*}L\left( p,v\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\} \\
L\left( q,w\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s\in \mathbb{R} :x=q+sw\right\}
\end{eqnarray*}としてそれぞれ与えられているものとします。ただし、\(p,q\in \mathbb{R} ^{n}\)は位置ベクトルであり、\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)は方向ベクトルです。

これらの直線が「平行ではない」とともに「交わる」場合について考えます。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :v\not=kw \\
&&\left( b\right) \ \exists s,t\in \mathbb{R} :p+tv=q+sw
\end{eqnarray*}が成り立つケースを想定するということです。このとき、これらの直線は交差する（intersect）と言います。

2本の直線が交差する場合、すなわち両者が「平行ではない」とともに「交わる」場合、両者の交点は1つだけであることが保証されます。なぜなら、2本の直線が2つ以上の交点を持つ場合、それらは直線として一致するため平行になり、その事実は2本の直線が「平行ではない」ことと矛盾するからです（演習問題）。

ねじれの位置にある2本の直線

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2本の直線が、\begin{eqnarray*}L\left( p,v\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\} \\
L\left( q,w\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s\in \mathbb{R} :x=q+sw\right\}
\end{eqnarray*}としてそれぞれ与えられているものとします。ただし、\(p,q\in \mathbb{R} ^{n}\)は位置ベクトルであり、\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)は方向ベクトルです。

これらの直線が「平行ではない」とともに「交わらない」場合について考えます。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall k\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :v\not=kw \\
&&\left( b\right) \ \exists s,t\in \mathbb{R} :p+tv\not=q+sw
\end{eqnarray*}が成り立つケースを想定するということです。このとき、これらの直線はねじれの位置にある（skew）と言います。

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する2本の直線が平行ではない場合には、それらは必ず交わります。したがって、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線どうしがねじれの位置に関係にある事態は起こり得ません（演習問題）。

演習問題