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点と直線の距離

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直線の方程式

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平面の方程式

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直線上の点と法線ベクトルが与えられている場合

2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)において、直線上にある点\(P\)の座標\begin{equation*}p=\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}と法線ベクトル\begin{equation*}
n=\left( n_{1},n_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}が与えられたとき、直線\(L\left( p,n\right) \)の方程式は、\begin{equation*}\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x_{1}-p_{1},x_{2}-p_{2}\right) \cdot \left( n_{1},n_{2}\right) =0
\end{equation*}として与えられます。2次元空間上の点\(Q\)の座標\begin{equation*}q=\left( q_{1},q_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられたとき、直線\(L\left( p,n\right) \)と点\(Q\)の間の距離をどのように求めればよいでしょうか。

図:点と直線の距離
図:点と直線の距離

点\(Q\)と直線\(L\left( p,n\right) \)の間の距離を求めるためには、点\(Q\)から直線\(L\left(p,n\right) \)に対して下ろした垂線の長さを求めればよいのですが、それはベクトル\(\overrightarrow{PQ}\)の法線ベクトル\(n\)へのベクトル射影\(\mathrm{proj}_{n}\overrightarrow{PQ}\)の大きさと一致します(上図)。つまり、点\(Q\)と直線\(L\left( p,n\right) \)の間の距離は、\begin{equation*}\left\Vert \mathrm{proj}_{n}\left( q-p\right) \right\Vert
\end{equation*}と一致するということです。ベクトル射影の定義を踏まえると、具体的には以下のようになります。

命題(2次元空間における点と直線の間の距離)
2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における直線\(L\)上の点\(P\)の座標\(p=\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と法線ベクトル\(n=\left(n_{1},n_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)が与えられているものとする。点\(Q\)の座標を\(\left(q_{2},q_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)とする。このとき、直線\(L\)と点\(Q\)の間の距離は、\begin{equation*}\frac{\left\vert n\cdot \left( q-p\right) \right\vert }{\left\Vert
n\right\Vert }=\frac{\left\vert n_{1}\left( q_{1}-p_{1}\right) +n_{2}\left(
q_{2}-p_{2}\right) \right\vert }{\sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}
\end{equation*}となる。

証明

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3次元空間における点と直線の距離についても同様に考えます。

命題(3次元空間における点と直線の間の距離)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における直線\(L\)上の点\(P\)の座標\(p=\left( p_{1},p_{2},p_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)と法線ベクトル\(n=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\} \)が与えられているものとする。点\(Q\)の座標を\(\left(q_{2},q_{2},q_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)とする。このとき、直線\(L\)と点\(Q\)の間の距離は、\begin{equation*}\frac{\left\vert n\cdot \left( q-p\right) \right\vert }{\left\Vert
n\right\Vert }=\frac{\left\vert n_{1}\left( q_{1}-p_{1}\right) +n_{2}\left(
q_{2}-p_{2}\right) +n_{3}\left( q_{3}-p_{3}\right) \right\vert }{\sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}
\end{equation*}となる。

 

直線の方程式が与えられている場合

2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における直線の方程式を、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0
\end{equation*}と表すこともできます。ただし、\(\left( a_{1},a_{2}\right)\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)かつ\(b\in \mathbb{R} \)です。直線がこのような形で与えられた場合、点と直線の距離を以下のように表現できます。

命題(2次元空間における点と直線の間の距離)
2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における直線\(L\)の方程式が、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0
\end{equation*}で与えられているものとする。ただし、\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)かつ\(b\in \mathbb{R} \)である。点\(Q\)の座標を\(\left( q_{2},q_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)とする。このとき、直線\(L\)と点\(Q\)の間の距離は、\begin{equation*}\frac{\left\vert a_{1}q_{1}+a_{2}q_{2}+b\right\vert }{\left\Vert \left(
a_{1},a_{2}\right) \right\Vert }=\frac{\left\vert
a_{1}q_{1}+a_{2}q_{2}+b\right\vert }{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}
\end{equation*}となる。

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3次元空間における点と直線の距離についても同様に考えます。

命題(3次元空間における点と直線の間の距離)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における直線\(L\)の方程式が、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0
\end{equation*}で与えられているものとする。ただし、\(\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\} \)かつ\(b\in \mathbb{R} \)である。点\(Q\)の座標を\(\left( q_{2},q_{2},q_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)とする。このとき、直線\(L\)と点\(Q\)の間の距離は、\begin{equation*}\frac{\left\vert a_{1}q_{1}+a_{2}q_{2}+a_{3}q_{3}+b\right\vert }{\left\Vert
\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \right\Vert }=\frac{\left\vert
a_{1}q_{1}+a_{2}q_{2}+a_{3}q_{3}+b\right\vert }{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}
\end{equation*}となる。

 

直線のベクトル方程式が与えられている場合

2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)において、直線上にある点\(P\)の座標\begin{equation*}p=\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}と方向ベクトル\begin{equation*}
v=\left( v_{1},v_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}が与えられたとき、直線\(L\left( p,v\right) \)のベクトル方程式は、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( p_{1},p_{2}\right) +t\left(
v_{1},v_{2}\right)
\end{equation*}として与えられます。ただし、\(t\in \mathbb{R} \)は媒介変数です。直線がこのような形で与えられた場合、点と直線の距離を以下のように表現できます。

命題(2次元空間における点と直線の間の距離)
2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における直線\(L\)上の点\(P\)の座標\(p=\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と方向ベクトル\(v=\left(v_{1},v_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)が与えられているものとする。点\(Q\)の座標を\(\left(q_{2},q_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)とする。このとき、直線\(L\)と点\(Q\)の間の距離は、\begin{equation*}\frac{\left\vert \left( -v_{2},v_{1}\right) \cdot \left( q-p\right)
\right\vert }{\left\Vert v\right\Vert }=\frac{\left\vert v_{1}\left(
q_{2}-p_{1}\right) -v_{2}\left( q_{1}-p_{1}\right) \right\vert }{\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}
\end{equation*}となる。

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3次元空間における点と直線の距離については外積を用いて以下のように表現できます。

命題(3次元空間における点と直線の間の距離)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における直線\(L\)上の点\(P\)の座標\(p=\left( p_{1},p_{2},p_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)と方向ベクトル\(v=\left(v_{1},v_{2},v_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\} \)が与えられているものとする。点\(Q\)の座標を\(\left(q_{2},q_{2},q_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)とする。このとき、直線\(L\)と点\(Q\)の間の距離は、\begin{equation*}\frac{\left\Vert \left( q-p\right) \times v\right\Vert }{\left\Vert
v\right\Vert }=\frac{\left\Vert \left( q-p\right) \times v\right\Vert }{\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}
\end{equation*}となる。

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例(3次元空間における点と直線の距離)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における直線\(L\)が点\(\left( 7,5,5\right) \)を通過するとともに、その方向ベクトルが\(\left( 2,4,-9\right) \)であるものとします。この直線と点\(\left( 2,6,6\right) \)の距離は、上の命題より、\begin{eqnarray*}\frac{\left\Vert \left[ \left( 2,6,6\right) -\left( 7,5,5\right) \right] \times \left( 2,4,-9\right) \right\Vert }{\left\Vert \left( 2,4,-9\right)
\right\Vert } &=&\frac{\left\Vert \left( -5,1,1\right) \times \left(
2,4,-9\right) \right\Vert }{\left\Vert \left( 2,4,-9\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{\left\Vert \left(
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
4 & -9\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}
-5 & 1 \\
2 & -9\end{vmatrix},\begin{vmatrix}
-5 & 1 \\
2 & 4\end{vmatrix}\right) \right\Vert }{\left\Vert \left( 2,4,-9\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{\left\Vert \left( -13,-43,-22\right) \right\Vert }{\left\Vert
\left( 2,4,-9\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{\left\Vert \left( -13,-43,-22\right) \right\Vert }{\left\Vert
\left( 2,4,-9\right) \right\Vert } \\
&=&\frac{\sqrt{\left( -13\right) ^{2}+\left( -43\right) ^{2}+\left(
-22\right) ^{2}}}{\sqrt{2^{2}+4^{2}+\left( -9\right) ^{2}}} \\
&=&\frac{3\sqrt{278}}{\sqrt{101}} \\
&\approx &4.977
\end{eqnarray*}となります。

 

直線の媒介変数表示が与えられている場合

2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)において直線\(L\)が媒介変数表示されている場合には、すなわち、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=p_{1}+tv_{1} \\
x_{2}=p_{2}+tv_{2}\end{array}\right.
\end{equation*}と表されている場合には、もしくは、これらの方程式から媒介変数\(t\)を消去した、\begin{equation*}\frac{x_{1}-p_{1}}{v_{1}}=\frac{x_{2}-p_{2}}{v_{2}}
\end{equation*}が与えられている場合には、直線\(L\)のベクトル方程式\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( v_{1},v_{2}\right) t+\left(
p_{1},p_{2}\right)
\end{equation*}が得られます。特に、\(t=0\)の場合には、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( p_{1},p_{2}\right)
\end{equation*}となるため、この直線\(L\)は点\(\left( p_{1},p_{2}\right) \)を通過するとともに方向ベクトル\(\left( v_{1},v_{2}\right) \)を持ちます。このように考えれば、先の命題を用いて点と直線の距離を求めることができます。

3次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)において、直線\(L\)が媒介変数表示されている場合も同様に考えます。

 

直線上の2つの点が与えられている場合

2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)において直線\(L\)が通過する2つの異なる点\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \)が与えられている場合、以下のベクトル\begin{equation*}\left( y_{1},y_{2}\right) -\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}はこの直線\(L\)の方向ベクトルです。加えて、\(L\)が通過する点も明らかになっているため、先の命題を用いて点と直線の距離を求めることができます。

3次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)において、直線\(L\)が通過する2つの異なる点が与えられている場合にも同様に考えます。

 

演習問題

問題(点と直線の距離)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)において、直線\(L\)のベクトル方程式が、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( -1,2,-7\right) +t\left(
-9,-9,6\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。ただし、\(t\in \mathbb{R} \)です。この直線\(L\)と点\(\left( -8,1,10\right) \)の距離を求めてください。
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問題(点と直線の距離)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)において、直線\(L\)の方程式が、\begin{equation*}\frac{x+8}{2}=\frac{y-9}{8}=\frac{z+7}{-8}
\end{equation*}で与えられているものとします。この直線\(L\)と点\(\left( -5,-7,-10\right) \)の距離を求めてください。
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問題(点と直線の距離)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)において、直線\(L\)が以下の2つの点\begin{eqnarray*}&&\left( 1,3,1\right) \\
&&\left( 4,3,2\right)
\end{eqnarray*}を通過するものとします。この直線と点\(\left( -3,-4,0\right) \)の距離を求めてください。
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