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点と直線の間の距離

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直線のベクトル方程式が与えられている場合

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2つの点の位置ベクトルが\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)である場合、それらの点の間の距離は、\begin{equation*}\left\Vert x-y\right\Vert =\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\cdots
+\left( x_{n}-y_{n}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定義されます。では、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線と点の間の距離をどのように特定できるでしょうか。直線は様々な形で表現されるため、それぞれの場合について、直線と点の間の距離を特定する方法を解説します。

まずは、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線がベクトル方程式によって表現されている場合について考えます。具体的には、直線\(L\)上に存在する点\(P\)の位置ベクトル\begin{equation*}p\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と直線の方向ベクトル\begin{equation*}
v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が与えられれば、この直線のベクトル方程式は、媒介変数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}と表現されるため、この直線は、\begin{equation*}
L=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\}
\end{equation*}と表現されます。空間上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが\begin{equation*}q\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるものとします。

以上の状況において、直線\(L\)と点\(Q\)の間の最短距離を以下の要領で特定できます。

命題(点と直線の間の距離)
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線\(L\)のベクトル方程式が、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}で与えられているものとする。ただし、\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)かつ\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(t\in \mathbb{R} \)である。空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが、\begin{equation*}q\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるものとする。このとき、直線\(L\)と点\(Q\)の間の最短距離は、\begin{equation*}\left\Vert \left( q-p\right) -\left[ \frac{\left( q-p\right) \cdot v}{\left\Vert v\right\Vert ^{2}}\right] v\right\Vert
\end{equation*}として定まる。

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例(平面における点と直線の間の距離)
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線\(L\)のベクトル方程式が、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}で与えられており、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、直線\(L\)と点\(Q\)の間の最短距離は、\begin{eqnarray*}&&\left\Vert \left( q-p\right) -\left[ \frac{\left( q-p\right) \cdot v}{\left\Vert v\right\Vert ^{2}}\right] v\right\Vert \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
q_{1}-p_{1} \\
q_{2}-p_{2}\end{array}\right) -\frac{\left( q_{1}-p_{1}\right) v_{1}+\left( q_{2}-p_{2}\right)
v_{2}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2}\end{array}\right) \right\Vert
\end{eqnarray*}となります。

例(平面における点と直線の間の距離)
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)における\(x\)軸は原点\(\left( 0,0\right) \)を通過し方向ベクトルが\(\left( 1,0\right) \)であるような直線であるため、\(x\)軸に相当する直線\(L\)上に存在する点の位置ベクトル\(p\)と直線の方向ベクトル\(v\)として、\begin{eqnarray*}p &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
v &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ採用できます。平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(x\)軸に相当する直線\(L\)と点\(Q\)の間の最短距離は明らかに、\begin{equation*}\left\vert q_{2}\right\vert
\end{equation*}です。一方、先の命題を用いて計算すると、\begin{eqnarray*}
&&\left\Vert \left( q-p\right) -\left[ \frac{\left( q-p\right) \cdot v}{\left\Vert v\right\Vert ^{2}}\right] v\right\Vert \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
q_{1}-0 \\
q_{2}-0\end{array}\right) -\frac{\left( q_{1}-0\right) 1+\left( q_{2}-0\right) 0}{1^{2}+0^{2}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2}\end{array}\right) -q_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
0 \\
q_{2}\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{q_{2}^{2}} \\
&=&\left\vert q_{2}\right\vert
\end{eqnarray*}となり、同一の結果が導かれました。

例(空間における点と直線の間の距離)
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する直線\(L\)のベクトル方程式が、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2} \\
p_{3}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}で与えられており、平面\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2} \\
q_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、直線\(L\)と点\(Q\)の間の最短距離は、\begin{eqnarray*}&&\left\Vert \left( q-p\right) -\left[ \frac{\left( q-p\right) \cdot v}{\left\Vert v\right\Vert ^{2}}\right] v\right\Vert \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
q_{1}-p_{1} \\
q_{2}-p_{2} \\
q_{3}-p_{3}\end{array}\right) -\frac{\left( q_{1}-p_{1}\right) v_{1}+\left( q_{2}-p_{2}\right)
v_{2}+\left( q_{3}-p_{3}\right) v_{3}}{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3}\end{array}\right) \right\Vert
\end{eqnarray*}となります。

例(空間における点と直線の間の距離)
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における\(x\)軸は原点\(\left( 0,0,0\right) \)を通過し方向ベクトルが\(\left( 1,0,0\right) \)であるような直線であるため、\(x\)軸に相当する直線\(L\)上に存在する点の位置ベクトル\(p\)と直線の方向ベクトル\(v\)として、\begin{eqnarray*}p &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0\end{array}\right) \\
v &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ採用できます。平面\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2} \\
q_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(x\)軸に相当する直線\(L\)と点\(Q\)の間の最短距離は、\begin{eqnarray*}&&\left\Vert \left( q-p\right) -\left[ \frac{\left( q-p\right) \cdot v}{\left\Vert v\right\Vert ^{2}}\right] v\right\Vert \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
q_{1}-0 \\
q_{2}-0 \\
q_{3}-0\end{array}\right) -\frac{\left( q_{1}-0\right) 1+\left( q_{2}-0\right) 0+\left(
q_{3}-0\right) 0}{1^{2}+0^{2}+0^{2}}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2} \\
q_{3}\end{array}\right) -q_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
0 \\
q_{2} \\
q_{3}\end{array}\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{q_{2}^{2}+q_{3}^{2}}
\end{eqnarray*}となります。

 

直線の媒介変数表示が与えられている場合

続いて、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線\(L\)の媒介変数表示が与えられている場合について考えます。具体的には、直線上に存在する点\(P\)の位置ベクトル\begin{equation*}p\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と直線の方向ベクトル\begin{equation*}
v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が与えられれば、この直線の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=p_{1}+tv_{1} \\
\vdots \\
x_{n}=p_{n}+tv_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}と表現されます。空間上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが\begin{equation*}q\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるものとします。以上の状況において、直線\(L\)と点\(Q\)の間の最短距離を特定するためにはどうすればよいでしょうか。

直線の媒介変数表示\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=p_{1}+tv_{1} \\
\vdots \\
x_{n}=p_{n}+tv_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}が与えられれば、直線上に存在する点\(P\)の位置ベクトルを、\begin{equation*}p=\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
\vdots \\
p_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}として、直線の方向ベクトルを、\begin{equation*}
v=\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}としてそれぞれ特定できるため、先の命題を用いることにより、点\(Q\)と直線\(L\)の間の最短距離を特定できます。

 

直線の対称式が与えられている場合

続いて、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線\(L\)の対称式が与えられている場合について考えます。具体的には、直線上に存在する点\(P\)の位置ベクトル\begin{equation*}p=\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
\vdots \\
p_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と直線の方向ベクトル\begin{equation*}
v=\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が与えられており、なおかつ方向ベクトル\(v\)のすべての成分\(v_{1},\cdots ,v_{n}\)が非ゼロである場合、直線の対称式は、\begin{equation*}\frac{x_{1}-p_{1}}{v_{1}}=\cdots =\frac{x_{n}-p_{n}}{v_{n}}
\end{equation*}と表現されます。空間上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが\begin{equation*}q\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるものとします。以上の状況において、直線\(L\)と点\(Q\)の間の最短距離を特定するためにはどうすればよいでしょうか。

直線の対称式\begin{equation*}
\frac{x_{1}-p_{1}}{v_{1}}=\cdots =\frac{x_{n}-p_{n}}{v_{n}}
\end{equation*}が与えられれば、直線上に存在する点\(P\)の位置ベクトルを、\begin{equation*}p=\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
\vdots \\
p_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}として、直線の方向ベクトルを、\begin{equation*}
v=\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}としてそれぞれ特定できるため、先の命題を用いることにより、点\(Q\)と直線\(L\)の間の最短距離を特定できます。

 

直線上の2つの異なる点が与えられている場合

続いて、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線\(L\)上に存在する2つの異なる点の位置ベクトルが与えられている場合について考えます。具体的には、直線上に存在する2つの異なる点\(P,Q\)の位置ベクトルが、\begin{eqnarray*}p &\in &\mathbb{R} ^{n} \\
q &\in &\mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}であるものとします。空間上に存在する点\(R\)の位置ベクトルが\begin{equation*}r\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるものとします。以上の状況において、直線\(L\)と点\(R\)の間の最短距離を特定するためにはどうすればよいでしょうか。

直線上に存在する2つの異なる点\(P,Q\)の位置ベクトル\(p,q\in \mathbb{R} ^{n}\)からは直線上に存在する点\(P\)の位置ベクトル\begin{equation*}p\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と直線の方向ベクトル\begin{equation*}
q-p\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}を特定できるため、先の命題を用いることにより、点\(R\)と直線\(L\)の間の最短距離を特定できます。

 

空間上に存在する点と直線の間の距離

これまでは一般の空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する点と直線について考えてきましたが、ここでは空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点と直線に話の対象を限定します。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)において直線がベクトル方程式によって表現されている場合、点と直線の間の距離を特定する際に外積を利用できます。具体的には以下の通りです。

命題(空間における点と直線の間の距離)
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する直線\(L\)のベクトル方程式が、\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2} \\
p_{3}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}で与えられているものとする。ただし、\(p\in \mathbb{R} ^{3}\)かつ\(v\in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(t\in \mathbb{R} \)である。空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが、\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2} \\
q_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}であるものとする。このとき、直線\(L\)と点\(Q\)の間の最短距離は、\begin{equation*}\frac{\left\Vert \left( q-p\right) \times v\right\Vert }{\left\Vert
v\right\Vert }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{1}{\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}\left\Vert \left(
\begin{vmatrix}
q_{2}-p_{2} & q_{3}-p_{3} \\
v_{2} & v_{3}\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}
q_{1}-p_{2} & q_{3}-p_{3} \\
v_{1} & v_{3}\end{vmatrix},\begin{vmatrix}
q_{1}-p_{1} & q_{2}-p_{2} \\
v_{1} & v_{2}\end{vmatrix}\right) \right\Vert
\end{equation*}として定まる。

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平面上に存在する点と直線の間の距離

これまでは一般の空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する点と直線や、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点と直線について考えてきましたが、ここでは平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する点と直線に話の対象を限定します。

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線については、その直線上の点\(P\)の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{2}\)と直線の法線ベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、その直線を方程式の法線標準形\begin{equation*}\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-p_{1} \\
x_{2}-p_{2}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2}\end{array}\right) =0
\end{equation*}を用いて表現できます。したがって、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線を、\begin{eqnarray*}L\left( p,n\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-p\right) \cdot n=0\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x_{1}-p_{1} \\
x_{2}-p_{2}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2}\end{array}\right) =0\right\}
\end{eqnarray*}と表現できます。平面上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}であるものとします。以上の状況において、直線\(L\left( p,n\right) \)と点\(Q\)の間の最短距離を特定するためにはどうすればよいでしょうか。

図:点と直線の距離
図:点と直線の距離

点\(Q\)と直線\(L\left( p,n\right) \)の間の最短距離を求めるためには、点\(Q\)から直線\(L\left( p,n\right) \)に対して下ろした垂線の長さを求めればよいのですが、上図から明らかであるように、それはベクトル\(\overrightarrow{PQ}\)の法線ベクトル\(n\)へのベクトル射影\(\mathrm{proj}_{n}\overrightarrow{PQ}\)の大きさと一致します。つまり、点\(Q\)と直線\(L\left( p,n\right) \)の間の最短距離は、\begin{equation*}\left\Vert \mathrm{proj}_{n}\left( q-p\right) \right\Vert
\end{equation*}と一致するということです。以上の事実とベクトル射影の定義を踏まえると以下を得ます。

命題(平面上に存在する点と直線の間の距離)
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線\(L\)の方程式の法線標準形が、\begin{equation*}\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-p_{1} \\
x_{2}-p_{2}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2}\end{array}\right) =0
\end{equation*}で与えられているものとする。ただし、\(p\in \mathbb{R} ^{2}\)かつ\(n\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)である。平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}であるものとする。このとき、直線\(L\)と点\(Q\)の間の最短距離は、\begin{equation*}\frac{\left\vert n\cdot \left( q-p\right) \right\vert }{\left\Vert
n\right\Vert }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\left\vert n_{1}\left( q_{1}-p_{1}\right) +n_{2}\left(
q_{2}-p_{2}\right) \right\vert }{\sqrt{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}
\end{equation*}として定まる。

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平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線については、それを直線の方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0
\end{equation*}を用いて表現することもできます。ただし、この方程式の係数は、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} ,\quad b\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たします。したがって、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線を、\begin{equation*}L\left( a_{1},a_{2},b\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0\right\}
\end{equation*}と表現できます。平面上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}であるものとします。以上の状況において、直線と点\(Q\)の間の最短距離を特定するためにはどうすればよいでしょうか。

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線の方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0
\end{equation*}が与えられたとき、係数ベクトル\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}はこの直線の法線ベクトルです。以上の事実と先の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(点と直線の間の距離)
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線\(L\)の方程式が、\begin{equation*}a\cdot x+b=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0
\end{equation*}で与えられているものとする。ただし、\(a\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(b\in \mathbb{R} \)である。平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する点\(Q\)の位置ベクトルが\begin{equation*}q=\left(
\begin{array}{c}
q_{1} \\
q_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}であるものとする。このとき、直線\(L\)と点\(Q\)の間の最短距離は、\begin{equation*}\frac{\left\vert a\cdot q+b\right\vert }{\left\Vert a\right\Vert }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\left\vert a_{1}q_{1}+a_{2}q_{2}+b\right\vert }{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}
\end{equation*}として定まる。

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演習問題

問題(点と直線の距離)
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する直線\(L\)のベクトル方程式が、媒介変数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
2 \\
-7\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
-9 \\
-9 \\
6\end{array}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この直線\(L\)と点\(\left( -8,1,10\right) \)の間の距離を求めてください。
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問題(点と直線の距離)
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する直線\(L\)の対称式が、\begin{equation*}\frac{x+8}{2}=\frac{y-9}{8}=\frac{z+7}{-8}
\end{equation*}であるものとします。この直線\(L\)と点\(\left(-5,-7,-10\right) \)の間の距離を求めてください。
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問題(点と直線の距離)
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する直線\(L\)が以下の2つの点\begin{eqnarray*}&&\left( 1,3,1\right) \\
&&\left( 4,3,2\right)
\end{eqnarray*}を通過するものとします。この直線と点\(\left( -3,-4,0\right) \)の距離を求めてください。
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