球面と球面パッチ

球面の定義

媒介変数\(s\)が有界閉区間\(\left[ 0,2\pi \right] \)上の値をとり、もう一方の媒介変数\(t\)が有界閉区間\(\left[0,\pi \right] \)上の値をとり得る状況を想定した上で、それぞれの\(\left( s,t\right)\in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \)に対して、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( s,t\right) =\left(
\begin{array}{c}
a+r\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
b+r\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
c+r\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を定義します。ただし、\(\left( a,b,c\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)かつ\(r>0\)です。このベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)によって定義される空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲面を球面（sphere）と呼びます。つまり、球面のベクトル方程式は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a+r\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
b+r\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
c+r\cos \left( t\right)
\end{array}\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \right)
\end{equation*}であり、球面の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a+r\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
y=b+r\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
z=c+r\cos \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \right)
\end{equation*}となります。したがって、球面そのものは、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[
0,\pi \right] :\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a+r\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
b+r\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
c+r\cos \left( t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。球面を規定する点\(\left( a,b,c\right) \)を球面の中心（center）と呼び、\(r\)を球面の半径（radius）と呼びます。

球面の方程式

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する球面の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
x=a+r\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
y=b+r\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
z=c+r\cos \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \right)
\end{equation*}ですが、これを変形すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x-a=r\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
y-b=r\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
z-c=r\cos \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \right)
\end{equation*}となり、さらに、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
\left( x-a\right) ^{2}=r^{2}\cos ^{2}\left( s\right) \sin ^{2}\left(
t\right) \\
\left( y-b\right) ^{2}=r^{2}\sin ^{2}\left( s\right) \sin ^{2}\left(
t\right) \\
\left( z-c\right) ^{2}=r^{2}\cos ^{2}\left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \right)
\end{equation*}を得ます。任意の\(\left(s,t\right) \in \left[ 0,2\pi \right] \times \left[ 0,\pi \right] \)について、\begin{eqnarray*}\sin ^{2}\left( s\right) +\cos ^{2}\left( s\right) &=&1 \\
\cos ^{2}\left( t\right) +\cos ^{2}\left( t\right) &=&1
\end{eqnarray*}が成り立つことを踏まえた上で、先の連立方程式から\(s\)を消去すると、\begin{eqnarray*}\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2} &=&r^{2}\sin ^{2}\left(
t\right) \\
\left( z-c\right) ^{2} &=&r^{2}\cos ^{2}\left( t\right)
\end{eqnarray*}を得て、さらに\(t\)を消去すると、\begin{equation*}\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}+\left( z-c\right) ^{2}=r^{2}
\end{equation*}を得ます。以上が球面の方程式であるため、この方程式を用いて球面を、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}+\left( z-c\right)
^{2}=r^{2}\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

球面パッチの定義

球面上のパッチを球面パッチ（spherical patch）と呼びます。球面パッチのベクトル方程式は、\begin{eqnarray*}
0 &\leq &s_{0}<s_{1}\leq 2\pi \\
0 &\leq &t_{0}<t_{1}\leq \pi
\end{eqnarray*}を満たす実数\(s_{0},s_{1},t_{0},t_{1}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a+r\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
b+r\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
c+r\cos \left( t\right)
\end{array}\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in \left[ s_{0},s_{1}\right] \times \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}と表現されるため、球面パッチの媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a+r\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
y=b+r\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
z=c+r\cos \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in \left[ s_{0},s_{1}\right] \times \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}となります。したがって、球面パッチそのものは、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in \left[ s_{0},s_{1}\right] \times \left[ t_{0},t_{1}\right] :\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a+r\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
b+r\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
c+r\cos \left( t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。

演習問題