曲面(媒介変数曲面)
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する曲面をどのような形で定式化できるでしょうか。平面は特別な曲面であるため、平面の定義について復習した後に、それを一般化する形で曲線の概念を定式化します。
平面上にある点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と平面の線型独立な方向ベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、平面のベクトル方程式は、媒介変数\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+sv+tw
\end{equation*}と表現されるため、平面上のすべての点の位置ベクトルからなる集合、すなわち平面は、\begin{equation*}
P\left( p,v,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\}
\end{equation*}と定まります。以上がベクトル方程式を用いた平面の定義です。
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面\(P\left( p,v,w\right) \)がベクトル方程式\begin{equation*}x=p+sv+tw
\end{equation*}によって表現されているものとします。このとき、媒介変数の値からなる組\(\left( s,t\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、その組に対応する平面上の点の位置ベクトル\begin{equation*}f\left( s,t\right) =p+sv+tw
\end{equation*}を特定する2変数のベクトル値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。すると、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in P\left( p,v,w\right) &\Leftrightarrow &\exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\quad \because P\left( p,v,w\right) \text{の定義}
\\
&\Leftrightarrow &\exists s,t\in \mathbb{R} :x=f\left( s,t\right) \quad \because f\left( s,t\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、平面を、\begin{equation*}
P\left( p,v,w\right) =\left\{ f\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ s,t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面\(P\left( p,v,w\right) \)を上のように定義されたベクトル値関数\(f\)の値域として表現できるということです。
以上を念頭においた上で、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面に限定されない曲面についても、それをベクトル値関数の値域として定義します。つまり、媒介変数\(s,t\)が区間の直積\(I\times J\subset \mathbb{R} ^{2}\)上の値をとり得る状況を想定した上で、媒介変数の値からなるそれぞれの組\(\left( s,t\right)\in I\times J\)に対して、その組に対応する点の位置ベクトル\begin{equation*}f\left( s,t\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( s,t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を特定する2変数のベクトル値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} ^{2}\supset I\times J\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、このベクトル値関数の値域\begin{equation*}
\left\{ f\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ s,t\in I\times J\right\} =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( s,t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ s,t\in I\times J\right\}
\end{equation*}を曲面(surface)や媒介変数曲面(parametrized surface)またはパラメータ付き曲面などと呼びます。その上で、ベクトル値関数\(f\)から定義される局面を、\begin{equation*}S\left( f\right) =\left\{ f\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ s,t\in I\times J\right\}
\end{equation*}で表記するものと定めます。
\end{equation*}の値域\begin{eqnarray*}
S\left( f\right) &=&\left\{ f\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( s,t\right) \in I\times J\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( s,t\right) \\
f_{2}\left( s,t\right) \\
f_{3}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( s,t\right) \in I\times J\right\}
\end{eqnarray*}として定義されます。
\end{equation*}の値域\begin{eqnarray*}
S\left( f\right) &=&\left\{ f\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{4}\ |\ \left( s,t\right) \in I\times J\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( s,t\right) \\
f_{2}\left( s,t\right) \\
f_{3}\left( s,t\right) \\
f_{4}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{4}\ |\ \left( s,t\right) \in I\times J\right\}
\end{eqnarray*}として定義されます。
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このベクトル値関数\(f\)から定義される空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲面は、\begin{equation*}S\left( f\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\}
\end{equation*}ですが、これを球(sphere)と呼びます。
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \\
\sin \left( s\right) \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このベクトル値関数\(f\)から定義される空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲面は、\begin{equation*}S\left( f\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \\
\sin \left( s\right) \\
t\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\}
\end{equation*}ですが、これを円柱(cylinder)と呼びます。
&=&\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2} \\
p_{3}\end{array}\right) +s\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2} \\
w_{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}と表されるものとします。このベクトル値関数\(f\)によって定義される空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲面は、\begin{eqnarray*}S\left( f\right) &=&\left\{ f\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \\
&=&\left\{ p+sv+tw\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\} \\
&=&P\left( p,v,w\right)
\end{eqnarray*}ですが、これは位置ベクトルが\(p\)であり方向ベクトルが\(v,w\)であるような平面に他なりません。つまり、平面は曲面の具体例の1つです。
\begin{array}{c}
x \\
y \\
f\left( x,y\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x,y\right) \in I\times J\right\}
\end{equation*}と定義される空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲面であることが推察されますが、これをどのようなベクトル値関数によって表現できるでしょうか。ベクトル値関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\supset I\times J\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( s,t\right) \in I\times J\)に対して、\begin{equation*}g\left( s,t\right) =\left(
\begin{array}{c}
s \\
t \\
f\left( s,t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めるものとします。このベクトル値関数\(g\)から定義される曲面は、\begin{eqnarray*}S\left( g\right) &=&\left\{ g\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( s,t\right) \in I\times J\right\} \quad \because \text{曲面の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
s \\
t \\
f\left( s,t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( s,t\right) \in I\times J\right\} \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
S\left( g\right) =G\left( f\right)
\end{equation*}が成り立ちます。2変数関数のグラフは空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲面であることが明らかになりました。
\begin{array}{c}
x \\
y \\
f\left( x,y\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n+2}\ |\ \left( x,y\right) \in I\times J\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
f_{1}\left( x,y\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x,y\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n+2}\ |\ \left( x,y\right) \in I\times J\right\}
\end{eqnarray*}と定義される空間\(\mathbb{R} ^{n+2}\)上の曲面であることが推察されますが、これをどのようなベクトル値関数によって表現できるでしょうか。ベクトル値関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\supset I\times J\rightarrow \mathbb{R} ^{n+2}\)はそれぞれの\(\left( s,t\right)\in I\times J\)に対して、\begin{eqnarray*}g\left( s,t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
s \\
t \\
f\left( s,t\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
s \\
t \\
f_{1}\left( s,t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( s,t\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を値として定めるものとします。このベクトル値関数\(g\)から定義される曲面は、\begin{eqnarray*}S\left( g\right) &=&\left\{ g\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{n+2}\ |\ \left( s,t\right) \in I\times J\right\} \quad \because \text{曲面の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
s \\
t \\
f\left( s,t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( s,t\right) \in I\times J\right\} \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
s \\
t \\
f_{1}\left( s,t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( s,t\right) \in I\times J\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
S\left( g\right) =G\left( f\right)
\end{equation*}が成り立ちます。2変数のベクトル値関数のグラフは空間\(\mathbb{R} ^{n+2}\)上の曲面であることが明らかになりました。
曲面のベクトル方程式
繰り返しになりますが、区間の直積上に定義された2変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset I\times J\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられれば、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の曲面が、\begin{equation*}P\left( p,v,w\right) =\left\{ f\left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ s,t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}と定義されます。この曲面上に存在するそれぞれの点\(X\)の位置ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)は何らかの組\(\left( s,t\right) \in I\times J\)を用いて、\begin{equation*}x=f\left( s,t\right)
\end{equation*}という形で表すことができます。そのことを、\begin{equation*}
x=f\left( s,t\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}で表記し、これを曲面のベクトル方程式(vector equatioin of a surface)と呼びます。ちなみに、ベクトル値関数\(f\)の定義域が\(\mathbb{R} ^{2}\)である場合には、曲面\(P\left( f\right) \)のベクトル方程式を、\begin{equation*}x=f\left( s,t\right)
\end{equation*}と簡略的に表記することもできます。
改めて整理すると、区間の直積上に定義されたベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset I\times J\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、曲面\(S\left( f\right) \)のベクトル方程式は、\begin{equation*}x=f\left( s,t\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}と表現されるため、曲面\(S\left( f\right) \)上のすべての点の位置ベクトルからなる集合は、\begin{equation*}S\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in I\times J:x=f\left( s,t\right)
\right\}
\end{equation*}となるため、これをベクトル値関数\(f\)から定義される曲面の定義とすることもできます。
曲面の定義を踏まえると、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の関係\begin{equation*}x\in S\left( f\right) \Leftrightarrow \exists \left( s,t\right) \in I\times
J:x=f\left( s,t\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、点\(x\)が曲面\(S\left( f\right) \)上の点であることとベクトル方程式\(x=f\left(s,t\right) \)の解\(\left( s,t\right) \in I\times J\)が存在することは必要十分です。逆に、以下の関係\begin{equation*}x\not\in S\left( f\right) \Leftrightarrow \forall \left( s,t\right) \in
I\times J:x\not=f\left( s,t\right)
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、点\(x\)が曲面\(S\left( f\right) \)上の点ではないこととベクトル方程式\(x=f\left( s,t\right) \)の解\(\left( s,t\right) \in I\times J\)が存在しないことは必要十分です。
\end{equation*}を用いて、\begin{equation*}
x=f\left( s,t\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( s,t\right) \\
f_{2}\left( s,t\right) \\
f_{3}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}と定義されるため、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する曲面は、\begin{eqnarray*}S\left( f\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in I\times J:x=f\left( s,t\right)
\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in I\times J:\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( s,t\right) \\
f_{2}\left( s,t\right) \\
f_{3}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。
\end{equation*}を用いて、\begin{equation*}
x=f\left( s,t\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( s,t\right) \\
f_{2}\left( s,t\right) \\
f_{3}\left( s,t\right) \\
f_{4}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}と定義されるため、空間\(\mathbb{R} ^{4}\)上に存在する曲面は、\begin{eqnarray*}S\left( f\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{4}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in I\times J:x=f\left( s,t\right)
\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{4}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in I\times J:\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( s,t\right) \\
f_{2}\left( s,t\right) \\
f_{3}\left( s,t\right) \\
f_{4}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と定義されるため、球は、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。点\(\left( 0,0,1\right) \)は球上の点でしょうか。以下の方程式\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を解くと、以下の解\begin{equation*}
\left( s,t\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}が得られるため、点\(\left( 0,0,1\right) \)は球上の点です。点\(\left( 1,1,1\right) \)は球上の点でしょうか。以下の方程式\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}には解\(\left( s,t\right) \)が存在しないため、点\(\left( 1,1,1\right) \)は球上の点ではありません。
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \\
\sin \left( s\right) \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}と定義されるため、円柱は、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \\
\sin \left( s\right) \\
t\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。点\(\left( 1,0,0\right) \)は円柱上の点でしょうか。以下の方程式\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \\
\sin \left( s\right) \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}を解くと、以下の解\begin{equation*}
\left( s,t\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}が得られるため、点\(\left( 1,0,0\right) \)は円柱上の点です。点\(\left( 1,1,1\right) \)は円柱上の点でしょうか。以下の方程式\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \\
\sin \left( s\right) \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}には解\(\left( s,t\right) \)が存在しないため、点\(\left( 1,1,1\right) \)は円柱上の点ではありません。
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2} \\
p_{3}\end{array}\right) +s\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2} \\
w_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}と定義されるため、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面は、\begin{equation*}\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2} \\
p_{3}\end{array}\right) +s\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2} \\
w_{3}\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
s \\
t \\
f\left( s,t\right)
\end{array}\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}と定義されるため、2変数関数のグラフに相当する曲面は、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in I\times J:\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
s \\
t \\
f\left( s,t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
\vdots \\
x_{n+2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
s \\
t \\
f_{1}\left( s,t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}と定義されるため、ベクトル値関数のグラフに相当する曲線は、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
\vdots \\
x_{n+2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n+2}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in I\times J:\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
\vdots \\
x_{n+2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
s \\
t \\
f_{1}\left( s,t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。
曲面の媒介変数表示
繰り返しになりますが、区間の直積上に定義された2変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset I\times J\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)から定義される空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の曲面\(P\left( p,v,w\right) \)のベクトル方程式は、\begin{equation*}x=f\left( s,t\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}と定義されます。このベクトル方程式を成分ごとに分解して表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=f_{1}\left( s,t\right) \\
\vdots \\
x_{n}=f_{1}\left( s,t\right)
\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}を得ます。ただし、\(x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)はベクトル\(x\)の第\(i\)成分であり、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{2}\supset I\times J\rightarrow \mathbb{R} \)はベクトル値関数\(f\)の成分関数です。これを曲面の媒介変数表示(parametric equations of a surface)と呼びます。
\end{equation*}を用いて、\begin{equation*}
x=f\left( s,t\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( s,t\right) \\
f_{2}\left( s,t\right) \\
f_{3}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}と定義されるため、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する曲面の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=f_{1}\left( s,t\right) \\
x_{2}=f_{2}\left( s,t\right) \\
x_{3}=f_{3}\left( s,t\right)
\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を用いて、\begin{equation*}
x=f\left( s,t\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( s,t\right) \\
f_{2}\left( s,t\right) \\
f_{3}\left( s,t\right) \\
f_{4}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}と定義されるため、空間\(\mathbb{R} ^{4}\)上に存在する曲面の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=f_{1}\left( s,t\right) \\
x_{2}=f_{2}\left( s,t\right) \\
x_{3}=f_{3}\left( s,t\right) \\
x_{4}=f_{4}\left( s,t\right)
\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と定義されるため、球の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
x_{2}=\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
x_{3}=\cos \left( t\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \\
\sin \left( s\right) \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}と定義されるため、円柱の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=\cos \left( s\right) \\
x_{2}=\sin \left( s\right) \\
x_{3}=t\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2} \\
p_{3}\end{array}\right) +s\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2} \\
w_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}と定義されるため、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=p_{1}+sv_{1}+tw_{1} \\
x_{2}=p_{2}+sv_{2}+tw_{2} \\
x_{3}=p_{3}+sv_{3}+tw_{3}\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
s \\
t \\
f\left( s,t\right)
\end{array}\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}と定義されるため、2変数関数のグラフの媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=s \\
x_{2}=t \\
x_{3}=f\left( s,t\right)
\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
\vdots \\
x_{n+2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
s \\
t \\
f_{1}\left( s,t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( s,t\right)
\end{array}\right) \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}と定義されるため、ベクトル値関数のグラフの媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=s \\
x_{2}=t \\
x_{3}=f_{1}\left( s,t\right) \\
\vdots \\
x_{n+2}=f_{n}\left( s,t\right)
\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in I\times J\right)
\end{equation*}となります。
曲面の方程式
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面のベクトル方程式は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2} \\
p_{3}\end{array}\right) +s\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2} \\
w_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、その一方で、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面は方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0
\end{equation*}を用いて表現することもできます。ただし、\(a_{1},a_{2},a_{3},b\in \mathbb{R} \)であるとともに、\(a_{1},a_{2},a_{3}\)の中の少なくとも1つは非ゼロです。いずれにせよ、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面については、媒介変数\(s,t\)を利用せずに方程式を用いて表現できるということです。
任意の曲線について、媒介変数を使わずに方程式を用いてそれを表現できるのでしょうか。まずは具体例を挙げます。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と表現されます。球の媒介変数表示は、\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
x_{2}=\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
x_{3}=\cos \left( t\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}ですが、これを変形すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}^{2}=\cos ^{2}\left( s\right) \sin ^{2}\left( t\right) \\
x_{2}^{2}=\sin ^{2}\left( s\right) \sin ^{2}\left( t\right) \\
x_{3}^{2}=\cos ^{2}\left( t\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を得ます。さらに、任意の\(s,t\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\sin ^{2}\left( s\right) +\cos ^{2}\left( s\right) &=&1 \\
\sin ^{2}\left( t\right) +\cos ^{2}\left( t\right) &=&1
\end{eqnarray*}が成り立つことを踏まえた上で、先の連立方程式から\(s,t\)を消去すると以下の方程式\begin{equation}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。以上より、\(\left( 1\right) \)を満たす任意のベクトル\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)、すなわち球\(S\)上の任意の点の位置ベクトル\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)は方程式\(\left( 2\right) \)を満たすことが明らかになりました。逆に、\(\left( 2\right) \)を満たす\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)を任意に選んだとき、任意の\(\left( s,t\right) \)が\(\left( 1\right) \)の解になるため、この\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)は球\(S\)上の位置ベクトルです。したがって、方程式\(\left( 2\right) \)を用いて球を、\begin{equation*}S=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。
改めて整理すると、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset I\times J\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)から定義される曲面は、\begin{equation*}S\left( f\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in I\times J:x=f\left( s,t\right)
\right\}
\end{equation*}ですが、この曲面\(S\left(f\right) \)を念頭においたとき、何らかの多変数関数\(F:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のもとで、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の関係\begin{equation*}\exists \left( s,t\right) \in I\times J:x=f\left( s,t\right) \Leftrightarrow
F\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つのであれば、先の曲面を、\begin{equation*}
S\left( f\right) =\left\{ x\in X\ |\ F\left( x\right) =0\right\}
\end{equation*}と表現できます。つまり、曲面\(S\left( f\right) \)に対して以上の条件を満たす多変数関数\(F\)が存在する場合、方程式\begin{equation*}F\left( x\right) =0
\end{equation*}によって曲面\(S\left( f\right) \)を表現できるということです。この方程式を曲面の方程式(equation of a surface)と呼びます。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists \left( s,t\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
\cos \left( t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と表現されます。それぞれの\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}F\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-1
\end{equation*}を定める多変数関数\(F:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、先の議論より、任意の\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)について、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in S\Leftrightarrow F\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =0
\end{equation*}という関係が成り立つため、\begin{equation*}
F\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-1=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1
\end{equation*}は球の方程式です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフを媒介変数表示してください。
\begin{array}{l}
x_{1}=a\cos \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
x_{2}=b\sin \left( s\right) \sin \left( t\right) \\
x_{3}=c\cos \left( t\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}で与えられているものとします。ただし、\(a,b,c>0\)です。この曲面の方程式を求めてください。
\begin{array}{l}
x_{1}=s\cos \left( t\right) \\
x_{2}=s\sin \left( t\right) \\
x_{3}=s\end{array}\right. \quad \left( \left( s,t\right) \in \left[ 0,+\infty \right] \times \left[ 0,2\pi \right] \right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この曲面の方程式を求めてください。
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