螺旋（円螺旋）

螺旋の定義

媒介変数\(t\)が全区間\(\mathbb{R} \)上の値をとり得る状況を想定した上で、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
a\cos \left( t\right) \\
a\sin \left( t\right) \\
bt\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を定義します。ただし、\(a>0\)かつ\(b\not=0\)です。このベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)によって定義される空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲線を螺旋（helix）や円螺旋（circular helix）などと呼びます。つまり、螺旋のベクトル方程式は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a\cos \left( t\right) \\
a\sin \left( t\right) \\
bt\end{array}\right) \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}であり、螺旋の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos \left( t\right) \\
y=a\sin \left( t\right) \\
z=bt\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。したがって、螺旋そのものは、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a\cos \left( t\right) \\
a\sin \left( t\right) \\
bt\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。螺旋を規定する定数\(a\)を螺旋の半径（radius）と呼び、もう一方の定数\(b\)と\(2\pi \)の積である\(2\pi b\)を螺旋のピッチ（pitch）と呼びます。

媒介変数\(t\)の値が\(t_{0}\)である時点における螺旋上の点は、\begin{equation}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a\cos \left( t_{0}\right) \\
a\sin \left( t_{0}\right) \\
bt_{0}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}ですが、\(b>0\)の場合、媒介変数\(t\)の値が増加すると螺旋上の点は回転しながら上方へ移動します。媒介変数の値が初期値\(t_{0}\)から\(2\pi \)だけ増加して\(t_{0}+2\pi \)となった時点で1つの回転が完了し、螺旋上の点は、\begin{equation}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a\cos \left( t_{0}+2\pi \right) \\
a\sin \left( t_{0}+2\pi \right) \\
b\left( t_{0}+2\pi \right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a\cos \left( t_{0}\right) \\
a\sin \left( t_{0}\right) \\
bt_{0}+2bt\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}へ移動します。2つの点\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)は\(x\)座標と\(y\)座標を共有していますが、\(z\)座標は\(2bt\)だけ増加しており、これは螺旋のピッチと一致します。つまり、螺旋のピッチとは、螺旋上の点が1周する場合の\(z\)軸方向の高さの変化量であり、螺旋の1周期の高さに相当します。

螺旋上に存在する弧

螺旋上に存在する弧のベクトル方程式は、\begin{equation*}
t_{0}<t_{1}
\end{equation*}を満たす実数\(t_{0},t_{1}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a\cos \left( t\right) \\
a\sin \left( t\right) \\
bt\end{array}\right) \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}と表現されるため、螺旋上に存在する弧の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=a\cos \left( t\right) \\
y=a\sin \left( t\right) \\
z=bt\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] \right)
\end{equation*}となります。したがって、螺旋上に存在する弧そのものは、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists t\in \left[ t_{0},t_{1}\right] :\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a\cos \left( t\right) \\
a\sin \left( t\right) \\
bt\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。

螺旋上に存在する弧の始点の座標は、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a\cos \left( t_{0}\right) \\
a\sin \left( t_{0}\right) \\
bt_{0}\end{array}\right)
\end{equation*}であり、弧の終点の座標は、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a\cos \left( t_{1}\right) \\
a\sin \left( t_{1}\right) \\
bt_{1}\end{array}\right)
\end{equation*}です。

演習問題