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1変数のベクトル値関数

ベクトル値関数(曲線)の定義

目次

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ベクトル値関数の定義

始集合が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるような写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}をベクトル値関数(vector-valued function)や実変数のベクトル値関数(vector-valued function of a vector variable)もしくは曲線(curve)などと呼びます。問題としている関数がベクトル値関数であることが文脈から明らかである場合には、シンプルにそれを関数と呼ぶこととします。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、始集合\(X\)の要素\(x\)を任意に選ぶと、関数\(\boldsymbol{f}\)はそれに対して終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)の要素である\(m\)次元ベクトルを1つずつ定めます。これを関数\(\boldsymbol{f}\)による要素\(x\)の(value)や(image)などと呼び、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}で表記します。行ベクトルと列ベクトルを同一視するのであれば、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots
,f_{m}\left( x\right) \right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}と表記することもできます。ただし、\(f_{i}\left(x\right) \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)はベクトル\(f\left( x\right) \)の第\(i\)成分に相当する実数です。以降では都合に応じて行ベクトルと列ベクトルを使い分けます。

例(ベクトル値関数)
実数空間\(\mathbb{R} \)は自身の部分集合であるため、\(\mathbb{R} \)上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}について考えることもできます。具体例を挙げると、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定める\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はベクトル値関数です。このとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( 2\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2^{2}-2 \\
2+1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2 \\
3\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( 1\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1^{2}-1 \\
1+1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0^{2}-0 \\
0+1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( -1\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left( -1\right) ^{2}-\left( -1\right) \\
-1+1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( -2\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left( -2\right) ^{2}-\left( -2\right) \\
-2+1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
6 \\
-1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(ベクトル値関数)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
2+x \\
3+2x \\
1-3x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。例えば、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left( 2\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2+2 \\
3+2\cdot 2 \\
1-3\cdot 2\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
4 \\
7 \\
-5\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( 1\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2+1 \\
3+2\cdot 1 \\
1-3\cdot 1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
3 \\
5 \\
-2\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2+0 \\
3+2\cdot 0 \\
1-3\cdot 0\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2 \\
3 \\
1\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( -1\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2+\left( -1\right) \\
3+2\left( -1\right) \\
1-3\left( -1\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
4\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( -2\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2+\left( -2\right) \\
3+2\left( -2\right) \\
1-3\left( -2\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
7\end{array}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(惑星の軌道)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)において太陽の位置を原点\(\left( 0,0,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)と定めます。時点\(t\in \mathbb{R} \)における惑星の位置が、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(x\left( t\right) \)は時点\(t\)における惑星の位置の\(x\)座標、\(y\left( t\right) \)は\(y\)座標、\(z\left( t\right) \)は\(z\)座標です。以上のように定義される写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}はベクトル値関数です。

例(消費量)
消費者が有限\(m\in \mathbb{N} \)種類の商品に直面している状況を想定します。それぞれの商品をどの程度消費するかは自身の所得水準に依存するものとします。所得水準が\(w\geq 0\)である場合の商品\(i\ \left( =1,\cdots ,m\right) \)の消費量を\(f_{i}\left( m\right) \)で表記するのであれば、それぞれの\(w\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( w\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( w\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( w\right)\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。

例(1変数関数)
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)において、\begin{equation*}m=1
\end{equation*}である場合、これはそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、実数\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を1つずつ定める実数値関数となります。つまり、実数値関数は特別なベクトル値関数です。逆に、ベクトル値関数は実数値関数の一般化です。

 

ベクトル値関数の成分関数

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が始集合の要素である実数\(x\in X\)に対して定める像は\(m\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}です。ただし、\(f_{i}\left(x\right) \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)はベクトル\(f\left( x\right) \)の第\(i\)成分に相当する実数です。したがって、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が与えられれば、\(m\)個の実数値関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}が得られます。つまり、関数\(f_{i}\)はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトルの第\(i\)成分を特定する実数値関数です。この関数\(f_{i}\)をベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数(component function)と呼びます。

例(ベクトル値関数の成分関数)
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このベクトル値関数\(f\)は2つの成分関数\(f_{1},f_{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)から構成されます。具体的には、\(1\)番目の成分関数\(f_{1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{1}\left( x\right) =x^{2}-x
\end{equation*}を定めるのに対し、\(2\)番目の成分関数\(f_{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{1}\left( x\right) =x+1
\end{equation*}を定めます。任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
f_{2}\left( x\right)\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とその成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が与えられたとき、\(i\)番目の成分のみが\(1\)でそれ以外のすべての成分が\(0\)であるような\(m\)次元の単位ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{i}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を導入すると、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{e}_{i} &=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{i}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f},\boldsymbol{e}_{i}\text{の定義} \\
&=&f_{1}\left( x\right) \cdot 0+\cdots +f_{i}\left( x\right) \cdot 1+\cdots
+f_{m}\left( x\right) \cdot 0\quad \because \text{内積の定義} \\
&=&f_{i}\left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f_{i}\left( x\right) =\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{e}_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル値関数\(f\)が定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)とベクトル\(\boldsymbol{e}_{i}\)の内積をとれば、\(i\)番目の成分関数\(f_{i}\)が定める実数\(f_{i}\left( x\right) \)が得られるということです。他方で、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( x\right) \boldsymbol{e}_{1}+\cdots +f_{m}\left( x\right)
\boldsymbol{e}_{m} &=&\sum_{i=1}^{m}\left[ f_{i}\left( x\right) \boldsymbol{e}_{i}\right] \\
&=&\sum_{i=1}^{m}\left[ f_{i}\left( x\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \right] \quad \because \boldsymbol{e}_{i}\text{の定義} \\
&=&\sum_{i=1}^{m}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
f_{i}\left( x\right) \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{i}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( x\right) =f_{1}\left( x\right) \boldsymbol{e}_{1}+\cdots +f_{m}\left( x\right) \boldsymbol{e}_{m}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、それぞれの\(i\)についてベクトル\(\boldsymbol{e}_{i}\)のスカラー\(f_{i}\left( x\right) \)倍をとった上で、得られたベクトルどうしのベクトル和をとれば、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が得られるということです。

命題(ベクトル値関数の成分関数)
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、任意の\(x\in X\)について以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f_{i}\left( x\right) =\boldsymbol{f}\left( x\right)
\cdot \boldsymbol{e}_{i}\quad \left( i=1,\cdots ,m\right) \\
&&\left( b\right) \ \boldsymbol{f}\left( x\right) =f_{1}\left( x\right)
\boldsymbol{e}_{1}+\cdots +f_{m}\left( x\right) \boldsymbol{e}_{m}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数であり、\(\boldsymbol{e}_{i}\)は\(i\)番目の成分のみが\(1 \)でそれ以外のすべての成分が\(0\)であるようなベクトルである。

慣例として、\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上における単位ベクトルとして、\begin{equation*}\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}などの表記を利用します。以上の表記を踏まえると、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられたとき、任意の\(x\in X\)に対して以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =f_{1}\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}\left( x\right) \boldsymbol{j}
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実を、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}=f_{1}\boldsymbol{i}+f_{2}\boldsymbol{j}
\end{equation*}と表記できます。

慣例として、\(3\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上における単位ベクトルとして、\begin{equation*}\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}などの表記を利用します。以上の表記を踏まえると、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)が与えられたとき、任意の\(x\in X\)に対して以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =f_{1}\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}\left( x\right) \boldsymbol{j}+f_{3}\left( x\right) \boldsymbol{k}
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実を、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}=f_{1}\boldsymbol{i}+f_{2}\boldsymbol{j}+f_{3}\boldsymbol{k}
\end{equation*}と表記できます。

例(ベクトル値関数の成分関数)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,2\right) \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( x\right) &=&x^{2}-x \\
f_{2}\left( x\right) &=&x+1
\end{eqnarray*}を定めます。このとき、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{e}_{1} &=&\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) =x^{2}-x=f_{1}\left( x\right) \\
\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{e}_{2} &=&\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) =x+1=f_{2}\left( x\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。逆に、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( x\right) \boldsymbol{e}_{1}+f_{2}\left( x\right) \boldsymbol{e}_{2} &=&\left( x^{2}-x\right) \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) +\left( x+1\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
0\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
0 \\
x+1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{eqnarray*}もまた成り立ちます。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

 

等しいベクトル値関数

2つのベクトル値関数\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ X=Y \\
&&\left( b\right) \ m=n \\
&&\left( c\right) \ \forall x\in X:\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( x\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)は等しい(equal)といい、そのことを、\begin{equation*}\boldsymbol{f}=\boldsymbol{g}
\end{equation*}と表記します。つまり、2つのベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)が等しいこととは、それらの始集合どうし、終集合どうしが一致するとともに、始集合のそれぞれの要素に対して\(\boldsymbol{f}\)が定める値と\(\boldsymbol{g}\)が定める値が常に一致することを意味します。

例(等しいベクトル値関数)
関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right) \\
\boldsymbol{g}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert \\
\left\vert x^{2}\right\vert\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。これらの関数の始集合はすべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)ではなく、すべての非負の実数からなる集合\(\mathbb{R} _{+}\)であることに注意してください。\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)は始集合\(\mathbb{R} _{+}\)と終集合\(\mathbb{R} ^{2}\)を共有するとともに、始集合の任意の要素\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して\(x=\left\vert x\right\vert \)かつ\(x^{2}=\left\vert x^{2}\right\vert \)が成り立つことから\(\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( x\right) \)であるため、\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)は等しい関数です。

逆に、2つのベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)に対して先の3つの条件\(\left(a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)の中の少なくとも1つの条件が成り立たない場合、\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)は異なる(not equal)といい、そのことを、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\not=\boldsymbol{g}
\end{equation*}と表記します。

例(異なるベクトル値関数)
関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right) \\
\boldsymbol{g}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert \\
\left\vert x^{2}\right\vert\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)は始集合\(\mathbb{R} \)および終集合\(\mathbb{R} ^{2}\)を共有しますが、始集合の要素である\(-1\in \mathbb{R} \)に注目すると、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( -1\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1\end{array}\right) \\
\boldsymbol{g}\left( -1\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)は異なる関数です。

 

演習問題

問題(ベクトル値関数)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

  1. \(\boldsymbol{f}\left( 0\right) \)を求めてください。
  2. \(\boldsymbol{f}\left( \frac{\pi }{2}\right) \)を求めてください。
  3. \(\boldsymbol{f}\left( \pi \right) \)を求めてください。
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問題(ベクトル値関数)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
1 \\
t^{2}\sin \left( t\right)\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

  1. \(\boldsymbol{f}\left( 0\right) \)を求めてください。
  2. \(\boldsymbol{f}\left( \frac{\pi }{2}\right) \)を求めてください。
  3. \(\boldsymbol{f}\left( \pi \right) \)を求めてください。
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問題(ベクトル値関数)
2次元平面上の原点を中心とする半径\(6\)の円をベクトル値関数を用いて表現してください。ただし、パラメータ\(t=0\)に対応する円周上の点は\(\left( 6,0\right) \)であるとともに、パラメータ\(t\)の値が大きくなるにつれて点\(\boldsymbol{f}\left(t\right) \)は円周上を「時計回り」に回転するものとします。
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問題(ベクトル値関数)
2次元平面上の原点を中心とする半径\(2\)の円をベクトル値関数を用いて表現してください。ただし、パラメータ\(t=0\)に対応する円周上の点は\(\left( -2,0\right) \)であるとともに、パラメータ\(t\)の値が大きくなるにつれて点\(\boldsymbol{f}\left(t\right) \)は円周上を「反時計回り」に回転するものとします。
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問題(ベクトル値関数の成分関数)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
2+x \\
3+2x \\
1-3x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\(f_{1},f_{2},f_{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ特定するとともに、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f_{i}\left( x\right) =\boldsymbol{f}\left( x\right)
\cdot e_{i}\quad \left( i=1,2,3\right) \\
&&\left( b\right) \ \boldsymbol{f}\left( x\right) =f_{1}\left( x\right)
e_{1}+\cdots +f_{3}\left( x\right) e_{3}
\end{eqnarray*}が成り立つことを確認してください。

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