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VECTOR VALUED FUNCTION

ベクトル値関数(曲線)の定義

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ベクトル値関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)のそれぞれの要素に対してユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の点を1つずつ定める写像\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}をベクトル値関数(vector-valued function)や実変数のベクトル値関数(vector-valued function of a vector variable)もしくは曲線(curve)などと呼びます。

例(ベクトル値関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-x,x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( 2\right) &=&\left( 2^{2}-2,2+1\right) =\left( 2,3\right) \\
f\left( 1\right) &=&\left( 1^{2}-1,1+1\right) =\left( 0,2\right) \\
f\left( 0\right) &=&\left( 0^{2}-0,0+1\right) =\left( 0,1\right) \\
f\left( -1\right) &=&\left( \left( -1\right) ^{2}-\left( -1\right)
,-1+1\right) =\left( 2,0\right) \\
f\left( -2\right) &=&\left( \left( -2\right) ^{2}-\left( -2\right)
,-2+1\right) =\left( 6,-1\right)
\end{eqnarray*}などとなります。

例(ベクトル値関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 2+x,3+2x,1-3x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( 2\right) &=&\left( 2+2,3+2\cdot 2,1-3\cdot 2\right) =\left(
4,7,-5\right) \\
f\left( 1\right) &=&\left( 2+1,3+2\cdot 1,1-3\cdot 1\right) =\left(
3,5,-2\right) \\
f\left( 0\right) &=&\left( 2+0,3+2\cdot 0,1-3\cdot 0\right) =\left(
2,3,1\right) \\
f\left( -1\right) &=&\left( 2+\left( -1\right) ,3+2\left( -1\right)
,1-3\left( -1\right) \right) =\left( 1,1,4\right) \\
f\left( -2\right) &=&\left( 2+\left( -2\right) ,3+2\left( -2\right)
,1-3\left( -2\right) \right) =\left( 0,-1,7\right)
\end{eqnarray*}などとなります。

例(ベクトル値関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( t\right) =\left( \cos \left( t\right) ,\sin \left( t\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。これは2次元空間における単位円上の点\(\left( x,y\right) \)を媒介変数\(t\)を用いて表示したものです。実際、\begin{eqnarray*}x &=&\cos \left( t\right) \\
y &=&\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}とおくと、\begin{equation*}
\cos ^{2}\left( t\right) +\sin ^{2}\left( t\right) =1
\end{equation*}より、\begin{equation*}
x^{2}+y^{2}=1
\end{equation*}を得ますが、これは単位円の方程式に他なりません。

例(ベクトル値関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( t\right) =\left( \cos \left( t\right) ,\sin \left( t\right)
,t\right)
\end{equation*}を定めるものとします。これは3次元空間における螺旋(helix)と呼ばれる図形上の点\(\left( x,y,z\right) \)を媒介変数\(t\)を用いて表示したものです。
例(ベクトル値関数)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)において太陽が原点の位置にあるものとします。時点\(t\)における惑星の位置が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left(
t\right) \right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(x\left( t\right) \)は時点\(t\)における惑星の位置の\(x\)座標、\(y\left( t\right) \)は\(y\)座標、\(z\left( t\right) \)は\(z\)座標です。この\(f\)はベクトル値関数です。
例(ベクトル値関数)
所得水準が\(w\)である場合の、それぞれの商品\(i\ \left( =1,\cdots ,m\right) \)の消費量を成分とするベクトルが、\begin{equation*}f\left( w\right) =\left( f_{1}\left( w\right) ,\cdots ,f_{m}\left( w\right)
\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(f_{i}\left( w\right) \)は商品\(i\)の消費量です。この\(f\)はベクトル値関数です。

 

ベクトル値関数の成分関数

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域の点\(x\in X\)に対して定める像\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)は\(m\)次元ベクトルであるため、その第\(i\ \left(=1,\cdots ,m\right) \)成分を\(f_{i}\left( x\right) \in \mathbb{R} \)と表記するのであれば、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right)
\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}という関係を満たす\(m\)個の1変数関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}を得ます。この関数\(f_{i}\)をベクトル値関数\(f\)の成分関数(component function)と呼びます。

行ベクトルと列ベクトルを同一視するのであれば、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める像を、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}と表現することもできます。以降では都合に応じて行ベクトルと列ベクトルを使い分けます。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とその成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が与えられたとき、\(i\)番目の成分のみが\(1\)でそれ以外のすべての成分が\(0\)であるような\(m\)次元の単位ベクトル\begin{equation*}e_{i}=\left( 0,\cdots ,1,\cdots ,0\right)
\end{equation*}を導入すると、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) \cdot e_{i} &=&\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots
,f_{m}\left( x\right) \right) \cdot \left( 0,\cdots ,1,\cdots ,0\right) \\
&=&f_{i}\left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f_{i}\left( x\right) =f\left( x\right) \cdot x_{i}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、ベクトル値関数\(f\)と単位ベクトル\(e_{i}\)の内積をとれば成分関数\(f_{i}\)が得られるということです。他方で、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\sum_{i=1}^{m}\left[ f_{i}\left( x\right) \cdot e_{i}\right] &=&\sum_{i=1}^{m}\left( 0,\cdots ,f_{i}\left( x\right) ,\cdots ,0\right) \\
&=&\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right) \right) \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) =f_{1}\left( x\right) \cdot e_{1}+\cdots +f_{m}\left(
x\right) \cdot e_{m}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、それぞれの成分関数\(f_{i}\)と単位ベクトル\(e_{i}\)のスカラー倍をとった上でそれらの総和をとればベクトル値関数\(f\)を復元できるということです。

慣例として、\begin{equation*}
e_{1}=i,\quad e_{2}=j,\quad e_{3}=k
\end{equation*}という表記を利用する場合もあります。この表記を利用すると、\(m=2\)の場合には、\begin{equation*}f\left( x\right) =f_{1}\left( x\right) \cdot i+f_{2}\left( x\right) \cdot j
\end{equation*}となり、\(m=3\)の場合には、\begin{equation*}f\left( x\right) =f_{1}\left( x\right) \cdot i+f_{2}\left( x\right) \cdot
j+f_{3}\left( x\right) \cdot k
\end{equation*}となります。

例(ベクトル値関数の成分関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-x,x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,2\right) \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( x\right) &=&x^{2}-x \\
f_{2}\left( x\right) &=&x+1
\end{eqnarray*}を定めます。このとき、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) \cdot e_{1} &=&\left( x^{2}-x,x+1\right) \cdot
e_{1}=x^{2}-x=f_{1}\left( x\right) \\
f\left( x\right) \cdot e_{2} &=&\left( x^{2}-x,x+1\right) \cdot
e_{2}=x+1=f_{2}\left( x\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。逆に、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( x\right) \cdot e_{1}+f_{2}\left( x\right) \cdot e_{2} &=&\left(
x^{2}-x\right) \cdot e_{1}+\left( x+1\right) \cdot e_{2} \\
&=&\left( x^{2}-x,0\right) +\left( 0,x+1\right) \\
&=&\left( x^{2}-x,x+1\right) \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}もまた成り立ちます。

例(ベクトル値関数の成分関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 2+x,3+2x,1-3x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,2,3\right) \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( x\right) &=&2+x \\
f_{2}\left( x\right) &=&3+2x \\
f_{3}\left( x\right) &=&1-3x
\end{eqnarray*}を定めます。このとき、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) \cdot e_{1} &=&\left( 2+x,3+2x,1-3x\right) \cdot
e_{1}=2+x=f_{1}\left( x\right) \\
f\left( x\right) \cdot e_{2} &=&\left( 2+x,3+2x,1-3x\right) \cdot
e_{2}=3+2x=f_{2}\left( x\right) \\
f\left( x\right) \cdot e_{3} &=&\left( 2+x,3+2x,1-3x\right) \cdot
e_{3}=1-3x=f_{3}\left( x\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。逆に、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( x\right) \cdot e_{1}+f_{2}\left( x\right) \cdot
e_{2}+f_{3}\left( x\right) \cdot e_{3} &=&\left( 2+x\right) \cdot
e_{1}+\left( 3+2x\right) \cdot e_{2}+\left( 1-3x\right) \cdot e_{3} \\
&=&\left( 2+x,0,0\right) +\left( 0,3+2x,0\right) +\left( 0,0,1-3x\right) \\
&=&\left( 2+x,3+2x,1-3x\right) \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}もまた成り立ちます。

次回はベクトル値関数のグラフについて解説します。

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