実数空間もしくはその部分集合を定義域とし、値としてユークリッド空間の点をとる写像を曲線や実変数のベクトル値関数などと呼びます。

曲線

実数の集合\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合を定義域とし、値としてユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の点をとる写像\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を議論の対象とします。このような写像を曲線(curve)や実変数のベクトル値関数(vector-valued function of a vector variable)などと呼びます。

例(曲線)
それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\(2\)次元ベクトル\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( x^{2}-x,\ x+1\right) \in
\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定める写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)は曲線です。この曲線の値域\(f\left( \mathbb{R} \right) \subset \mathbb{R} ^{2}\)をプロットすると以下のようになります。
図:曲線の値域
図:曲線の値域
例(曲線)
それぞれのラジアン\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、それに対応する単位円上の点の座標\begin{equation*}
f\left( \theta \right) =\left( \cos \theta ,\ \sin \theta \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定める写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)は曲線です。この曲線の値域\(f\left( \mathbb{R} \right) \subset \mathbb{R} ^{2}\)をプロットすると以下のようになります。
図:曲線の値域
図:曲線の値域
ラジアンについて復習する
例(曲線)
\(\mathbb{R} ^{3}\)上の2つの点\(A=\left( 1,3,-2\right) ,\ B=\left( 2,-1,3\right) \)を通る直線の方向ベクトルは、\begin{equation*}
\overrightarrow{AB}=\left( 2,-1,3\right) -\left( 1,3,-2\right) =\left(
1,-4,5\right)
\end{equation*}となるため、この直線のベクトル表示は、\begin{equation*}
\left( 1,3,-2\right) +t\left( 1,-4,5\right) =\left( 1+t,3-4t,-2+5t\right)
\end{equation*}となります。写像\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(t\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( t\right) =\left( 1+t,3-4t,-2+5t\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(X=\mathbb{R} \)の場合、\(f\)のグラフは\(A\)と\(B\)を通る直線です。\(X=[0,+\infty )\)の場合、\(f\)のグラフは\(A\)を始点とし\(B\)を通過する半直線です。また、\(X=\left[ 0,1\right] \)の場合、\(f\)のグラフは\(A\)と\(B\)を端点とする線分です。

 

座標関数

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの実数\(x\in X\)に対して\(m\)次元ベクトル\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を像として定めますが、\(f\left( x\right) \)の第\(i\ \left( =1,\cdots ,m\right) \)成分を\(f_{i}\left( x\right) \in \mathbb{R} \)で表すならば、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right)
\right)
\end{equation*}を満たす\(m\)個の関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)を定義できます。\(f_{i}\)を\(f\)の座標関数(coordinate function)と呼びます。

行ベクトルと列ベクトルを同一視するならば、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれの実数\(x\in X\)に対して定めるベクトル\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}と表すこともできます。以降では文脈やスペースの都合に応じて行ベクトルと列ベクトルを使い分けます。

例(座標関数)
それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\(2\)次元ベクトル\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( x^{2}-x,\ x+1\right) \in
\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定める曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)について考えます。座標関数\(f_{1},f_{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)は、\begin{eqnarray*}
f_{1}\left( x\right) &=&x^{2}-x \\
f_{2}\left( x\right) &=&x+1
\end{eqnarray*}です。

 

曲線と座標関数の関係

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とその座標関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)が与えられたとき、\(i\)番目の成分のみが\(1\)でそれ以外のすべての成分が\(0\)であるような\(m\)次元ベクトルを、\begin{equation*}
e_{i}=\left( 0,\cdots ,1,\cdots ,0\right)
\end{equation*}で表します。このとき、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) \cdot e_{i} &=&\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots
,f_{m}\left( x\right) \right) \cdot \left( 0,\cdots ,1,\cdots ,0\right) \\
&=&f_{i}\left( x\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。他方で、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{m}f_{i}\left( x\right) e_{i} &=&\sum_{i=1}^{m}\left( 0,\cdots
,f_{i}\left( x\right) ,\cdots ,0\right) \\
&=&\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right) \right) \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}という関係もまた成り立ちます。

例(曲線と座標関数の関係)
それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\(2\)次元ベクトル\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( x^{2}-x,\ x+1\right) \in
\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定める写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)について考えます。座標関数\(f_{1},f_{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)は、\begin{eqnarray*}
f_{1}\left( x\right) &=&x^{2}-x \\
f_{2}\left( x\right) &=&x+1
\end{eqnarray*}です。このとき、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) \cdot e_{1} &=&\left( x^{2}-x,\ x+1\right) \cdot \left(
1,0\right) =x^{2}-x=f_{1}\left( x\right) \\
f\left( x\right) \cdot e_{2} &=&\left( x^{2}-x,\ x+1\right) \cdot \left(
0,1\right) =x+1=f_{2}\left( x\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。逆に、\begin{eqnarray*}
f_{1}\left( x\right) e_{1}+f_{2}\left( x\right) e_{2} &=&\left(
x^{2}-x\right) \left( 1,0\right) +\left( x+1\right) \left( 0,1\right) \\
&=&\left( x^{2}-x,0\right) +\left( 0,x+1\right) \\
&=&\left( x^{2}-x,x+1\right) \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}もまた成り立ちます。

次回は曲線が収束することの意味を定義します。

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