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曲線

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合を定義域とし、値としてユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の点をとる写像\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)を議論の対象とします。このような写像を曲線(curve)や実変数のベクトル値関数(vector-valued function of a vector variable)などと呼びます。

例(曲線)
曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\)はそれぞれの実数\(x\in \mathbb{R}\)に対して、以下の2次元ベクトル\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( x^{2}-x,x+1\right) \in \mathbb{R}^{2}
\end{equation*}を像として定めるものとします。この曲線の値域は、\begin{eqnarray*}
f\left( \mathbb{R}\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R}^{2}\ |\ x\in \mathbb{R}\right\} \\
&=&\left\{ \left( x^{2}-x,x+1\right) \in \mathbb{R}^{2}\ |\ x\in \mathbb{R}\right\}
\end{eqnarray*}となりますが、これを平面上にプロットすると以下の曲線が得られます。

図:曲線の値域
図:曲線の値域
例(曲線)
曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\)はそれぞれのラジアン\(\theta \in \mathbb{R}\)に対して、それに対応する単位円上の点の座標\begin{equation*}
f\left( \theta \right) =\left( \cos \theta ,\sin \theta \right) \in \mathbb{R}^{2}
\end{equation*}を像として定めるものとします。この曲線の値域は、\begin{eqnarray*}
f\left( \mathbb{R}\right) &=&\left\{ f\left( \theta \right) \in \mathbb{R}^{2}\ |\ \theta \in \mathbb{R}\right\} \\
&=&\left\{ \left( \cos \theta ,\sin \theta \right) \in \mathbb{R}^{2}\ |\ \theta \in \mathbb{R}\right\}
\end{eqnarray*}となりますが、これを平面上にプロットすると以下の曲線が得られます。

図:曲線の値域
図:曲線の値域
例(曲線)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の点である\(A=\left( 1,3,-2\right) \)と\(B=\left( 2,-1,3\right) \)を通る直線の方向ベクトルは、\begin{equation*}
\overrightarrow{AB}=\left( 2,-1,3\right) -\left( 1,3,-2\right) =\left(
1,-4,5\right)
\end{equation*}であるため、この直線の方程式は媒介変数\(t\)を用いて、\begin{equation*}
\left( 1,3,-2\right) +t\left( 1,-4,5\right) =\left( 1+t,3-4t,-2+5t\right)
\end{equation*}と表すことができます。以上を踏まえた上で、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{3}\)を、それぞれの\(t\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( t\right) =\left( 1+t,3-4t,-2+5t\right)
\end{equation*}を定めるものとして定義します。\(X=\mathbb{R} \)の場合、\(f\)のグラフは\(A\)と\(B\)を通る直線です。\(X=[0,+\infty )\)のグラフは\(A\)を始点とし\(B\)を通過する半直線です。また、\(X=\left[ 0,1\right] \)の場合、\(f\)のグラフは\(A\)と\(B\)を端点とする線分です。

 

座標関数

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)が定義域の点\(x\in X\)に対して定める像\(f\left( x\right) \in \mathbb{R}^{m}\)は\(m\)次元ベクトルであるため、その第\(i\ \left( =1,\cdots ,m\right) \)成分を\(f_{i}\left( x\right) \in \mathbb{R}\)と表記するのであれば、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right)
\right) \in \mathbb{R}^{m}
\end{equation*}という関係を満たす\(m\)個の関数\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset X_{i}\rightarrow \mathbb{R}\quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}を得ます。この関数\(f_{i}\)を曲線\(f\)の座標関数(coordinate function)や成分関数(component function)などと呼びます。曲線\(f\)の定義域\(X\)と座標関数\(f_{i}\)の定義域\(X_{i}\)の関係については後述します。

行ベクトルと列ベクトルを同一視するのであれば、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める像を、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{m}
\end{equation*}と表すこともできます。以降では都合に応じて行ベクトルと列ベクトルを使い分けます。

例(座標関数)
曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているとき、その座標関数\(f_{1},f_{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{eqnarray*}
f_{1}\left( x\right) &=&x^{2}-x \\
f_{2}\left( x\right) &=&x+1
\end{eqnarray*}を定めます。

 

曲線と座標関数の関係

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)とその座標関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X_{i}\rightarrow \mathbb{R}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が与えられたとき、\(i\)番目の成分のみが\(1\)でそれ以外のすべての成分が\(0\)であるような\(m\)次元ベクトル\begin{equation*}
e_{i}=\left( 0,\cdots ,1,\cdots ,0\right)
\end{equation*}を導入すると、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) \cdot e_{i} &=&\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots
,f_{m}\left( x\right) \right) \cdot \left( 0,\cdots ,1,\cdots ,0\right) \\
&=&f_{i}\left( x\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。他方で、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{m}f_{i}\left( x\right) e_{i} &=&\sum_{i=1}^{m}\left( 0,\cdots
,f_{i}\left( x\right) ,\cdots ,0\right) \\
&=&\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right) \right) \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}という関係もまた成り立ちます。以上のようにして、曲線\(f\)から座標関数\(f_{i}\)を取り出したり、逆に座標関数\(f_{i}\)から曲線\(f\)を再構成することができます。

例(曲線と座標関数の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。座標関数\(f_{1},f_{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\)はそれぞえの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{eqnarray*}
f_{1}\left( x\right) &=&x^{2}-x \\
f_{2}\left( x\right) &=&x+1
\end{eqnarray*}を定めます。このとき、任意の\(x\in \mathbb{R}\)について、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) \cdot e_{1} &=&\left( x^{2}-x,x+1\right) \cdot \left(
1,0\right) =x^{2}-x=f_{1}\left( x\right) \\
f\left( x\right) \cdot e_{2} &=&\left( x^{2}-x,x+1\right) \cdot \left(
0,1\right) =x+1=f_{2}\left( x\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。逆に、任意の\(x\in \mathbb{R}\)について、\begin{eqnarray*}
f_{1}\left( x\right) e_{1}+f_{2}\left( x\right) e_{2} &=&\left(
x^{2}-x\right) \left( 1,0\right) +\left( x+1\right) \left( 0,1\right) \\
&=&\left( x^{2}-x,0\right) +\left( 0,x+1\right) \\
&=&\left( x^{2}-x,x+1\right) \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}もまた成り立ちます。

 

曲線と座標関数の定義域

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)とその座標関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X_{i}\rightarrow \mathbb{R}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)がそれぞれ与えられているものとします。点\(x\in X\)を任意にとったとき、これらの間には、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、ある\(i\)について\(x\not\in X_{i}\)であるならば\(f_{i}\left( x\right) \)は存在せず、したがって\(f\left( x\right) \)もまた存在しないため\(x\not\in X\)となります。対偶より、\(x\in X\)の場合には任意の\(i\)について\(x\in X_{i}\)です。以上より、\begin{equation*}
X\subset \bigcap\limits_{i=1}^{m}X_{i}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。逆に、任意の\(i\)について\(x\in X_{i}\)であるならば任意の\(i\)について\(f_{i}\left( x\right) \)も存在するため、このとき\(f\left( x\right) \)も存在するため\(x\in X\)となります。以上より、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i=1}^{m}X_{i}\subset X
\end{equation*}もまた成り立つことが明らかになりました。したがって、曲線の定義域と座標関数の定義域の間には、\begin{equation*}
X=\bigcap\limits_{i=1}^{m}X_{i}
\end{equation*}という関係が成立します。

例(曲線と座標関数の定義域)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{3}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{x-1}{x+1} \\
\frac{e^{x}-1}{x} \\
\frac{1}{2x^{2}-\pi }\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。座標関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X_{i}\rightarrow \mathbb{R}\ \left( i=1,2,3\right) \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
f_{1}\left( x\right) &=&\frac{x-1}{x+1} \\
f_{2}\left( x\right) &=&\frac{e^{x}-1}{x} \\
f_{3}\left( x\right) &=&\frac{1}{2x^{2}-\pi }
\end{eqnarray*}を定めます。それぞれの座標関数\(f_{i}\)の定義域は、\begin{eqnarray*}
X_{1} &=&\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \\
X_{2} &=&\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \\
X_{3} &=&\mathbb{R} \backslash \left\{ \pm \sqrt{\frac{\pi }{2}}\right\}
\end{eqnarray*}であるため、曲線\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}
X &=&X_{1}\cap X_{2}\cap X_{3} \\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ -1,0,\pm \sqrt{\frac{\pi }{2}}\right\}
\end{eqnarray*}となります。

次回は曲線が収束することの意味を定義します。

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