点において収束するベクトル値関数のスカラー関数倍の極限
定義域を共有するベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( cf\right) \left( x\right) &=&c\left( x\right) f\left( x\right) \quad
\because cf\text{の定義} \\
&=&c\left( x\right) \left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( c\left( x\right) f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,c\left( x\right)
f_{m}\left( x\right) \right) \quad \because \text{スカラー倍の定義}
\end{eqnarray*}を定める新たなベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。関数\(f,c\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するとともに\(c\)が有限な実数へ収束する場合、関数\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
a}c\left( x\right) \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}c\left( x\right) \left( \lim_{x\rightarrow
a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x\right)
\right) \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow a}c\left( x\right) \lim_{x\rightarrow
a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow a}c\left( x\right)
\lim_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。
命題（点において収束するベクトル値関数のスカラー関数倍の極限）
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)と\(c\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するとともに\(c\)が有限な実数へ収束する場合、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}c\left( x\right) \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
a}c\left( x\right) \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束するベクトル値関数\(f\)と1変数関数\(c\)の積の形をしているベクトル値関数\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限を\(c\)の極限に相当するスカラー倍すれば\(cf\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかのベクトル値関数\(f\)のスカラー関数\(c\)倍の形をしている関数\(cf\)の収束可能性を検討する際には、ベクトル値関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。
例（点において収束するベクトル値関数のスカラー関数倍の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)のスカラー関数\(e^{x}\)倍として定義されているため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}e^{x}\left(
\cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}e^{x}\lim_{x\rightarrow a}\left( \cos \left(
x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \quad \because \text{ベクトル値関数のスカラー関数倍} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}e^{x}\left( \lim_{x\rightarrow a}\cos \left(
x\right) ,\lim_{x\rightarrow a}\sin \left( x\right) \right) \\
&=&e^{a}\left( \cos \left( a\right) ,\sin \left( a\right) \right) \\
&=&\left( e^{a}\cos \left( a\right) ,e^{a}\sin \left( a\right) \right)
\end{eqnarray*}となります。
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)のスカラー関数\(e^{x}\)倍として定義されているため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}e^{x}\left(
\cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}e^{x}\lim_{x\rightarrow a}\left( \cos \left(
x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \quad \because \text{ベクトル値関数のスカラー関数倍} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}e^{x}\left( \lim_{x\rightarrow a}\cos \left(
x\right) ,\lim_{x\rightarrow a}\sin \left( x\right) \right) \\
&=&e^{a}\left( \cos \left( a\right) ,\sin \left( a\right) \right) \\
&=&\left( e^{a}\cos \left( a\right) ,e^{a}\sin \left( a\right) \right)
\end{eqnarray*}となります。
点において片側収束するベクトル値関数のスカラー関数倍の片側極限
片側極限についても同様の命題が成り立ちます。
命題（点において片側収束するベクトル値関数のスカラー関数倍の片側極限）
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)と\(c\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束するとともに\(c\)は有限な実数へ右側収束する場合、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束し、それらの右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( cf\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a+}c\left( x\right) \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f\)と\(c\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束するとともに\(c\)は有限な実数へ左側収束する場合、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束し、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( cf\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a-}c\left( x\right) \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
a+}c\left( x\right) \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f\)と\(c\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束するとともに\(c\)は有限な実数へ左側収束する場合、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束し、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( cf\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a-}c\left( x\right) \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
例（点において片側収束するベクトル値関数のスカラー関数倍の片側極限）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の左側の端点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left[
x^{2}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \right] \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}x^{2}\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \cos \left(
x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \quad \because \text{右側収束する関数のスカラー関数倍} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}x^{2}\left( \lim_{x\rightarrow 0+}\cos \left(
x\right) ,\lim_{x\rightarrow 0+}\sin \left( x\right) \right) \\
&=&0^{2}\left( \cos \left( 0\right) ,\sin \left( 0\right) \right) \\
&=&0\left( 1,0\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。また、定義域の右側の端点\(\pi \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \pi -}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \pi -}\left[
x^{2}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \right] \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow \pi -}x^{2}\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( \cos \left(
x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \quad \because \text{左側収束する関数のスカラー関数倍} \\
&=&\lim_{x\rightarrow \pi -}x^{2}\left( \lim_{x\rightarrow \pi -}\cos \left(
x\right) ,\lim_{x\rightarrow \pi -}\sin \left( x\right) \right) \\
&=&\pi ^{2}\left( \cos \left( \pi \right) ,\sin \left( \pi \right) \right)
\\
&=&\pi ^{2}\left( -1,0\right) \\
&=&\left( -\pi ^{2},0\right)
\end{eqnarray*}となります。
\right)
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の左側の端点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left[
x^{2}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \right] \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}x^{2}\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \cos \left(
x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \quad \because \text{右側収束する関数のスカラー関数倍} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}x^{2}\left( \lim_{x\rightarrow 0+}\cos \left(
x\right) ,\lim_{x\rightarrow 0+}\sin \left( x\right) \right) \\
&=&0^{2}\left( \cos \left( 0\right) ,\sin \left( 0\right) \right) \\
&=&0\left( 1,0\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。また、定義域の右側の端点\(\pi \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \pi -}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \pi -}\left[
x^{2}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \right] \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow \pi -}x^{2}\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( \cos \left(
x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \quad \because \text{左側収束する関数のスカラー関数倍} \\
&=&\lim_{x\rightarrow \pi -}x^{2}\left( \lim_{x\rightarrow \pi -}\cos \left(
x\right) ,\lim_{x\rightarrow \pi -}\sin \left( x\right) \right) \\
&=&\pi ^{2}\left( \cos \left( \pi \right) ,\sin \left( \pi \right) \right)
\\
&=&\pi ^{2}\left( -1,0\right) \\
&=&\left( -\pi ^{2},0\right)
\end{eqnarray*}となります。
無限大において収束するベクトル値関数のスカラー関数倍の極限
無限大における極限についても同様の命題が成り立ちます。
命題（無限大において収束するベクトル値関数のスカラー関数倍の極限）
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)と\(c\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するとともに\(c\)は有限な実数へ収束する場合、\(cf\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( cf\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }c\left( x\right) \lim_{x\rightarrow +\infty
}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f\)と\(c\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するとともに\(c\)は有限な実数へ収束する場合、\(cf\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( cf\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }c\left( x\right) \lim_{x\rightarrow -\infty
}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
=\lim_{x\rightarrow +\infty }c\left( x\right) \lim_{x\rightarrow +\infty
}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f\)と\(c\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するとともに\(c\)は有限な実数へ収束する場合、\(cf\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( cf\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }c\left( x\right) \lim_{x\rightarrow -\infty
}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
例（無限大において収束するベクトル値関数のスカラー関数倍の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{3}}\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。正の無限大において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }
\left[ \frac{1}{x^{3}}\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x^{3}}\right)
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \quad
\because \text{収束する関数のスカラー関数倍} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x^{3}}\right) \left(
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) ,\lim_{x\rightarrow
+\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \right) \\
&=&0\left( 0,0\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。また、負の無限大において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty }
\left[ \frac{1}{x^{3}}\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x^{3}}\right)
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \quad
\because \text{収束する関数のスカラー関数倍} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x^{3}}\right) \left(
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right) ,\lim_{x\rightarrow
-\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \right) \\
&=&0\left( 0,0\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。正の無限大において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }
\left[ \frac{1}{x^{3}}\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x^{3}}\right)
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \quad
\because \text{収束する関数のスカラー関数倍} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x^{3}}\right) \left(
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) ,\lim_{x\rightarrow
+\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \right) \\
&=&0\left( 0,0\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。また、負の無限大において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty }
\left[ \frac{1}{x^{3}}\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x^{3}}\right)
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \quad
\because \text{収束する関数のスカラー関数倍} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x^{3}}\right) \left(
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{1}{x}\right) ,\lim_{x\rightarrow
-\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \right) \\
&=&0\left( 0,0\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
問題（ベクトル値関数のスカラー関数倍の極限）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}\left( x^{4},\ln \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)について、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)について、\(x\rightarrow a\)の場合の\(f\)の極限を求めてください。
問題（点において収束するベクトル値関数のスカラー関数商の極限）
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのみを値としてとる1変数関数\(c:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{c\left(
x\right) }
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。\(f\)と\(c\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するとともに\(c\)が有限な実数へ収束する場合、\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}c\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
x\right) }
\end{equation*}を定める新たなベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。\(f\)と\(c\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するとともに\(c\)が有限な実数へ収束する場合、\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow
a}c\left( x\right) }
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
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