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点において収束する曲線の内積の極限

定義域を共有する2つの曲線\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}
\left\langle f,g\right\rangle \left( x\right) &=&\left\langle f\left(
x\right) ,g\left( x\right) \right\rangle \\
&=&\sum_{i=1}^{m}f_{i}\left( x\right) \cdot g_{i}\left( x\right) \quad
\because \text{内積の定義}
\end{eqnarray*}を定める関数\(\left\langle f,g\right\rangle :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の座標関数であり、\(g_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(g\)の座標関数です。\(f\)と\(g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)と\(g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するとき、\(\left\langle f,g\right\rangle \)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\langle f,g\right\rangle \left( x\right)
=\left\langle \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) \right\rangle
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

曲線\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &\in &\mathbb{R} ^{m} \\
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &\in &\mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}がともに成り立つものとします。これは、\(f\)のすべての座標関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g\)のすべての座標関数\(g_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することと必要十分であり、それらの極限の間には、\begin{eqnarray}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\left( \lim\limits_{x\rightarrow
a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left(
x\right) \right) \quad\cdots (1) \\
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\left( \lim\limits_{x\rightarrow
a}g_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a}g_{m}\left(
x\right) \right) \quad\cdots (2)
\end{eqnarray}という関係が成り立ちます。また、収束する関数の積も収束するため、関数\(f_{i},g_{i}\)がともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束する場合には関数\(f_{i}\cdot g_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f_{i}\cdot g_{i}\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a}f_{i}\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
a}g_{i}\left( x\right) \quad\cdots (3)
\end{equation}という関係が成り立ちます。さらに、収束する関数の和も収束するため、関数\(f_{i}\cdot g_{i}\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束する場合には関数\(\sum\limits_{i=1}^{m}f_{i}\cdot g_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}\left( \sum\limits_{i=1}^{m}f_{i}\cdot g_{i}\right)
\left( x\right) =\sum\limits_{i=1}^{m}\lim_{x\rightarrow a}\left( f_{i}\cdot
g_{i}\right) \left( x\right) \quad\cdots (4)
\end{equation}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\langle f,g\right\rangle \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \sum_{i=1}^{m}f_{i}\left( x\right) \cdot
g_{i}\left( x\right) \right) \quad \because \left\langle f,g\right\rangle
\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \sum\limits_{i=1}^{m}f_{i}\cdot g_{i}\right)
\left( x\right) \\
&=&\sum\limits_{i=1}^{m}\lim_{x\rightarrow a}\left( f_{i}\cdot g_{i}\right)
\left( x\right) \quad \because \left( 4\right) \\
&=&\sum\limits_{i=1}^{m}\lim_{x\rightarrow a}f_{i}\left( x\right) \cdot
\lim_{x\rightarrow a}g_{i}\left( x\right) \quad \because \left( 3\right) \\
&=&\left\langle \left( \lim\limits_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x\right)
,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x\right) \right) ,\left(
\lim\limits_{x\rightarrow a}g_{1}\left( x\right) ,\cdots
,\lim\limits_{x\rightarrow a}g_{m}\left( x\right) \right) \right\rangle
\quad \because \text{内積の定義} \\
&=&\left\langle \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) \right\rangle \quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

命題(点において収束する曲線の内積の極限)
曲線\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\left\langle f,g\right\rangle :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束するならば、\(\left\langle f,g\right\rangle \)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\langle f,g\right\rangle \left( x\right)
=\left\langle \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) \right\rangle
\end{equation*}を満たす。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(点において収束する曲線の内積の極限)
曲線\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
5x^{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2} \\
g\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2x \\
3\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を選んだ上で、関数\(\left\langle f,g\right\rangle :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow a\)のときに収束するか否かを検討している状況を想定してください。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}x^{2} \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}5x^{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a^{2} \\
5a^{3}\end{array}\right) \\
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}2x \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}3\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2a \\
3\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\langle f,g\right\rangle \left( x\right)
&=&\left\langle \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) \right\rangle \\
&=&\left\langle \left(
\begin{array}{c}
a^{2} \\
5a^{3}\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2a \\
3\end{array}\right) \right\rangle \\
&=&a^{2}\cdot 2a+5a^{4}\cdot 3 \\
&=&2a^{3}+15a^{4}
\end{eqnarray*}となります。ちなみに、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
\left\langle f,g\right\rangle \left( x\right) &=&\left\langle
f,g\right\rangle \left( x\right) \\
&=&f_{1}\left( x\right) g_{1}\left( x\right) +f_{2}\left( x\right)
g_{2}\left( x\right) \\
&=&x^{2}\cdot 2x+5x^{3}\cdot 3 \\
&=&2x^{3}+15x^{3}
\end{eqnarray*}であることから、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\langle f,g\right\rangle \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow a}\left( 2x^{3}+15x^{3}\right) \\
&=&2a^{3}+15a^{4}
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。
例(点において収束する曲線の内積の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\left\langle f,g\right\rangle :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。内積の定義より、それぞれの\(x\in X\)について、\begin{equation*}
\left\langle f,g\right\rangle \left( x\right) =f\left( x\right) g\left(
x\right) =\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、この場合には内積\(\left\langle f,g\right\rangle \)が積\(f\cdot g\)と一致します。\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(f,g\)が有限な実数へ収束する場合には、先の命題より、\(\left\langle f,g\right\rangle \)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\langle f,g\right\rangle \left( x\right)
=\left\langle \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow
a}g\left( x\right) \right\rangle
\end{equation*}を満たしますが、内積の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}と言い換え可能です。したがって、先の命題は収束する関数の積の極限に関する命題の一般化です。

 

無限大において収束する曲線の内積の極限

無限大において収束する曲線についても同様の命題が成り立ちます(証明は演習問題にします)。

命題(無限大において収束する曲線の内積の極限)
曲線\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(\left\langle f,g\right\rangle :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)が任意の限りなく大きい実数において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束するならば、\(\left\langle f,g\right\rangle \)は\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\langle f,g\right\rangle \left( x\right)
=\left\langle \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
,\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) \right\rangle
\end{equation*}を満たす。また、\(f,g\)が任意の限りなく小さい実数において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束するならば、\(\left\langle f,g\right\rangle \)は\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left\langle f,g\right\rangle \left( x\right)
=\left\langle \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right)
,\lim_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) \right\rangle
\end{equation*}を満たす。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(無限大において収束する曲線の内積の極限)
曲線\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-\frac{1}{x} \\
\frac{2}{x^{2}}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2} \\
g\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\frac{3}{x}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。関数\(\left\langle f,g\right\rangle :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに収束するか否かを検討している状況を想定してください。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{x}\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{2}{x^{2}}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }1 \\
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{3}{x}\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\langle f,g\right\rangle \left( x\right)
&=&\left\langle \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
,\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) \right\rangle \\
&=&\left\langle \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \right\rangle \\
&=&0\cdot 1+0\cdot 0 \\
&=&0+0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。ちなみに、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}
\left\langle f,g\right\rangle \left( x\right) &=&\left\langle
f,g\right\rangle \left( x\right) \\
&=&f_{1}\left( x\right) g_{1}\left( x\right) +f_{2}\left( x\right)
g_{2}\left( x\right) \\
&=&\left( -\frac{1}{x}\right) \cdot 1+\left( \frac{2}{x^{2}}\right) \cdot
\left( \frac{3}{x}\right) \\
&=&-\frac{1}{x}+\frac{6}{x^{3}}
\end{eqnarray*}であることから、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left\langle f,g\right\rangle \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{x}+\frac{6}{x^{3}}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となりますが、これは先の結果と整合的です。

次回は収束する曲線のノルムとして定義される曲線もまた収束することを示します。

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