点において収束するベクトル値関数の内積の極限
定義域を共有する2つのベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f\cdot g\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) \cdot g\left(
x\right) \\
&=&\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right) \right) \cdot
\left( g_{1}\left( x\right) ,\cdots ,g_{m}\left( x\right) \right) \\
&=&f_{1}\left( x\right) g_{1}\left( x\right) +\cdots +f_{m}\left( x\right)
g_{m}\left( x\right)
\end{eqnarray*}を定める新たな関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし、\(f_{i},g_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f,g\)の成分関数です。関数\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに\(f,g\)がともに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束する場合、関数\(f\cdot g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
&=&\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \cdot
\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots
,\lim_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x\right) \right) \cdot \left(
\lim_{x\rightarrow a}g_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow
a}g_{m}\left( x\right) \right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x\right) \lim_{x\rightarrow
a}g_{1}\left( x\right) +\cdots +\lim_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x\right)
\lim_{x\rightarrow a}g_{m}\left( x\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。
命題（点において収束するベクトル値関数の内積の極限）
ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(f\cdot g\)は\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \cdot
\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \cdot
\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束するベクトル値関数\(f,g\)の内積の形をしている関数\(f\cdot g\)が与えられたとき、\(f\cdot g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されているとともに、\(f\)の極限と\(g\)の極限の内積をとれば\(f\cdot g\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の内積の形をしている関数\(f\cdot g\)の収束可能性を検討する際には、関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上でで、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。
例（点において収束するベクトル値関数の内積の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2},5x\right) \cdot \left( \cos \left( x\right)
,\sin \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数である\(\left( x^{2},5x\right) \)と\(\left(\cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)の内積として定義されているため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[ \left(
x^{2},5x\right) \cdot \left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}\left( x^{2},5x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
a}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \quad \because
\text{ベクトル値関数の内積} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow a}x^{2},\lim_{x\rightarrow a}5x\right) \cdot
\left( \lim_{x\rightarrow a}\cos \left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow a}\sin
\left( x\right) \right) \\
&=&\left( a^{2},5a\right) \cdot \left( \cos \left( a\right) ,\sin \left(
a\right) \right) \\
&=&a^{2}\cos \left( a\right) +5a\sin \left( a\right)
\end{eqnarray*}となります。
,\sin \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数である\(\left( x^{2},5x\right) \)と\(\left(\cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)の内積として定義されているため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[ \left(
x^{2},5x\right) \cdot \left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow a}\left( x^{2},5x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
a}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \quad \because
\text{ベクトル値関数の内積} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow a}x^{2},\lim_{x\rightarrow a}5x\right) \cdot
\left( \lim_{x\rightarrow a}\cos \left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow a}\sin
\left( x\right) \right) \\
&=&\left( a^{2},5a\right) \cdot \left( \cos \left( a\right) ,\sin \left(
a\right) \right) \\
&=&a^{2}\cos \left( a\right) +5a\sin \left( a\right)
\end{eqnarray*}となります。
点において片側収束するベクトル値関数の内積の片側極限
片側極限についても同様の命題が成り立ちます。
命題（点において片側収束するベクトル値関数の内積の片側極限）
ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束するならば、\(f\cdot g\)は\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\mathbb{R} \)の点へ右側収束し、それらの右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a+}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束するならば、\(f\cdot g\)は\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\mathbb{R} \)の点へ左側収束し、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a-}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
=\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a+}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} \)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f,g\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束するならば、\(f\cdot g\)は\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\mathbb{R} \)の点へ左側収束し、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a-}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
例（点において片側収束するベクトル値関数の内積の片側極限）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right)
\cdot \left( x+1,x-1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数である\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left(x\right) \right) \)と\(\left( x+1,x-1\right) \)の内積として定義されているため、定義域の左側の端点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left[
\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \cdot \left(
x+1,x-1\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right) \cdot \lim_{x\rightarrow 0+}\left( x+1,x-1\right) \quad \because
\text{右側収束する関数の内積} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow 0+}\cos \left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow
0+}\sin \left( x\right) \right) \cdot \left( \lim_{x\rightarrow 0+}\left(
x+1\right) ,\lim_{x\rightarrow 0+}\left( x-1\right) \right) \\
&=&\left( \cos \left( 0\right) ,\sin \left( 0\right) \right) \cdot \left(
0+1,0-1\right) \\
&=&\left( 1,0\right) \cdot \left( 1,-1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。また、定義域の右側の端点\(\pi \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \pi -}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \pi -}\left[
\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \cdot \left(
x+1,x-1\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left(
x\right) \right) \cdot \lim_{x\rightarrow \pi -}\left( x+1,x-1\right) \quad
\because \text{左側収束する関数の内積} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow \pi -}\cos \left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow
\pi -}\sin \left( x\right) \right) \cdot \left( \lim_{x\rightarrow \pi
-}\left( x+1\right) ,\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( x-1\right) \right) \\
&=&\left( \cos \left( \pi \right) ,\sin \left( \pi \right) \right) \cdot
\left( \pi +1,\pi -1\right) \\
&=&\left( -1,0\right) \cdot \left( \pi +1,\pi -1\right) \\
&=&-\pi -1
\end{eqnarray*}となります。
\cdot \left( x+1,x-1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数である\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left(x\right) \right) \)と\(\left( x+1,x-1\right) \)の内積として定義されているため、定義域の左側の端点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left[
\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \cdot \left(
x+1,x-1\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right)
\right) \cdot \lim_{x\rightarrow 0+}\left( x+1,x-1\right) \quad \because
\text{右側収束する関数の内積} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow 0+}\cos \left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow
0+}\sin \left( x\right) \right) \cdot \left( \lim_{x\rightarrow 0+}\left(
x+1\right) ,\lim_{x\rightarrow 0+}\left( x-1\right) \right) \\
&=&\left( \cos \left( 0\right) ,\sin \left( 0\right) \right) \cdot \left(
0+1,0-1\right) \\
&=&\left( 1,0\right) \cdot \left( 1,-1\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。また、定義域の右側の端点\(\pi \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \pi -}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \pi -}\left[
\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \cdot \left(
x+1,x-1\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left(
x\right) \right) \cdot \lim_{x\rightarrow \pi -}\left( x+1,x-1\right) \quad
\because \text{左側収束する関数の内積} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow \pi -}\cos \left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow
\pi -}\sin \left( x\right) \right) \cdot \left( \lim_{x\rightarrow \pi
-}\left( x+1\right) ,\lim_{x\rightarrow \pi -}\left( x-1\right) \right) \\
&=&\left( \cos \left( \pi \right) ,\sin \left( \pi \right) \right) \cdot
\left( \pi +1,\pi -1\right) \\
&=&\left( -1,0\right) \cdot \left( \pi +1,\pi -1\right) \\
&=&-\pi -1
\end{eqnarray*}となります。
無限大において収束するベクトル値関数の内積の極限
無限大における極限についても同様の命題が成り立ちます。
命題（無限大において収束するベクトル値関数の内積の極限）
ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f,g\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow+\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(f\cdot g\)は\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} \)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f,g\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(f\cdot g\)は\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} \)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
-\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
=\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
+\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f,g\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(f\cdot g\)は\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} \)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow
-\infty }g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
例（無限大において収束するベクトル値関数の内積の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right) \cdot \left( 1,\frac{3}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数である\(\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right) \)と\(\left( 1,\frac{3}{x}\right) \)の内積として定義されているため、正の無限大において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }
\left[ \left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right) \cdot \left( 1,\frac{3}{x}\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right)
\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1,\frac{3}{x}\right) \quad \because
\text{収束するベクトル値関数の内積} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{x}\right)
,\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{2}{x^{3}}\right) \right) \cdot
\left( \lim_{x\rightarrow +\infty }1,\lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
\frac{3}{x}\right) \right) \\
&=&\left( 0,0\right) \cdot \left( 1,0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、負の無限大において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty }
\left[ \left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right) \cdot \left( 1,\frac{3}{x}\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right)
\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( 1,\frac{3}{x}\right) \quad \because
\text{収束するベクトル値関数の内積} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( -\frac{1}{x}\right)
,\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{2}{x^{3}}\right) \right) \cdot
\left( \lim_{x\rightarrow -\infty }1,\lim_{x\rightarrow -\infty }\left(
\frac{3}{x}\right) \right) \\
&=&\left( 0,0\right) \cdot \left( 1,0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数である\(\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right) \)と\(\left( 1,\frac{3}{x}\right) \)の内積として定義されているため、正の無限大において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }
\left[ \left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right) \cdot \left( 1,\frac{3}{x}\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right)
\cdot \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1,\frac{3}{x}\right) \quad \because
\text{収束するベクトル値関数の内積} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{x}\right)
,\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{2}{x^{3}}\right) \right) \cdot
\left( \lim_{x\rightarrow +\infty }1,\lim_{x\rightarrow +\infty }\left(
\frac{3}{x}\right) \right) \\
&=&\left( 0,0\right) \cdot \left( 1,0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、負の無限大において、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow -\infty }
\left[ \left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right) \cdot \left( 1,\frac{3}{x}\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\right)
\cdot \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( 1,\frac{3}{x}\right) \quad \because
\text{収束するベクトル値関数の内積} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( -\frac{1}{x}\right)
,\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( \frac{2}{x^{3}}\right) \right) \cdot
\left( \lim_{x\rightarrow -\infty }1,\lim_{x\rightarrow -\infty }\left(
\frac{3}{x}\right) \right) \\
&=&\left( 0,0\right) \cdot \left( 1,0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
問題（ベクトル値関数の内積の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2},5x^{3}\right) \cdot \left( 2x,3\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときの極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときの極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。
問題（ベクトル値関数の内積の極限）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{2}}\right) \cdot \left( 1,\frac{3}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。
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