ベクトル値関数のベクトル和の連続性

連続なベクトル値関数のベクトル和の連続性

定義域を共有する2つのベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f+g\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) +g\left( x\right) \\
&=&\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right) \right) +\left(
g_{1}\left( x\right) ,\cdots ,g_{m}\left( x\right) \right) \\
&=&\left( f_{1}\left( x\right) +g_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x\right) +g_{m}\left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}を定める新たなベクトル値関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。ただし、\(f_{i},g_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f,g\)の成分関数です。関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において連続であるならば、関数\(f+g\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。

つまり、定義域上の点\(a\)において連続なベクトル値関数\(f,g\)のベクトル和の形をしているベクトル値関数\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまた点\(a\)において連続であることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)のベクトル和の形をしている関数\(f+g\)の連続性を検討する際には、ベクトル値関数の連続性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上でで、それぞれが連続であることを確認すればよいということになります。

片側連続なベクトル値関数のベクトル和の片側連続性

片側連続性についても同様の命題が成り立ちます。

演習問題