上に有界なベクトル値関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上に標準的順序\(\leq \)が定義されているものとします。つまり、任意の点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \forall i\in \left\{
1,\cdots ,m\right\} :x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}が成り立つものとして\(\leq \)は定義されているということです。
\(\mathbb{R} ^{m}\)の空ではない部分集合\(A\)について、\(\mathbb{R} ^{m}\)のある点\(U\)が\(A\)の任意の点以上である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{x}\leq U
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(U\)を\(A\)の上界と呼びます。\(\mathbb{R} ^{m}\)の非空な部分集合\(A\)が上界を持つとき、\(A\)は上に有界であると言います。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の値域、すなわち\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)がとり得る値からなる集合\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{m}\)の空ではない部分集合であるため、上に有界であるか検討できます。値域\(\boldsymbol{f}\left(X\right) \)が上に有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall x\in X:\boldsymbol{f}\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数\(\boldsymbol{f}\)は上に有界である（bounded from above）であると言います。また、値域\(\boldsymbol{f}\left( X\right) \)の上界を\(\boldsymbol{f}\)の上界（upper bound）と呼びます。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が上に有界であるものとし、その上界\(U\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選びます。上界の定義より、\begin{equation*}\forall x\in X:\boldsymbol{f}\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立ちますが、標準的順序\(\leq \)の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \forall x\in X:f_{i}\left(
x\right) \leq U_{i}
\end{equation*}と必要十分です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数であり、\(U_{i}\)は点\(U\)の第\(i\)成分です。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が上に有界であることと、\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数が上に有界であることは必要十分です。
上の命題より、ベクトル値関数の上に有界性に関する議論を成分関数の上に有界性に関する議論に置き換えて考えることができます。
\begin{array}{c}
1+\frac{1}{x^{2}+1} \\
2-\frac{1}{x^{2}+1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( x\right) &=&1+\frac{1}{x^{2}+1}\leq 2 \\
f_{2}\left( x\right) &=&2-\frac{1}{x^{2}+1}\leq 2
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\)の成分関数\(f_{1},f_{2}\)はともに上に有界です。したがって先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)は上に有界であることが明らかになりました。
先の命題は、ベクトル値関数が上に有界ではないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数が上に有界ではない場合、もとのベクトル値関数もまた上に有界ではありません。
\begin{array}{c}
1+\frac{1}{x^{2}+1} \\
2x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\begin{equation*}
f_{2}\left( x\right) =2x
\end{equation*}は上に有界ではないため、先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)もまた上に有界ではありません。
下に有界なベクトル値関数
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の空ではない部分集合\(A\)について、\(\mathbb{R} ^{m}\)のある点\(L\)が\(A\)の任意の点以下である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \boldsymbol{x}\in A:L\leq \boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(L\)を\(A\)の下界と呼びます。\(\mathbb{R} ^{m}\)の非空な部分集合\(A\)が下界を持つとき、\(A\)は下に有界であると言います。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の値域、すなわち\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)がとり得る値からなる集合\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{m}\)の空ではない部分集合であるため、下に有界であるか検討できます。値域\(\boldsymbol{f}\left(X\right) \)が下に有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall x\in X:L\leq \boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数\(\boldsymbol{f}\)は下に有界である（bounded from below）であると言います。また、値域\(\boldsymbol{f}\left( X\right) \)の下界を\(\boldsymbol{f}\)の上界（upper bound）と呼びます。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が下に有界であるものとし、その下界\(L\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選びます。下界の定義より、\begin{equation*}\forall x\in X:L\leq \boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、標準的順序\(\leq \)の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \forall x\in X:L_{i}\leq
f_{i}\left( x\right)
\end{equation*}と必要十分です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数であり、\(L_{i}\)は点\(L\)の第\(i\)成分です。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が下に有界であることと、\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数が下に有界であることは必要十分です。
上の命題より、ベクトル値関数の下に有界性に関する議論を成分関数の下に有界性に関する議論に置き換えて考えることができます。
\begin{array}{c}
1+\frac{1}{x^{2}+1} \\
2-\frac{1}{x^{2}+1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}1 &\leq &1+\frac{1}{x^{2}+1}=f_{1}\left( x\right) \\
1 &\leq &2-\frac{1}{x^{2}+1}=f_{2}\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\)の成分関数\(f_{1},f_{2}\)はともに下に有界です。したがって先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)は下に有界であることが明らかになりました。
先の命題は、ベクトル値関数が下に有界ではないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数が下に有界ではない場合、もとのベクトル値関数もまた下に有界ではありません。
\begin{array}{c}
1+\frac{1}{x^{2}+1} \\
-2x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\begin{equation*}
f_{2}\left( x\right) =-2x
\end{equation*}は下に有界ではないため、先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)もまた下に有界ではありません。
有界なベクトル値関数
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が上に有界かつ下に有界である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists U\in \mathbb{R} ^{m},\ \exists L\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall x\in X:L\leq \boldsymbol{f}\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数\(\boldsymbol{f}\)は有界（bounded）であると言います。
ベクトル値関数と成分関数の有界性に関する先の2つの命題より以下が得られます。
\begin{array}{c}
1+\frac{1}{x^{2}+1} \\
2-\frac{1}{x^{2}+1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}1 &\leq &1+\frac{1}{x^{2}+1}\leq 2 \\
1 &\leq &2-\frac{1}{x^{2}+1}\leq 2
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
1 &\leq &f_{1}\left( x\right) \leq 2 \\
1 &\leq &f_{2}\left( x\right) \leq 2
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\)の成分関数\(f_{1},f_{2}\)はともに有界です。したがって先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)は有界であることが明らかになりました。
先の命題は、ベクトル値関数が有界ではないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数が有界ではない場合、すなわち上に有界でないか下に有界でないかの少なくとも一方である場合、もとのベクトル値関数もまた有界ではありません。
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
-\frac{1}{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\(f_{1}\left( x\right) =\frac{1}{x}\)の値域は、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( (0,1]\right) &=&\left\{ f_{1}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\right\} \\
&=&[1,+\infty )
\end{eqnarray*}であるため\(f_{1}\left( x\right) \)は上に有界ではなく、したがって有界でもありません。先の命題より、これは\(f\)が有界でないことも同時に意味します。ちなみに、もう一方の成分関数\(f_{2}\left( x\right) =-\frac{1}{x}\)の値域は、\begin{eqnarray*}f_{2}\left( (0,1]\right) &=&\left\{ f_{2}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\right\} \\
&=&\left\{ -\frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in (0,1]\right\} \\
&=&(-\infty ,-1] \end{eqnarray*}であるため\(f_{1}\left( x\right) \)は下に有界ではなく、したがって有界でもありません。\(0<a<1\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、この関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域を\(\left[ a,1\right] \)に縮小した場合、成分関数\(f_{1}\left(x\right) =\frac{1}{x}\)の値域は、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( \left[ a,1\right] \right) &=&\left\{ f_{1}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 1,\frac{1}{a}\right] \end{eqnarray*}となるため\(f_{1}\left( x\right) \)は有界です。もう一方の成分関数\(f_{2}\left( x\right) =-\frac{1}{x}\)の値域は、\begin{eqnarray*}f_{2}\left( \left[ a,1\right] \right) &=&\left\{ f_{2}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ -\frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,1\right] \right\} \\
&=&\left[ -\frac{1}{a},-1\right] \end{eqnarray*}となるため\(f_{2}\left( x\right) \)は有界です。したがって先の命題より、定義域を\(\left[ a,1\right] \)へ縮小した\(f\)は有界です。
有界なベクトル値関数の代替的な定義
ユークリッド空間の部分集合が有界であることは様々な形で表現可能であるため、それにあわせてベクトル値関数の有界性を様々な形で表現できます。
- \(\boldsymbol{f}\)は有界である。
- 以下の関係\begin{equation*}\forall x\in X:\boldsymbol{f}\left( x\right) \subset \prod_{i=1}^{m}\left[
a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{m}\)上の有界閉区間\(\prod_{i=1}^{m}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)が存在する。 - 以下の命題\begin{equation*}\exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \leq
\varepsilon
\end{equation*}が成り立つ。 - 以下の命題\begin{equation*}\exists \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m},\ \exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{y}\right) \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つ。 - 以下の命題\begin{equation*}\exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in X:d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( y\right) \right) \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つ。 - 以下の命題\begin{equation*}\exists \boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{m},\ \exists \varepsilon >0,\ \forall x\in X:\boldsymbol{f}\left( x\right)
\in N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}が成り立つ。 - \(\boldsymbol{f}\)の値域\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \end{equation*}について、\begin{equation*}
0\leq d\left( \boldsymbol{f}\left( X\right) \right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(d\left( \boldsymbol{f}\left( X\right) \right) \)は\(\boldsymbol{f}\left( X\right) \)の直径である。
収束するベクトル値関数は有界であるとは限らない
収束するベクトル値関数は有界であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
a}\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}x \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}x^{2}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
a \\
a^{2}\end{array}\right) \\
&\in &\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。その一方で、成分関数\(f_{1}\left( x\right) =x\)の値域は、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f_{1}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}であるため\(f_{1}\left( x\right) \)は有界ではなく、したがって\(\boldsymbol{f}\)もまた有界ではありません。
収束する「点列」は有界であることが保証されます。一方、上の例から明らかであるように、収束する「ベクトル値関数」は定義域上において有界であるとは限りません。ただし、後ほど明らかになるように、収束するベクトル値関数は局所有界であることは保証されます。
ちなみに、有界なベクトル値関数は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{c}
\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
\cos \left( \frac{1}{x}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} /\left\{ 0\right\} \)について、\begin{eqnarray*}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert &=&\sqrt{\sin
^{2}\left( \frac{1}{x}\right) +\cos ^{2}\left( \frac{1}{x}\right) } \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\boldsymbol{f}\)は有界です。その一方で、以下の極限\begin{eqnarray*}&&\lim_{x\rightarrow 0}\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
&&\lim_{x\rightarrow 0}\cos \left( \frac{1}{x}\right)
\end{eqnarray*}は有限な実数として定まらないため、\(x\rightarrow 0\)の場合に\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \)は収束しません。
局所有界なベクトル値関数
先に例を通じて確認したように、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が有界でない場合においても、その定義域を何らかの集合\(Y\subset X\)に制限すれば\(\boldsymbol{f}\)が\(Y\)上において有界になる状況は起こり得ます。この場合、\(\boldsymbol{f}\)は\(Y\)上で有界（bounded on \(Y\)）であると言います。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において局所有界であることは、変数\(x\)がとり得る値を点\(a\)の周辺に制限した場合の\(\boldsymbol{f}\)の値域\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right) =\left\{
\boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\right\}
\end{equation*}が有界であること、すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \exists U\in \mathbb{R} ^{m},\ \exists L\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X:L\leq \boldsymbol{f}\left( x\right) \leq U
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は半径が\(\varepsilon \)であり中心が\(a\)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}と定義されます。
標準的順序\(\leq \)の定義を踏まえると、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)の周辺において局所有界であることは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \exists U\in \mathbb{R} ^{m},\ \exists L\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap X\ \forall i\in
\left\{ 1,\cdots ,m\right\} :L_{i}\leq f_{i}\left( x\right) \leq U_{i}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)の周辺において局所有界であることと、\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数が点\(a\)の周辺において局所有界であることは必要十分です。
上の命題より、ベクトル値関数の局所有界性に関する議論を成分関数の局所有界性に関する議論に置き換えて考えることができます。
\begin{array}{c}
x \\
-x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(\boldsymbol{f}\)は有界ではありません。他方で、点\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、成分関数\(f_{1}\left(x\right) =x\)に関しては、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f_{1}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
f_{1}\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right) \subset \left[ a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立ちますが、これは\(f_{1}\left( x\right) \)が点\(a\)の周辺において局所有界であることを意味します。成分関数\(f_{2}\left(x\right) =-x\)に関しては、\begin{eqnarray*}f_{2}\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f_{2}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ -x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \right\} \\
&=&\left( -a-\varepsilon ,-a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
f_{2}\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right) \subset \left[ -a-\varepsilon ,-a+\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立ちますが、これは\(f_{1}\left( x\right) \)が点\(a\)の周辺において局所有界であることを意味します。したがって先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)の周辺において局所有界です。\(\mathbb{R} \)の任意の点において同様であるため、\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} \)上の任意の点の周辺において局所有界であることが明らかになりました。
先の命題は、ベクトル値関数が局所有界ではないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数が局所有界ではない場合、もとのベクトル値関数もまた局所有界ではありません。
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
2x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(\boldsymbol{f}\)は有界ではありません。点\(0\)に注目したとき、任意の\(\varepsilon >0\)について、成分関数\(f_{1}\left( x\right) =\frac{1}{x}\)は、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( N_{\varepsilon }\left( 0\right) \cap \left( \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) \right) &=&\left\{ f_{1}\left(
x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\varepsilon }\left( 0\right) \cap \left( \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\varepsilon ,0\right) \cup \left( 0,\varepsilon \right)
\right\} \\
&=&\left( -\infty ,0\right) \cup \left( 0,+\infty \right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f_{1}\left( x\right) \)は点\(0\)の周辺において局所有界ではありません。したがって先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)もまた点\(0\)の周辺において局所有界ではありません。
収束するベクトル値関数は局所有界性
先に確認したように、収束するベクトル値関数は有界であるとは限りません。一方、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束する場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)の周辺において局所有界であることは保証されます。
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
a \\
a^{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が成り立つ一方で、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(\mathbb{R} \)上において有界ではありません。ただ、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が収束するのであれば、先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)の周辺において局所有界であるはずです。実際、十分小さい\(\varepsilon >0\)について、成分関数\(f_{1}\left( x\right) =x\)に関しては、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f_{1}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}となるため\(f_{1}\)は点\(a\)の周辺において局所有界です。また、成分関数\(f_{2}\left( x\right) =x^{2}\)に関しては、\begin{eqnarray*}f_{2}\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right) &=&\left\{ f_{2}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\left( \left( a+\varepsilon \right) ^{2},\left( a-\varepsilon \right)
^{2}\right) & \left( if\ a+\varepsilon <0\right) \\
\lbrack 0,\max \left\{ \left( a-\varepsilon \right) ^{2},\left(
a+\varepsilon \right) ^{2}\right\} ) & \left( if\ a-\varepsilon \leq 0\leq
a+\varepsilon \right) \\
\left( \left( a-\varepsilon \right) ^{2},\left( a+\varepsilon \right)
^{2}\right) & \left( if\ a-\varepsilon >0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となるため\(f_{2}\)は点\(a\)の周辺において局所有界です。したがって\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)の周辺において局所有界です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
局所有界性なベクトル値関数は収束するとは限らない
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束する場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)の周辺において局所有界であることが明らかになりましたが、その逆は成り立つとは限りません。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)の周辺において局所有界であったとしても、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{c}
\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
\cos \left( \frac{1}{x}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)の周辺において局所有界である一方、\(x\rightarrow 0\)の場合に収束しません（演習問題）。
ベクトル値関数が収束しないことの証明
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束する場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)の周辺において局所有界であることが明らかになりました。対偶より、点\(a\)の周辺において局所有界ではないベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)は\(x\rightarrow a\)の場合に収束しません。
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
2x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、この関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)の周辺において局所有界ではありません。したがって、先の命題より、この関数\(\boldsymbol{f}\)は\(x\rightarrow 0\)の場合に収束しません。実際、成分関数\(f_{1}\left( x\right) =\frac{1}{x}\)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
\frac{1}{x}\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\)もまた\(x\rightarrow 0\)の場合に収束しません。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
片側収束するベクトル値関数は局所有界
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に右側収束する場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)以上の周辺において局所有界であることは保証されます。
左側極限ついても同様の主張が成り立ちます。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a-\)の場合に左側収束する場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)以下の周辺において局所有界であることは保証されます。
無限大において収束するベクトル値関数は局所有界
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は限りなく大きい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束するか検討できます。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に収束する場合、\(\boldsymbol{f}\)が\(\left( a,+\infty \right) \)上で有界になるような実数\(a\in \mathbb{R} \)が存在することが保証されます。
負の無限大における極限についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は限りなく小さい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束するか検討できます。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow -\infty \)の場合に収束する場合、\(\boldsymbol{f}\)が\(\left( -\infty ,a\right) \)上で有界になるような実数\(a\in \mathbb{R} \)が存在することが保証されます。
演習問題
\begin{array}{c}
\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
\cos \left( \frac{1}{x}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)の周辺において局所有界である一方、\(x\rightarrow 0\)の場合に収束しないことを示してください。
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