ユークリッド空間における有界集合

ユークリッド空間における有界集合と非有界集合

ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)が与えられているものとします。ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は距離の公理に相当する以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =d\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) \leq d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) +d\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)
\end{eqnarray*}を満たします。加えて、\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的順序\(\leq \)が定義されているものとします。つまり、任意の点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \forall i\in \left\{
1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして\(\leq \)は定義されているということです。\(\leq \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の半順序です。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( O_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{x} \\
&&\left( O_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\leq \boldsymbol{x}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right] \\
&&\left( O_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\leq \boldsymbol{z}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{z}\right] \end{eqnarray*}が成り立ちます。標準的順序\(\leq \)が与えられたとき、任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\Leftrightarrow \left( \boldsymbol{x}\leq
\boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{x}\not=\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的狭義順序\(<\)は定義されます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が有界であることは、その上界\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)と下界\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が存在すること、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in A:\boldsymbol{a}\leq x\leq \boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

空集合\(\phi \subset \mathbb{R} ^{n}\)については、これを有界であるものと定めます。

有界性を直方体を用いて表現することもできます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A\subset \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}を満たす\(n\)次元の直方体\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)が存在することは、\(A\)が有界であるための必要十分条件です。

有界性をノルムを用いて表現することもできます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)について、\begin{equation*}\exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in A:\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \leq
\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件です。

以上が有界集合に関してこれまで明らかになったことですが、以下では、ユークリッド距離ないしそれに付随する概念を用いて有界性を表現できることを示します。

ユークリッド距離を用いた有界性の表現

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を議論の対象とする場合、そこに標準的順序\(\leq \)を導入しなければならないというルールは存在しません。重要なことは距離の公理を満たす距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義されているということであり、ユークリッド空間に関する議論はいずれもユークリッド距離の性質を出発点に行われます。

その一方で、先に、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が有界であることを標準的順序\(\leq \)を用いて定義したため、ユークリッド空間に標準的順序\(\leq \)を導入しない場合、集合の有界性について議論できなくなってしまいます。ただ、実際には、距離を用いて集合の有界性を以下のように表現できます。

以上の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が有界であることは、\(A\)の任意の点からの距離が有限の実数になるような\(\mathbb{R} ^{n}\)の点が存在することと必要十分であることが明らかになりました。

先の命題の否定より、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \exists \boldsymbol{x}\in A:d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)
>\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が非有界であるための必要十分条件です。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点\(\boldsymbol{y}\)と距離\(\varepsilon \)を任意に選んだとき、\(A\)上に存在する何らかの点と\(\boldsymbol{y}\)の間の距離が\(\varepsilon \)以上になってしまうことは、\(A\)が非有界であるための必要十分条件です。

ユークリッド距離を用いた有界性の別の表現

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A:d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、つまり、\(A\)の任意の2つの点の間の距離がある有限な実数以下であることは、\(A\)が有界であるための必要十分条件です。

先の命題の否定より、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}\forall \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \exists \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A:d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \geq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が非有界であるための必要十分条件です。つまり、距離\(\varepsilon \)を任意に選んだとき、\(A\)上に存在する何らかの2つの点の間の距離が\(\varepsilon \)以上になってしまうことは、\(A\)が非有界であるための必要十分条件です。

点の近傍を用いた有界性の表現

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)の点からなる集合を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(\boldsymbol{a}\)の近傍（neighborhood of \(\boldsymbol{a}\)）や開近傍（open neighborhood of \(\boldsymbol{a}\)）などと呼びます。また、\(\boldsymbol{a}\)を近傍の中心（center）と呼び、\(\varepsilon \)を近傍の半径（radius）と呼びます。距離関数\(d\)の対称性より、任意の\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) =d\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つため、点\(\boldsymbol{a}\in X\)が中心であり半径が\(\varepsilon >0\)であるような近傍を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{x}\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists \varepsilon >0:A\subset N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、つまり、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の何らかの点を中心とする何らかの近傍によって覆われることは、\(A\)が有界であるための必要十分条件です。

先の命題の否定より、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \varepsilon >0:A\not\subset N_{\varepsilon }\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall \varepsilon >0:A\cap \left( N_{\varepsilon }\left( x\right)
\right) ^{c}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が非有界であるための必要十分条件です。つまり、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のいかなる点を中心とするいかなる近傍によっても覆われないことは、\(A\)が非有界であるための必要十分条件です。

点の近傍を用いた有界性の別の表現

先の命題より、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が有界であることは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の何らかの点を中心とする何らかの近傍によって覆われることと必要十分であることが明らかになりました。ただ、実際には、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点を自由に選んだ上で、その点を中心とする近傍だけを候補とすることができます。具体的には以下の通りです。

集合の直径を用いた有界性の表現

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)の直径は、\begin{equation*}d\left( A\right) =\sup \left\{ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)
\in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A\right\}
\end{equation*}と定義されますが、この直径が有限な非負の実数であることは、すなわち、\begin{equation*}
0\leq d\left( A\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件です。

先の命題の否定より、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}d\left( A\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が非有界であるための必要十分条件です。つまり、\(A\)の直径が正の無限大であることは、\(A\)が非有界であるための必要十分条件です。

実数空間上の有界集合とユークリッド空間上の有界集合の関係

実数空間上の有界集合の直積をとれば、それはユークリッド空間上の有界集合になります。

有界集合と包含関係

有界集合の部分集合もまた有界集合です。

有界集合と共通部分

任意個の有界集合の共通部分もまた有界集合です。

先の命題において添字集合\(\Lambda \)は任意の集合です。つまり、\(\Lambda \)が有限集合である状況を想定すれば、有限個の有界集合の共通部分は有界であるという主張になり、\(\Lambda \)が可算ないし非可算な無限集合である状況を想定すれば、無限個の有界集合の共通部分は有界であるという主張になります。

有界集合と和集合

有限個の有界集合の和集合もまた有界集合です。

以上の命題を踏まえると、有限個の点の近傍によって覆われる集合が有界であることが導かれます。

無限個の有界集合の和集合は有界であるとは限りません。以下の例より明らかです。

部分距離空間上の有界集合

ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)が与えられているものとします。つまり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はベクトルを成分とするそれぞれの順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(
x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。距離関数\(d\)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} :d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} :\left[ d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} :d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=d\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} :d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) \leq d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) +d\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)
\end{eqnarray*}を満たします。

非空な部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それにあわせて距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域を\(X\times X\)へ制限して\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in X\times
X:d_{X}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(d_{X}\)を定義すれば、この\(d_{X}\)もまた距離関数としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in
X:d_{X}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\left[
d_{X}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:d_{X}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=d_{X}\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in X:d_{X}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) \leq d_{X}\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) +d_{X}\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
\left( X,d_{X}\right)
\end{equation*}もまた距離空間になります。これをもとの空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間と呼びます。集合\(X\)上に距離関数\(d_{X}\)が定義されていることが文脈から明らかである場合には、部分距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)をシンプルに、\begin{equation*}X
\end{equation*}と表記できるものと定めます。

ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられている状況を想定します。部分距離空間の点\(\boldsymbol{a}\in X\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍とは、点\(\boldsymbol{a}\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合であり、これを、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }^{X}\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ d_{X}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon
\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\} \quad \because d_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}で表記します。

部分距離空間は距離空間であるため、部分距離空間においても、その部分集合が有界であるか検討できます。部分距離空間\(X\)上の集合\(A\)が\(X\)上において有界であることを検討する際には、\(X\)上の距離関数\(d_{X}\)や点の近傍\(N_{\varepsilon }^{X}\left( \boldsymbol{a}\right) \)などを用いることになります。

具体例を挙げると、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上において有界であることは、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in A:d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)
\leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が\(X\)上において有界であることは、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{y}\in X,\ \exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x}\in A:d_{X}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

同様に、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上において有界であることは、\begin{equation*}\exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A:d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が\(X\)上において有界であることは、\begin{equation*}\exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in A:d_{X}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

同様に、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上において有界であることは、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists \varepsilon >0:A\subset N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分距離空間\(X\)の非空な部分集合\(A\subset X\)が\(X\)上において有界であることは、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{x}\in X,\ \exists \varepsilon >0:A\subset N_{\varepsilon
}^{X}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

他の条件についても同様に考えます。

部分距離空間\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)が\(X\)上で有界であることと、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上で有界であることは必要十分です。

ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界集合である場合、これと\(X\)の共通部分\(A\cap X\)は\(X\)上の有界集合になることが保証されます。

先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられた状況において集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(A\cap X\)が\(X\)上の有界集合であっても、\(A\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界集合であるとは限りません。以下の例より明らかです。

演習問題