ユークリッド空間の部分集合が有界であることの意味は、順序という概念を前提にせずとも、距離を用いて表現できることを示します。
有界な集合

有界な集合

復習になりますが、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)が有界であることとは、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)を踏まえたとき、\(A\)の任意の点以下の点(\(A\)の下界)と、\(A\)の任意の点以上の点(\(A\)の上界)がともに存在することを意味します。以上の条件を定式化すると、\begin{equation*}
\exists a\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists b\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in A:a\leq x\leq b
\end{equation*}となります。

有界な集合について復習する

復習になりますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が有界であることを\(n\)次元の直方体を用いて表現することもできます。

命題(直方体を用いた有界性の表現)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
A\subset \prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}を満たす\(n\)次元の直方体\(\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)が存在することは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。
この命題について復習する

やはり復習になりますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が有界であることをノルムを用いて表現することもできます。

命題(ノルムを用いた有界性の表現)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
\exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:\left\Vert x\right\Vert \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。
この命題について復習する

 

距離を用いた有界性の表現

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が有界であることを距離を用いて表現することもできます。\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が有界であるものとします。つまり、\begin{equation}
\exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:\left\Vert x\right\Vert \leq \varepsilon \tag{1}
\end{equation}が成り立つということです。距離とノルムの間の関係より、\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert =\left\Vert x-0\right\Vert =d\left( x,0\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、\(\left( 1\right) \)は、\begin{equation*}
\exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:d\left( x,0\right) \leq \varepsilon
\end{equation*}と言い換え可能です。\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)であることを踏まえると、このとき、\begin{equation}
\exists y\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:d\left( x,y\right) \leq \varepsilon \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が有界であるとき、\(A\)の任意の点からの距離が有限であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)の点が存在します。

実は、逆の関係も成り立ちます。\(\left( 2\right) \)が成り立つものとします。\(x\in A\)を任意に選びます。すると\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation}
d\left( x,y\right) \leq \varepsilon \tag{3}
\end{equation}を満たす点\(y\in \mathbb{R} ^{n}\)と実数\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)が存在します。距離\(d\)に関する三角不等式より、\begin{equation*}
d\left( x,0\right) +d\left( 0,y\right) \leq d\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これと\(\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}
d\left( x,0\right) \leq \varepsilon -d\left( 0,y\right)
\end{equation*}が成り立ちます。距離とノルムの間の関係を用いてこれを言い換えると、\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert \leq \varepsilon -d\left( 0,y\right)
\end{equation*}となりますが、右辺の\(\varepsilon -d\left( 0,y\right) \)は実数であるため、\(A\)が有界であることが示されました。

以上の議論により、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の任意の点からの距離が有限であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)の点が存在することと\(A\)が有界であることは必要十分であることが明らかになりました。

命題(距離を用いた有界性の表現)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
\exists y\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:d\left( x,y\right) \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。
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\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が有界であることを距離\(d\)を用いて表現しましたが、これをさらに別の形に言い換えることもできます。\(A\)が有界であるものとします。点\(x,x^{\prime }\in A\)を任意に選ぶと、先の命題より、\begin{eqnarray}
\exists y &\in &\mathbb{R} ^{n},\ \exists \varepsilon \in \mathbb{R} :d\left( x,y\right) \leq \varepsilon \tag{4} \\
\exists y &\in &\mathbb{R} ^{n},\ \exists \varepsilon \in \mathbb{R} :d\left( x^{\prime },y\right) \leq \varepsilon \tag{5}
\end{eqnarray}がともに成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}
d\left( x,x^{\prime }\right) &\leq &d\left( x,y\right) +d\left( y,x\right)
\quad \because d\text{の三角不等式} \\
&\leq &\varepsilon +\varepsilon \quad \because \left( 4\right) ,\left(
5\right) \\
&=&2\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(2\varepsilon \)が実数であることを踏まえると、この結果は、\begin{equation}
\exists \delta \in \mathbb{R} ,\ \forall x,x^{\prime }\in A:d\left( x,x^{\prime }\right) \leq \delta
\tag{6}
\end{equation}と表現できます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が有界であるとき、\(A\)の任意の2つの点の間の距離がある有限な実数以下になります。

逆の関係も成り立ちます。\(\left( 6\right) \)が成り立つものとします。\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)であることを踏まえると、このとき、\begin{equation*}
\exists x^{\prime }\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists \delta \in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:d\left( x,x^{\prime }\right) \leq \delta
\end{equation*}が成り立つため目標は達成されました。

以上の議論により、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の任意の2つの点の間の距離がある有限な実数以下になることと\(A\)が有界であることは必要十分であることが明らかになりました。

命題(距離を用いた有界性の表現)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
\exists \delta \in \mathbb{R} ,\ \forall x,x^{\prime }\in A:d\left( x,x^{\prime }\right) \leq \delta
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。
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ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上には順序\(\leq \)が定義可能であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が有界であることを\(\leq \)を用いて定義しました。ただ、上の命題を踏まえると、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が有界であることを距離\(d\)を用いて表現することもできるため、有界性を定義する際に順序\(\leq \)の概念は必須ではないことになります。この事実を利用すれば、順序は定義されていないが距離が定義される空間においても、その部分集合の有界性を議論できることになります。この点については場を改めて議論します。

次回からはユークリッド空間における点列について解説します。

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