実順序ベクトル空間

実順序ベクトル空間

スカラー場を実数空間\(\mathbb{R} \)とした上で、\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にベクトル加法\(+\)およびスカラー乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算と、標準的順序\(\leq \)と呼ばれる二項関係を定義した上で、これらが満たす性質を明らかになりました。簡単に復習します。

2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)のベクトル和は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right)
\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と定義されます。また、スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)のスカラー積は、\begin{equation*}a\boldsymbol{x}=\left( ax_{1},\cdots ,ax_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と定義されます。これらの演算に関する性質は以下の通りです。

2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、標準的順序\(\leq \)は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \forall i\in \left\{
1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)上の二項関係です。標準的順序の性質は以下の通りです。

演算と順序の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。1つ目の性質は、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Rightarrow \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z}\leq \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right)
\end{equation*}です。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\)について、\(\boldsymbol{y}\)が\(\boldsymbol{x}\)以上であるならば、両者に\(\boldsymbol{z}\)を足しても順序が保存されるということです。これは加法律（addition law）と呼ばれる性質です。

演算と順序の間に成立する2つ目の性質は、\begin{equation*}
\forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( 0\leq a\wedge \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\right)
\Rightarrow a\boldsymbol{x}\leq a\boldsymbol{y}\right] \end{equation*}です。ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)について、\(\boldsymbol{y}\)が\(\boldsymbol{x}\)以上であるならば、両者に非負のスカラーを掛けても順序が保存されるということです。これは乗法律（multiplication law）と呼ばれる性質です。

演算に関する性質である\(\left( V_{1}\right) \)から\(\left( V_{8}\right) \)と、順序に関する性質である\(\left( V_{9}\right) \)から\(\left( V_{11}\right) \)に加えて、演算と順序の関係を規定する性質である\(\left(V_{12}\right) \)と\(\left( V_{13}\right) \)が成り立つことは、\(\mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} \)をスカラー場とする順序ベクトル空間（ordered vector space）であることを意味します。このような順序ベクトル空間を特に実順序ベクトル空間（real ordered vector space）とも呼びます。通常、実順序ベクトル空間を、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n},+,\cdot ,\leq \right)
\end{equation*}と表記しますが、実順序ベクトル空間について言及していることが文脈から明らかである場合には、これをシンプルに、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表記できます。

公理主義のもとでは、順序ベクトル空間が満たすべき性質として、\(\left( V_{1}\right) \)から\(\left(V_{13}\right) \)に相当する性質に加えて、順序に関して完備律を要求する流儀もあります。ただし、現在は\(\mathbb{R} ^{n}\)を議論の対象としており、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序\(\leq \)は完備律を満たさないため、そのような流儀のもとでは\(\mathbb{R} ^{n}\)は順序ベクトル空間ではないということになります。

狭義順序と演算の関係

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的狭義順序\(<\)は標準的順序\(\leq \)から間接的に定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)上の二項関係であり、具体的には、任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\Leftrightarrow \left( \boldsymbol{x}\leq
\boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{x}\not=\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。\(<\)が以下の性質を満たすことはすでに示した通りです。

演算と順序の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。演算と標準的順序の間には加法律\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Rightarrow \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z}\leq \boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right)
\end{equation*}が成り立つことは先に示した通りですが、この命題において\(\leq \)を\(<\)に入れ替えると、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\Rightarrow \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z}<\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right)
\end{equation*}を得ますが、こちらの命題もまた成り立ちます。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\)について、\(\boldsymbol{y}\)が\(\boldsymbol{x}\)より大きければ、両者に\(\boldsymbol{z}\)を足しても狭義順序が保存されるということです。これを標準的狭義順序に関する加法律と呼ぶこととします。

演算と標準的順序の間には乗法律\begin{equation*}
\forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( 0\leq a\wedge \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\right)
\Rightarrow a\boldsymbol{x}\leq a\boldsymbol{y}\right] \end{equation*}が成り立つことは先に示した通りですが、この命題において大小関係\(\leq \)を狭義大小関係\(<\)に、標準的順序\(\leq \)を標準的狭義順序\(<\)にそれぞれ入れ替えると、\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( 0<a\wedge \boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\right)
\Rightarrow a\boldsymbol{x}<a\boldsymbol{y}\right] \end{equation*}を得ますが、こちらの命題もまた成り立ちます。つまり、ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)について、\(\boldsymbol{y}\)が\(\boldsymbol{x}\)より大きければ、両者に正のスカラーをかけても狭義順序が保存されるということです。これを標準的狭義順序に関する乗法律と呼ぶこととします。