スカラー場として実数空間を採用した上で、n次元空間上にベクトル加法、スカラー乗法、順序などを定義したとき、これらは順序ベクトル空間としての性質を満たします。これを実順序ベクトル空間と呼びます。
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実順序ベクトル空間

スカラー場を実数空間\(\mathbb{R} \)とした上で、\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にベクトル加法\(+\)およびスカラー乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算と順序\(\leq \)と呼ばれる二項関係を定義し、これらが満たす性質を明らかにしました。

復習になりますが、演算\(+,\cdot \)に関する性質は以下の通りです。

命題(演算に関する性質)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は実数空間\(\mathbb{R} \)をスカラー場とするベクトル空間である。すなわち、ベクトル加法\(+\)とスカラー乗法\(\cdot \)は以下の性質を満たす。\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in
\mathbb{R} ^{n}:(x+y)+z=x+(y+z) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in
\mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in
\mathbb{R} ^{n}:x+0=x \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall x\in
\mathbb{R} ^{n},\ \exists -x\in
\mathbb{R} ^{n}:x+(-x)=0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall x,y,\in
\mathbb{R} ^{n}:x+y=y+x \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in
\mathbb{R} ,\ \forall x\in
\mathbb{R} ^{n}:a\cdot \left( b\cdot x\right) =\left( a\cdot b\right) \cdot x \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in
\mathbb{R} :1\cdot x=x \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall a\in
\mathbb{R} ,\ \forall x,y\in
\mathbb{R} ^{n}:a\cdot \left( x+y\right) =a\cdot x+a\cdot y \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in
\mathbb{R} ,\ \forall x\in
\mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) \cdot x=a\cdot x+b\cdot x
\end{eqnarray*}

やはり復習になりますが、順序\(\leq \)に関する性質は以下の通りです。

命題(順序に関する性質)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は順序集合である。すなわち、順序\(\leq \)は以下の性質を満たす。\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{9}\right) \ \forall x\in
\mathbb{R} ^{n}:x\leq x \\
&&\left( V_{10}\right) \ \forall x,y\in
\mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq x\right) \Rightarrow x=y\right] \\
&&\left( V_{11}\right) \ \forall x,y,z\in
\mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \end{eqnarray*}

演算\(+,\cdot \)と順序\(\leq \)の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。\(n\)次元空間の点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)かつ\(z=\left( z_{1},\cdots ,z_{n}\right) \)です。\(x\leq y\)が成り立つものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
x\leq y &\Leftrightarrow &\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\}
:x_{i}\leq y_{i}\quad \because \text{順序}\leq \text{の定義} \\
&\Rightarrow &\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}+z_{i}\leq
y_{i}+z_{i}\quad \because
\mathbb{R} \text{の公理} \\
&\Leftrightarrow &x+z\leq y+z\quad \because \text{順序}\leq
\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。これを加法律(addition law)と呼びます。つまり、点\(x,y,z\)について、\(y\)が\(x\)以上であるならば、両者に\(z\)を足しても順序が保存されるということです。

命題(加法律)
スカラー場\(\mathbb{R} \)と\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)に対して定義されたベクトル加法\(+\)、スカラー乗法\(\cdot \)、そして順序\(\leq \)の間には、\begin{equation*}
\left( V_{12}\right) \ \forall x,y\in
\mathbb{R} ^{n}:\left( x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と\(n\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。\(0\leq a\)かつ\(x\leq y\)が成り立つものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
0\leq a\wedge x\leq y &\Leftrightarrow &0\leq a\wedge \forall i\in \left\{
1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i}\quad \because \text{順序}\leq \text{の定義} \\
&\Rightarrow &\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\cdot x_{i}\leq
a\cdot y_{i}\quad \because
\mathbb{R} \text{の公理} \\
&\Leftrightarrow &a\cdot x\leq a\cdot y\quad \because \text{順序}\leq \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。これを乗法律(multiplication law)と呼びます。つまり、点\(x,y\)について、\(y\)が\(x\)以上であるならば、両者に非負のスカラーを掛けても順序が保存されるということです。

命題(乗法律)
スカラー場\(\mathbb{R} \)と\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)に対して定義されたベクトル加法\(+\)、スカラー乗法\(\cdot \)、そして順序\(\leq \)の間には、\begin{equation*}
\left( V_{13}\right) \ \forall a\in
\mathbb{R} ,\ \forall x,y\in
\mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( 0\leq a\wedge x\leq y\right) \Rightarrow a\cdot x\leq
a\cdot y\right] \end{equation*}が成り立つ。
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演算\(+,\cdot \)の性質である\(\left( V_{1}\right) \)から\(\left( V_{8}\right) \)と順序\(\leq \)の性質である\(\left( V_{9}\right) \)から\(\left( V_{11}\right) \)に加えて、演算\(+,\cdot \)と順序\(\leq \)の関係を規定する性質である\(\left( V_{12}\right) \)と\(\left( V_{13}\right) \)が成り立つことは、\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)が実数空間\(\mathbb{R} \)をスカラー場とする順序ベクトル空間(ordered vector space)であることを意味します。このような順序ベクトル空間を特に実順序ベクトル空間(real ordered vector space)とも呼びます。実順序ベクトル空間を\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n},+,\cdot ,\leq \right) \)と表記しますが、実順序ベクトル空間について言及していることが文脈から明らかである場合には、これをシンプルに\(\mathbb{R} ^{n}\)で表します。

命題(順序ベクトル空間としての(n)次元空間)

\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は実数空間\(\mathbb{R} \)をスカラー場とする順序ベクトル空間である。

順序ベクトル空間が満たすべき性質として、\(\left( V_{1}\right) \)から\(\left( V_{13}\right) \)に相当する性質に加えて、順序に関して完備律を要求する流儀もあります。ただ、復習になりますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)は完備律を満たさないため、そのような流儀のもとでは\(\mathbb{R} ^{n}\)は順序ベクトル空間ではないということになります。

 

狭義順序と演算の関係

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の狭義順序\(<\)は順序\(\leq \)から間接的に定義される概念であり、以下の性質を満たすことはすでに示した通りです。

命題(狭義順序集合としての(n)次元空間)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は狭義順序集合である。すなわち、狭義順序\(<\)は以下の性質を満たす。\begin{eqnarray*}
&&\left( S_{1}\right) \ \forall x,y\in
\mathbb{R} ^{n}:\left[ x<y\Rightarrow \lnot \left( y<x\right) \right] \\
&&\left( S_{2}\right) \ \forall x\in
\mathbb{R} ^{n}:\lnot \left( x<x\right) \\
&&\left( S_{3}\right) \ \forall x,y,z\in
\mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( x<y\wedge y<z\right) \Rightarrow x<z\right] \end{eqnarray*}
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演算\(+,\cdot \)と狭義順序\(<\)の間にはどのような関係が成り立つのでしょうか。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)に関する加法律において順序\(\leq \)を狭義順序\(<\)に置き換えると、\begin{equation*}
\forall x,y,z\in
\mathbb{R} ^{n}:\left( x<y\Rightarrow x+z<y+z\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\(y\)が\(x\)よりも大きければ、両者に\(z\)を足しても大小関係が保存されるという主張です。この命題もまた成り立つため(演習問題にします)。これを狭義順序に関する加法律と呼ぶこととします。

命題(狭義順序に関する加法律)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の狭義大小関係\(<\)について、\begin{equation*}
\forall x,y,z\in
\mathbb{R} ^{n}:\left( x<y\Rightarrow x+z<y+z\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)に関する乗法律において大小関係\(\leq \)を狭義大小関係\(<\)に、順序\(\leq \)を狭義順序\(<\)にそれぞれ置き換えると、\begin{equation*}
\forall a\in
\mathbb{R} ,\ \forall x,y\in
\mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( 0<a\wedge x<y\right) \Rightarrow a\cdot x<a\cdot y\right] \end{equation*}を得ます。つまり、点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\(y\)が\(x\)よりも大きければ、両者に正のスカラーをかけても大小関係が保存されるという主張です。この命題もまた成り立つため(演習問題にします)。これを狭義順序に関する乗法律と呼ぶことにします。

命題(狭義順序に関する乗法律)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の狭義大小関係\(<\)について、\begin{equation*}
\forall a\in
\mathbb{R} ,\ \forall x,y\in
\mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( 0<a\wedge x<y\right) \Rightarrow a\cdot x<a\cdot y\right] \end{equation*}が成り立つ。
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次回は最大元や最小元について学びます。

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