円座標系（平面における極座標系）

平面における極座標系

\(n\)次元空間ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在するそれぞれの点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)の位置を特定するために、点\(\boldsymbol{x}\)に対して付与される数の組を\(\boldsymbol{x}\)の座標（coordinates）と呼びます。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に対して座標を付与する方法は一意的ではありません。それぞれの点に対してどのようなルールのもとで座標を付与するか、そのルールに相当する概念を座標系（coordinate system）と呼びます。ここでは、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)における極座標系（polar coordinate system）について解説します。なお、以降では列ベクトルと行ベクトルを同一視した上で、主に列ベクトルを用いて議論を行います。

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)に直交座標系にもとづく座標を導入すれば直交座標平面が得られます。直交座標平面における原点\(O\)の座標は\(\left( 0,0\right) \)ですが、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)に極座標系にもとづく座標を導入する場合には、この原点\(O\)を極（polar）と呼びます。極\(O\)を始点とする形で右側へ伸ばした水平線を極軸（polar axis）と呼びます。これは直交座標系における\(x\)軸の正の部分に相当します。

平面上に存在する点\(P\)が与えられた状況を想定します（上図）。線分\(OP\)の長さが\(r\)であり、線分\(OP\)と極軸のなす角が\(\theta \)である場合、極座標系のもとでは、点\(P\)の座標を、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta
\end{array}\right)
\end{equation*}と定めます。このような座標を点\(P\)の極座標（polar coordinates）と呼びます。極座標の第1成分である\(r\)を動径（radial coordinate）と呼び、第2成分である\(\theta \)を偏角（angular coordinate）と呼びます。

平面上の点\(P\)が与えられたとき、線分\(OP\)の長さは非負の実数として定まるため、点\(P\)の動径\(r\)は1つの非負の実数として定まります。一方、線分\(OP\)と極軸のなす角\(\theta \)を測る方法は2通り存在します。1つ目は、線分\(OP\)と極軸のなす角の大きさを反時計回りに計測する場合であり、その場合には偏角\(\theta \)を正の実数で表記します。2つ目は、線分\(OP\)と極軸のなす角の大きさを時計回りに計測する場合であり、その場合には偏角\(\theta \)を負の実数で表記します。反時計回りに\(\theta >0\)だけ回転させることと、時計回りに\(2\pi -\theta \)だけ回転させることは等しいため、先のルールより、任意の\(\theta >0\)について、以下の関係\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r \\
-\left( 2\pi -\theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

点\(P\)が極\(O\)と一致する場合の動径は\(r=0\)ですが、この場合には偏角\(\theta \)は任意の値をとるものと定めます。つまり、極\(O\)の極座標を、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\theta
\end{array}\right) \quad \left( \theta \in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と定めるということです。

点\(P\)の極座標が\(\left( r,\theta \right) \)である場合、偏角\(\theta \)に\(2\pi \)の整数倍を足しても点\(P\)の位置は変わらないため、任意の整数\(z\in \mathbb{Z} \)について、以下の関係\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta +2\pi z\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

これまでは点\(P\)の動径\(r\)が非負の値のみをとり得る状況を想定しましたが、動径\(r\)が負の値もとる形に極座標系を拡張することもできます。具体的には、点\(P\)の極座標が\(\left( r,\theta \right) \)である場合、極\(O\)を挟んで点\(P\)のちょうど反対側の位置にある点\(Q\)の極座標は\(\left( r,\theta +\pi \right) \)ですが、これを\(\left( -r,\theta \right) \)と表記できるものと定めます。つまり、以下の関係\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
-r \\
\theta
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta +\pi
\end{array}\right)
\end{equation*}を満たすものとして負の動径を定義します（下図）。

以上の定義を踏まえると、点\(P\)の極座標\(\left(r,\theta \right) \)が与えられたとき、動径の符号を逆にした上で偏角に\(\pi \)を加えることにより得られる\(\left( -r,\theta +\pi \right) \)もまた点\(P\)の極座標になります。したがって、\begin{eqnarray*}\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta
\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
-r \\
\theta +\pi
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta +2\pi
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-r \\
\theta +3\pi
\end{array}\right) \\
&=&\cdots
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

極座標を直交座標へ変換する

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)に直交座標を導入した場合の原点\(O\)および\(x\)軸と、極座標を導入した場合の極\(O\)および極軸をそれぞれ同一視します。

点\(P\)の直交座標が\(\left(x,y\right) \)である一方で極座標が\(\left( r,\theta \right) \)であるものとします。ただし、\begin{equation*}r>0\wedge 0<\theta <\frac{\pi }{2}
\end{equation*}であるものとします（上図）。この場合、正弦および余弦の定義より、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) =\dfrac{x}{r} \\
\sin \left( \theta \right) =\dfrac{y}{r}\end{array}\right.
\end{equation*}がともに成り立つため、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。

点\(P\)の直交座標が\(\left(x,y\right) \)である一方で極座標が\(\left( r,\theta \right) \)であるものとします。ただし、\begin{equation*}r>0\wedge \frac{\pi }{2}<\theta <\pi
\end{equation*}であるものとします（上図）。この場合、正弦および余弦の定義より、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\cos \left( \pi -\theta \right) =\dfrac{-x}{r} \\
\sin \left( \pi -\theta \right) =\dfrac{y}{r}\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) =\dfrac{x}{r} \\
\sin \left( \theta \right) =\dfrac{y}{r}\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。

他の場合についても同様の議論が成立するため、任意の\(r\)および\(\theta \)について同様の主張が成り立ちます。

直交座標を極座標へ変換する

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する点\(P\)の直交座標が\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)であり、極座標が\(\left(r,\theta \right) \in \mathbb{R} ^{2}\)である場合には、以下の関係\begin{equation}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。すると、\begin{eqnarray*}
x^{2}+y^{2} &=&r^{2}\cos ^{2}\left( \theta \right) +r^{2}\sin ^{2}\left(
\theta \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&r^{2}\quad \because \sin ^{2}\left( \theta \right) +\cos ^{2}\left(
\theta \right) =1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x^{2}+y^{2}=r^{2}
\end{equation*}が成り立つとともに、\(r\not=0\)である場合には、\begin{eqnarray*}\tan \left( \theta \right) &=&\frac{\sin \left( \theta \right) }{\cos
\left( \theta \right) } \\
&=&\frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}\quad \because r\not=0\text{および}\left( 1\right) \\
&=&\frac{y}{x}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\tan \left( \theta \right) =\frac{y}{x}
\end{equation*}が成り立ちます。

点\(P\)の直交座標が\(\left(x,y\right) \)である場合、これを極座標\(\left( r,\theta \right) \)へ変換する際には、上の命題中の\(\left( a\right) \)から動径\(r\)を特定し、\(\left( b\right) \)から偏角\(\theta \)を特定することになります。ただし、先の議論から明らかになったように、極座標の動径および偏角は一意的に定まりません。そこで、動径\(r\)を正の実数として表現する場合には、\begin{equation*}r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を得ます。他方で、正接関数\(\tan \)は単射ではないため、\begin{equation*}\tan \left( \theta \right) =\frac{y}{x}
\end{equation*}を満たす\(\theta \)の値、すなわち、\begin{equation*}\theta =\arctan \left( \frac{y}{x}\right)
\end{equation*}は一意的に定まりません。以上の条件を満たす\(\theta \)を特定した上で、その中から何らかの値を選ぶことになります。

演習問題