点集合の極大元
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序\(\leq \)とは、任意の2つのベクトル\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x} &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n} \\
\boldsymbol{y} &=&\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}に対して、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \forall i\in \left\{
1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序関係です。標準的順序\(\leq \)が与えられたとき、任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\Leftrightarrow \left( \boldsymbol{x}\leq
\boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{x}\not=\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的狭義順序\(<\)は定義されます。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、この集合\(A\)に属するある点\(\boldsymbol{a}\)よりも大きい点が\(A\)の中に存在しないならば、つまり、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{a}\in A,\ \forall \boldsymbol{x}\in A:\lnot \left(
\boldsymbol{a}<\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つならば、この点\(\boldsymbol{a}\)を集合\(A\)の極大元（maximal element）と呼びます。定義より、集合\(A\)の極大元は\(A\)の要素である必要があります。\(A\)に属さない点は\(A\)の極大元にはなり得ません。
点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{x}\in A\)について、\begin{align*}\lnot \left( \boldsymbol{a}<\boldsymbol{x}\right) & \Leftrightarrow \lnot
\left( \boldsymbol{a}\leq \boldsymbol{x}\wedge \boldsymbol{a}\not=\boldsymbol{x}\right) \quad \because <\text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \lnot \left( \boldsymbol{a}\leq \boldsymbol{x}\right) \vee
\left( \boldsymbol{a}=\boldsymbol{x}\right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
& \Leftrightarrow \left( \boldsymbol{a}\leq \boldsymbol{x}\rightarrow
\boldsymbol{a}=\boldsymbol{x}\right) \quad \because \text{含意の定義}
\end{align*}という関係が成り立つため、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の極大元であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in A:\left( \boldsymbol{a}\leq \boldsymbol{x}\Rightarrow \boldsymbol{a}=\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の極大元であることと、点\(\boldsymbol{a}\)以上の\(A\)のすべての要素が\(\boldsymbol{a}\)と一致することは必要十分です。
\end{equation*}が成り立つことは、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の極大元であるための必要十分条件である。
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。点\(b\)は集合\(A\)の極大元です。実際、\(b\in A\)であるとともに、\begin{equation}b\leq x \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(x\in A\)および\(A\)の定義より、\begin{equation}x\leq b \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}x=b
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、\(b\)は\(A\)の極大元です。
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合です。点\(\left( b_{1},b_{2}\right) \)は集合\(A\)の極大元です。実際、\(\left(b_{1},b_{2}\right) \in A\)であるとともに、\begin{equation*}\left( b_{1},b_{2}\right) \leq \left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
b_{1}\leq x_{1}\wedge b_{2}\leq x_{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)を任意に選んだとき、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)および\(A\)の定義より、\begin{equation}x_{1}\leq b_{1}\wedge x_{2}\leq b_{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}b_{1}=x_{1}\wedge b_{2}=x_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( b_{1},b_{2}\right) =\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、\(\left(b_{1},b_{2}\right) \)は\(A\)の極大元です。
\end{equation}を満たす点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{-}^{n}\)を任意に選ぶと、\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{-}^{n}\)および\(\mathbb{R} _{-}^{n}\)の定義より、\begin{equation}\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{0} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\boldsymbol{0}=\boldsymbol{x}
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、\(\boldsymbol{0}\)は\(A\)の極大元です。
点集合の極小元
\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、この集合\(A\)に属するある点\(\boldsymbol{a}\)よりも小さい点が\(A\)の中に存在しないならば、つまり、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{a}\in A,\ \forall \boldsymbol{x}\in A:\lnot \left(
\boldsymbol{x}<\boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}が成り立つならば、この点\(\boldsymbol{a}\)を集合\(A\)の極小元（minimal element）と呼びます。定義より、集合\(A\)の極小元は\(A\)の要素である必要があります。\(A\)に属さない点は\(A\)の極小元にはなり得ません。
点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{x}\in A\)について、\begin{align*}\lnot \left( \boldsymbol{x}<\boldsymbol{a}\right) & \Leftrightarrow \lnot
\left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{a}\wedge \boldsymbol{x}\not=\boldsymbol{a}\right) \quad \because <\text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \lnot \left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{a}\right) \vee
\left( \boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}\right) \quad \because \text{ド・モルガンの法則} \\
& \Leftrightarrow \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{a}\rightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}\quad \because \text{含意の定義}
\end{align*}という関係が成り立つため、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の極小元であることは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in A:\left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{a}\Rightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の極小元であることと、点\(\boldsymbol{a}\)以下の\(A\)のすべての要素が\(\boldsymbol{a}\)と一致することは必要十分です。
\end{equation*}が成り立つことは、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の極小元であるための必要十分条件である。
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。点\(a\)は集合\(A\)の極小元です。実際、\(a\in A\)であるとともに、\begin{equation}x\leq a \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(x\in A\)および\(A\)の定義より、\begin{equation}a\leq x \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}x=a
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、\(a\)は\(A\)の極大元です。
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合です。点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)は集合\(A\)の極大元です。実際、\(\left(a_{1},a_{2}\right) \in A\)であるとともに、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \leq \left( a_{1},a_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
x_{1}\leq a_{1}\wedge x_{2}\leq a_{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)を任意に選んだとき、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)および\(A\)の定義より、\begin{equation}a_{1}\leq x_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}a_{1}=x_{1}\wedge a_{2}=x_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( a_{1},a_{2}\right) =\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、\(\left(a_{1},a_{2}\right) \)は\(A\)の極小元です。
\end{equation}を満たす点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)を任意に選ぶと、\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)および\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)の定義より、\begin{equation}\boldsymbol{x}\geq \boldsymbol{0} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\boldsymbol{0}=\boldsymbol{x}
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、\(\boldsymbol{0}\)は\(A\)の極小元です。
極大元や極小元は存在するとは限らない
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の極大元や極小元は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定義します。\(A\)の極大元が存在しないことを示すために\(A\)の極大元が存在するものと仮定して矛盾を導きます。そこで、\(A\)の極大元を\(m\)で表記します。すると、極大元の定義より\(m\in A\)であるとともに、\begin{equation}\forall x\in A:\lnot \left( m<x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。一方、\(m\in A\)および\(A\)の定義より、\begin{equation}a<m<b \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(m\)と\(b\)はともに実数であるため、このとき、有理数の稠密性より、\begin{equation}\exists x\in \mathbb{Q} :m<x<b \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(2\right) ,\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}\exists x\in \mathbb{Q} :a<x<b
\end{equation*}が成り立ちますが、\(A\)の定義より、これは\(x\in A\)であることを意味します。つまり、\(m<x\)を満たす\(A\)の要素\(x\)が存在することが示されましたが、これは\(\left(1\right) \)と矛盾です。したがって背理法より\(A\)の極大元が存在しないことが示されました。\(A\)の極小元が存在しないことも同様にして示されます。
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合ですが、\(A\)の極大元や極小元は存在しません（演習問題）。
極大元や極小元は一意的であるとは限らない
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が最大元や最小元を持つ場合、それらはそれぞれ1つの点として定まります。一方、極大元や極小元はそれぞれ1つの点として定まるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}について考えます。\(a_{1}\geq 0\)かつ\(a_{2}\geq 0\)かつ\(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}=1\)を満たす点\(\left(a_{1},a_{2}\right) \in A\)を任意に選びます。\(\left( 1,0\right) \)や\(\left( 0,1\right) \)など、このような点は無数に存在します。このような点\(\left(a_{1},a_{2}\right) \)はいずれも\(A\)の極大点です。実際、\begin{equation*}\left( a_{1},a_{2}\right) \leq \left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
a_{1}\leq x_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}をともに満たす点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in A\)を任意に選ぶと、\(A\)の定義より、\begin{equation}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}
1 &=&a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\quad \because \left( a_{1},a_{2}\right) \text{の定義} \\
&\leq &x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &1\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1
\end{equation*}が成り立ちますが、\(A\)の定義より、これは、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \in A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。したがって\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)が\(A\)の極大点であることが示されました。\(A\)が無限個の極小元を持つことも同様にして示されます（演習問題）。
極大元と最大元・極小元と最小元の関係
1次元空間\(\mathbb{R} \)に対象を限定した場合、その非空な部分集合の最大元と極大元は一致し、最小元と極小元は一致します。
上の命題の証明は、\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)が完備律を満たすという事実、すなわち\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)が全順序であるという事実に依拠しています。一方、\(n\geq 2\)の場合、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)は完備律を満たさないため、上の命題と同様の主張は成り立つとは限りません。つまり、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合に関して、最大元と極大元は一致するとは限らず、最小元と極小元は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}について考えます。先に示したように、\(a_{1}\geq 0\)かつ\(a_{2}\geq 0\)かつ\(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}=1\)を満たす任意の点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in A\)は\(A\)の極大元です。一方、\(A\)の最大元は存在しません。同様に、\(A\)は無数の極小元を持つ一方、\(A\)の最小元は存在しません。
上の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)について、\(A\)の極大元は\(A\)の最大元であるとは限らず、\(A\)の極小元は\(A \)の最小元であるとは限らないことが明らかになりました。一方、\(A\)の最大元は\(A\)の極大元であることが保証されます。しかも、それは\(A\)の唯一の極大元です。また、\(A\)の最小元は\(A\)の唯一の極小元です。
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、それは}A\text{の一意的な極小元である}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
空集合の極大元と極小元
これまでは\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を対象に、その極大元や極小元を考えてきました。空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \subset \mathbb{R} ^{n}\)です。では、空集合の極大元や極小元は存在するのでしょうか。
空集合\(\phi \)の極大元が存在するものと仮定します。極大元の定義より、\(\phi \)の極大元は\(\phi \)の要素でなければなりませんが、空集合は要素を持たないためこれは矛盾です。したがって背理法より\(\phi \)は極大元を持たないことが明らかになりました。
空集合\(\phi \)が極小元を持たないことの証明も同様です。
演習問題
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を定義します。\(A\)の極大元と極小元はともに存在しないことを証明してください。
\end{equation*}が複数の異なる極小元を持つことを証明してください。
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