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点集合の極大元・極小元

目次

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極大元

\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的順序\(\leq \)が定義されているものとします。つまり、任意の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}x\leq y\Leftrightarrow \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq
y_{i}
\end{equation*}が成り立つものとして\(\leq \)は定義されているということです。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、そのある要素\(a\)よりも大きい要素が\(A\)の中に存在しないならば、つまり、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\lnot \left( a<x\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の極大元(maximal element)と呼びます。ただし、\(<\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的狭義順序です。定義より、\(A\)の極大元は\(A\)の点でなければなりません。

標準的狭義順序\(<\)の定義などを踏まえると、\begin{align*}\lnot \left( a<x\right) & \Leftrightarrow \lnot \left( a\leq x\wedge
a\not=x\right) \quad \because <\text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \lnot \left( a\leq x\right) \vee \left( a=x\right) \quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
& \Leftrightarrow \left( a\leq x\rightarrow a=x\right) \quad \because \text{含意の定義}
\end{align*}という同値変形が可能であるため、\(a\)が\(A\)の極大元であることは、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\left( a\leq x\rightarrow a=x\right)
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち、\(a\)以上の\(A\)の任意の要素が\(a\)と等しいことと必要十分です。

命題(極大元の特徴づけ)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\left( a\leq x\Rightarrow a=x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(a\)が\(A\)の極大元であるための必要十分条件である。
例(極大元)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\)と\(b\)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。点\(b\)は\(A\)の極大元です。実際、\begin{equation}b\leq x \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす点\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(x\in A\)および\(A\)の定義より、\begin{equation}x\leq b \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}b=x
\end{equation*}を得ます。したがって、先の命題より\(b\)は\(A\)の極大元であることが示されました。
例(極大元)
\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)を満たす点\(\left( a_{1},a_{2}\right) ,\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2}\leq b_{2}\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を定義します。\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)と\(\left(b_{1},b_{2}\right) \)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。点\(\left( b_{1},b_{2}\right) \)は\(A\)の極大元です。実際、\begin{equation*}\left( b_{1},b_{2}\right) \leq \left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
b_{1}\leq x_{1}\wedge b_{2}\leq x_{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}をともに満たす点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in A\)を任意に選んだとき、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)および\(A\)の定義より、\begin{equation}x_{1}\leq b_{1}\wedge x_{2}\leq b_{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}b_{1}=x_{1}\wedge b_{2}=x_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( b_{1},b_{2}\right) =\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、先の命題より\(\left(b_{1},b_{2}\right) \)が\(A\)の極大元であることが示されました。
例(極大元)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の中でも、\begin{equation*}\mathbb{R} _{-}^{n}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\leq 0\right\} \end{equation*}に注目します。\(0\in \mathbb{R} _{-}^{n}\)であるため\(\mathbb{R} _{-}^{n}\)は非空です。点\(0\)は\(A\)の極大元です。実際、\begin{equation}0\leq x \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす点\(x\in \mathbb{R} _{-}^{n}\)を任意に選ぶと、\(x\in \mathbb{R} _{-}^{n}\)および\(\mathbb{R} _{-}^{n}\)の定義より、\begin{equation}x\leq 0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}0=x
\end{equation*}を得ます。したがって、先の命題より\(0\)が\(\mathbb{R} _{-}^{n}\)の極大元であることが示されました。

 

極小元

\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、そのある要素\(a\)よりも小さい要素が\(A\)の中に存在しないならば、つまり、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\lnot \left( x<a\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の極小元(minimal element)と呼びます。ただし、\(<\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的狭義順序です。定義より、\(A\)の極小元は\(A\)の点でなければなりません。

標準的狭義順序\(<\)の定義などを踏まえると、\begin{align*}\lnot \left( x<a\right) & \Leftrightarrow \lnot \left( x\leq a\wedge
x\not=a\right) \quad \because <\text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \lnot \left( x\leq a\right) \vee \left( x=a\right) \quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
& \Leftrightarrow x\leq a\rightarrow x=a\quad \because \text{含意の定義}
\end{align*}という同値変形が可能であるため、\(a\)が\(A\)の極小元であることは、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\left( x\leq a\rightarrow x=a\right)
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち、\(a\)以下の\(A\)の任意の要素が\(a\)と等しいことと必要十分です。

命題(極小元の特徴づけ)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\left( x\leq a\Rightarrow x=a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(a\)が\(A\)の極大元であるための必要十分条件である。
例(極小元)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\)と\(b\)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。点\(a\)は\(A\)の極小元です。実際、\begin{equation}x\leq a \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす点\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(x\in A\)および\(A\)の定義より、\begin{equation}a\leq x \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}x=a
\end{equation*}を得ます。したがって、先の命題より\(a\)は\(A\)の極小元であることが示されました。
例(極大元)
\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)を満たす点\(\left( a_{1},a_{2}\right) ,\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2}\leq b_{2}\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を定義します。\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)と\(\left(b_{1},b_{2}\right) \)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)は\(A\)の極小元です。実際、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \leq \left( a_{1},a_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
x_{1}\leq a_{1}\wedge x_{2}\leq a_{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}をともに満たす点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in A\)を任意に選んだとき、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)および\(A\)の定義より、\begin{equation}a_{1}\leq x_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}x_{1}=a_{1}\wedge x_{2}=a_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( a_{1},a_{2}\right)
\end{equation*}を得ます。したがって、先の命題より\(\left(a_{1},a_{2}\right) \)が\(A\)の極小元であることが示されました。
例(極小元)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の中でも、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}^{n}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\geq 0\right\} \end{equation*}に注目します。\(0\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)であるため\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)は非空です。点\(0\)は\(A\)の極小元です。実際、\begin{equation}x\leq 0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす点\(x\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)を任意に選ぶと、\(x\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)および\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)の定義より、\begin{equation}x\geq 0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}x=0
\end{equation*}を得ます。したがって、先の命題より\(0\)が\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)の極小元であることが示されました。

 

極大元や極小元は存在するとは限らない

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合について、その極大元や極小元は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(極大元や極小元は存在するとは限らない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。有理数の稠密性より\(a<x<b\)を満たす有理数\(x\)が存在するため\(A \)は非空です。\(A\)の極大元が存在しないことを示すために\(A\)の極大元が存在するものと仮定して矛盾を導きます。そこで、\(A\)の極大元を\(m\)で表記します。すると、極大元の定義より\(m\in A\)であるとともに、\begin{equation}\forall x\in A:\lnot \left( m<x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(A\)の定義より、\(m\in A\)であることは、\begin{equation}a<m<b \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを意味します。\(m\)と\(b\)はともに実数であるため、このとき、有理数の稠密性より、\begin{equation}m<x<b \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす有理数\(x\)が存在します。\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}a<x<b
\end{equation*}が成り立ちますが、\(A\)の定義より、これは\(x\in A\)であることを意味します。つまり、\(m<x\)を満たす\(A\)の要素\(x\)が存在することが示されましたが、これは\(\left(1\right) \)と矛盾します。したがって背理法より\(A\)の極大元が存在しないことが示されました。\(A\)の極小元が存在しないことも同様にして示されます。
例(極大元や極小元は存在するとは限らない)
\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)を満たす点\(\left( a_{1},a_{2}\right) ,\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}<x_{1}<b_{1}\wedge a_{2}<x_{2}<b_{2}\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を定義します。有理数の稠密性より\(a_{1}<x_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<x_{2}<b_{2}\)を満たす有理数の組\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)が存在するため\(A\)は非空ですが、\(A\)の極大元や極小元は存在しません(演習問題)。

 

極大元や極小元は一意的であるとは限らない

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合が最大元や最小元を持つ場合、それは必ず1つの点として定まります。一方、極大元や極小元はそれぞれ一意的に定まるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(極大元・極小元)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。\(a_{1}\geq 0\)かつ\(a_{2}\geq 0\)かつ\(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}=1\)を満たす点\(\left(a_{1},a_{2}\right) \in A\)を任意に選びます。\(\left( 1,0\right) \)や\(\left( 0,1\right) \)など、このような点は無数に存在します。このような点\(\left(a_{1},a_{2}\right) \)はいずれも\(A\)の極大点です。実際、\begin{equation*}\left( a_{1},a_{2}\right) \leq \left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
a_{1}\leq x_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}をともに満たす点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in A\)を任意に選ぶと、\(A\)の定義より、\begin{equation}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}
1 &=&a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\quad \because \left( a_{1},a_{2}\right) \text{の定義} \\
&\leq &x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &1\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1
\end{equation*}が成り立ちますが、\(A\)の定義より、これは、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \in A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。したがって\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)が\(A\)の極大点であることが示されました。\(A\)が無限個の極小元を持つことも同様にして示されます(演習問題)。

 

極大元と最大元・極小元と最小元の関係

実数空間\(\mathbb{R} \)に話を限定した場合、その非空な部分集合の最大元と極大元は一致し、最小元と極小元は一致します。

命題(極大元と最大値の関係)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の極大元であることは、\(a\)が\(A\)の最大元であるための必要十分条件である。また、\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の極小元であることは、\(a\)が\(A\)の極小元であるための必要十分条件である。
証明

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上の命題の証明は、\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)が完備律を満たすという事実、すなわち\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)が全順序であるという事実に依拠しています。一方、\(n\geq 2\)の場合、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の順序\(\leq \)は完備律を満たさないため、上の命題と同様の主張は成り立つとは限りません。つまり、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合に関して、最大元と極大元は一致するとは限らず、最小元と極小元は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(極大元と最大元・極小元と最小元の関係)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。先に示したように、\(a_{1}\geq 0\)かつ\(a_{2}\geq 0\)かつ\(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}=1\)を満たす任意の点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \in A\)は\(A\)の極大元です。一方、\(A\)の最大元は存在しません。同様に、\(A\)は無数の極小元を持つ一方、\(A\)の最小元は存在しません。

上の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)について、\(A\)の極大元は\(A\)最大元であるとは限らず、\(A\)の極小元は\(A \)の最小元であるとは限らないことが明らかになりました。一方、\(A\)の最大元は\(A\)の極大元であることが保証されます。しかも、それは\(A\)の唯一の極大元です。また、\(A\)の最小元は\(A\)の唯一の極小元です。

命題(最大元は極大元・最小元は極小元)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{が存在するならば、それは}A\text{の一意的な極大元である} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、それは}A\text{の一意的な極小元である}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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演習問題

問題(極大元や極小元は存在するとは限らない)
\(a_{1}<b_{1}\)かつ\(a_{2}<b_{2}\)を満たす点\(\left( a_{1},a_{2}\right) ,\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ a_{1}<x_{1}<b_{1}\wedge a_{2}<x_{2}<b_{2}\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合を定義します。\(A\)の極大元と極小元はともに存在しないことを証明してください。
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問題(極大元や極小元は一意的であるとは限らない)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}が複数の異なる極小元を持つことを証明してください。

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問題(極大元・極小元が一意的である場合)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が極大元や極小元を持つ場合、それらはそれぞれ一意的であることを証明してください。
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次回は上界や下界について学びます。

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点集合の最大元・最小元

n次元空間の非空な部分集合に対して、その最大元や最小元を定義します。最大元や最小元は存在するとは限りませんが、存在する場合にはそれぞれ一意的です。

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実数集合 R の空でない部分集合 A について、そのある要素 a が A の任意の実数以上ならば、a を A の最大値と呼びます。また、a が A の任意の実数以下ならば、a を A の最小値と呼びます。

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実数集合の上界・下界

実数集合 R の空でない部分集合 A について、ある実数 a が A の任意の要素以上ならば、a を A の上界と呼びます。また、a が A の任意の要素以下ならば、a をAの 下界 と呼びます。

DISCUSSION

質問とコメント

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