n次元空間上の非空な部分集合に対して、その極大元や極小元を定義します。1次元空間においてこれらは最大元や最小元と等しい概念ですが、多次元空間において両者は異なる概念です。
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極大元・極小元

実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、そのある点\(a\)よりも大きい点が\(A\)の中に存在しないならば、つまり、\begin{equation*}
\exists a\in A,\ \forall x\in A:\lnot \left( a<x\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の極大元(maximal element)と呼びます。定義より、\(A\)の極大元は\(A\)の点でなければなりません。

狭義順序\(<\)の定義を踏まえると、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)の点である\(a\in A\)と\(x\in A\)について、\begin{align*}
\lnot \left( a<x\right) & \Leftrightarrow \lnot \left( a\leq x\wedge
a\not=x\right) \quad \because <\text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \lnot \left( a\leq x\right) \vee \left( a=x\right) \quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
& \Leftrightarrow \left( a\leq x\rightarrow a=x\right) \quad \because
\rightarrow \text{の定義}
\end{align*}という同値変形が可能です。したがって、\(A\)のある点\(a\)について、\(a\)以上であるような\(A\)の任意の点が\(a\)と等しいことは、\(a\)が\(A\)の極大元であるための必要十分条件です。

命題(極大元の特徴づけ)
実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、\begin{equation*}
\exists a\in A,\ \forall x\in A:\left( a\leq x\Rightarrow a=x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(a\)が\(A\)の極大元であるための必要十分条件である。
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実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、そのある点\(a\)よりも小さい点が\(A\)の中に存在しないならば、つまり、\begin{equation*}
\exists a\in A,\ \forall x\in A:\lnot \left( x<a\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の極小元(minimal element)と呼びます。定義より、\(A\)の極小元は\(A\)の点でなければなりません。

極小元の定義に関しても、以下の様な言い換えが可能です(演習問題にします)。

命題(極小元の特徴づけ)
実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について、\begin{equation*}
\exists a\in A,\ \forall x\in A:\left( x\leq a\Rightarrow a=x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(a\)が\(A\)の極小元であるための必要十分条件である。
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例(極大元・極小元)
\(1\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である有界な閉区間\begin{equation*}
\left[ 0,1\right] =\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ 0\leq x\leq 1\right\}
\end{equation*}について考えます。\(\left[ 0,1\right] \)の点である\(1\)に注目したとき、\(1\leq x\)を満たす\(\left[ 0,1\right] \)の点\(x\)は\(1\)だけであるため、\(\left[ 0,1\right] \)の極大元は\(1\)です。同様にして、\(\left[ 0,1\right] \)の極小点が\(0\)であることが示されます。
例(極大元・極小元)
\(2\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}
A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ -1\leq x_{1}\leq 1,\ -1\leq x_{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。\(A\)の点である\(\left( 1,1\right) \)に注目したとき、\(\left( 1,1\right) \leq \left( x_{1},x_{2}\right) \)を満たす\(A\)の点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)は\(\left( 1,1\right) \)だけであるため、\(A\)の極大元は\(\left( 1,1\right) \)です。同様にして、\(A\)の極小元が\(\left( -1,-1\right) \)であることが示されます。

 

極大元や極小元は存在するとは限らない

以下の例が示唆するように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合に対して、その極大元や極小元は存在するとは限りません。

例(極大元・極小元)
\(1\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合である有界な開区間\begin{equation*}
\left( 0,1\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ 0<x<1\right\}
\end{equation*}に極大元\(a\)が存在するものと仮定します。極大元の定義より、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 0<a<1 \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \left( 0,1\right) :\lnot \left( a<x\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。\(\left( a\right) \)より、限りなく小さい\(\varepsilon >0\)をとれば\(0<a+\varepsilon <1\)が成り立ちますが、これは、\(a\)よりも大きい\(\left( 0,1\right) \)の点である\(a+\varepsilon \)が存在することを意味し、\(\left( b\right) \)と矛盾します。したがって、\(\left( 0,1\right) \)には極大点が存在しないことが明らかになりました。\(\left( 0,1\right) \)には極小点が存在しないことも同様にして示されます。

 

極大元や極小元は一意的であるとは限らない

\(1\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} \)上の順序\(\leq \)は実数どうしを比較する大小関係と等しいため、完備律を満たします。この場合、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合の極大元は最大元と一致し、極小元は最小元と一致します。また、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合が最大値や最小値を持つとき、それらはそれぞれ一意的に定まります。したがって、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合に関しては、その極大元や極小元が存在する場合、それぞれ一意的です。

\(2\)次元以上の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)に関しては、そこに定義された順序\(\leq \)は完備律を満たしません。したがって、後ほど例示するように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合については、その極大元と最大元は一致するとは限りませんし、その極小元と最小元は一致するとは限りません。加えて、以下の例が示唆するように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合について、その極大元や極小元はそれぞれ一意的であるとは限りません。

例(極大元・極小元)
\(2\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}
A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。\(A\)の点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)の中でも\(a_{1}\geq 0\)かつ\(a_{2}\geq 0\)かつ\(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}=1\)を満たすものは無数に存在しますが、それらはいずれも\(A\)の極大元です(演習問題にします)。同様に、\(A\)が無限個の極小元を持つことを示すことができます。

 

極大元と最大元・極小元と最小元の関係

繰り返しになりますが、\(1\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} \)に話を限定した場合、その非空な部分集合の最大元と極大元は一致し、最小元と極小元は一致します。しかも、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合が最大値や最小値を持つ場合、それらはそれぞれ一意的であるため、それらと一致する極大元や極小元もまたそれぞれ一意的です。\(2\)次元以上の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)に関しても同じことが言えるでしょうか。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が最大元\(\max A\)を持つ場合、\begin{equation}
\forall x\in A:x\leq \max A \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。\(\max A\leq x\)を満たす\(x\in A\)を任意に選ぶと、これと\(\left( 1\right) \)および順序\(\leq \)に関する反対称律より\(x=\max A\)が成り立つため、\(\max A\)は\(A\)の極大元でもあります。\(\max A\)が存在する場合には一意的です。では、\(\max A\)とは異なる\(A\)の極大元は存在するのでしょうか。\(\max A\)とは異なる\(a\in A\)もまた\(A\)の極大元であるものと仮定します。\(a<\max A\)の場合、これと\(\max A\in A\)を踏まえると、\(a\)が\(A\)の極大元であることと矛盾です。\(\max A<a\)の場合、これと\(a\in A\)を踏まえると、\(\max A\)が\(A\)の極大元であることと矛盾です。以上より、\(\max A\)が存在する場合、それは\(A\)の一意的な極大元であることが明らかになりました。

同様に、\(\min A\)が存在する場合、それは\(A\)の一意的な極小元であることが示されます(演習問題にします)。

命題(最大元は極大元・最小元は極小元)
実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \max A\text{が存在するならば、それは}A\text{の一意的な極大元である} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、それは}A\text{の一意的な極小元である}
\end{eqnarray*}
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繰り返しになりますが、\(2\)次元以上の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)については、その非空な部分集合の極大元は一意的に定まるとは限りませんし、以下の例が示唆するように、極大元が存在する場合でもそれは最大元であるとは限りません。したがって、\(n\geq 2\)の場合、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合の極大元と最大元は概念として一致しません。最大元は極大元ですが、極大元は最大元であるとは限らないということです。極小元と最小元の関係についても同様です。つまり、最小元は極小元ですが、極小元は最小元であるとは限りません。

例(極大元と最大元・極小元と最小元の関係)
\(2\)次元の実順序ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の非空な部分集合\begin{equation*}
A=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\}
\end{equation*}について考えます。\(A\)の点\(a=\left( a_{1},a_{2}\right) \)を任意にとると、それに対して\(a_{1}<x_{1}\)または\(a_{2}<x_{2}\)の少なくとも一方を満たす\(A\)の点\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)が存在するため、\(\max A\)は存在しません。一方、先に示したように、\(a_{1}\geq 0\)かつ\(a_{2}\geq 0\)かつ\(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}=1\)を満たす任意の点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)は\(A\)の極大元です。したがって、\(A\)は極大元を持つ一方で最大元を持ちません。同様にして、\(A\)は極小元を持つ一方で最小元を持たないことが示されます。

次回は上界や下界について学びます。

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