点集合の極大元
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的順序\(\leq \)が定義されているものとします。つまり、任意の点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \forall i\in \left\{
1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして\(\leq \)は定義されているということです。\(\leq \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の半順序です。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( O_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{x} \\
&&\left( O_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\leq \boldsymbol{x}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right]
\\
&&\left( O_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ \left( \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{y}\leq \boldsymbol{z}\right) \Rightarrow \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{z}\right]
\end{eqnarray*}が成り立ちます。標準的順序\(\leq \)が与えられたとき、任意のベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}<\boldsymbol{y}\Leftrightarrow \left( \boldsymbol{x}\leq
\boldsymbol{y}\wedge \boldsymbol{x}\not=\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的狭義順序\(<\)は定義されます。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、この集合\(A\)に属するある点\(\boldsymbol{a}\)よりも大きい点が\(A\)の中に存在しないならば、つまり、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{a}\in A,\ \forall \boldsymbol{x}\in A:\lnot \left(
\boldsymbol{a}<\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つならば、この点\(\boldsymbol{a}\)を集合\(A\)の極大元（maximal element）と呼びます。定義より、集合\(A\)の極大元は\(A\)の要素である必要があります。\(A\)に属さない点は\(A\)の極大元にはなり得ません。
逆に、集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)に属する点\(\boldsymbol{a}\)がその集合\(A\)の極大元でないことは、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{a}<\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、集合\(A\)の要素である\(\boldsymbol{a}\)に対して、それよりも大きい要素が\(A\)の中に存在する場合、\(\boldsymbol{a}\)は\(A\)の極大元ではありません。
極大元を以下のように定義することもできます。
\end{equation*}が成り立つことは、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の極大元であるための必要十分条件である。
つまり、集合\(A\)の要素である点\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の極大元であることは、\(\boldsymbol{a}\)以上の\(A\)の任意の要素が\(\boldsymbol{a}\)と一致することと必要十分です。
&=&\left[ a,b\right] \end{eqnarray*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。点\(b\)は集合\(A\)の極大元です。実際、\(b\in A\)であるとともに、\begin{equation}b\leq x \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(x\in A\)および\(A\)の定義より、\begin{equation}x\leq b \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}x=b
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、\(b\)は\(A\)の極大元です。
\\
&=&\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \end{eqnarray*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合です。点\(\left( b_{1},b_{2}\right) \)は集合\(A\)の極大元です。実際、\(\left(b_{1},b_{2}\right) \in A\)であるとともに、\begin{equation*}\left( b_{1},b_{2}\right) \leq \left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
b_{1}\leq x_{1}\wedge b_{2}\leq x_{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)を任意に選んだとき、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)および\(A\)の定義より、\begin{equation}x_{1}\leq b_{1}\wedge x_{2}\leq b_{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}b_{1}=x_{1}\wedge b_{2}=x_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( b_{1},b_{2}\right) =\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、\(\left(b_{1},b_{2}\right) \)は\(A\)の極大元です。
\end{equation}を満たす点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{-}^{n}\)を任意に選ぶと、\(\mathbb{R} _{-}^{n}\)の定義より、\begin{equation}\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{0} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\boldsymbol{0}=\boldsymbol{x}
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、\(\boldsymbol{0}\)は\(A\)の極大元です。
点集合の極小元
\(\mathbb{R} ^{n}\)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、この集合\(A\)に属するある点\(\boldsymbol{a}\)よりも小さい点が\(A\)の中に存在しないならば、つまり、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{a}\in A,\ \forall \boldsymbol{x}\in A:\lnot \left(
\boldsymbol{x}<\boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}が成り立つならば、この点\(\boldsymbol{a}\)を集合\(A\)の極小元（minimal element）と呼びます。定義より、集合\(A\)の極小元は\(A\)の要素である必要があります。\(A\)に属さない点は\(A\)の極小元にはなり得ません。
逆に、集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)に属する点\(\boldsymbol{a}\)がその集合\(A\)の極小元でないことは、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{x}\in A:\boldsymbol{x}<\boldsymbol{a}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、集合\(A\)の要素である\(\boldsymbol{a}\)に対して、それよりも小さい要素が\(A\)の中に存在する場合、\(\boldsymbol{a}\)は\(A\)の極小元ではありません。
極大元を以下のように定義することもできます。
\end{equation*}が成り立つことは、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の極小元であるための必要十分条件である。
つまり、集合\(A\)の要素である点\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の極小元であることは、\(\boldsymbol{a}\)以下の\(A\)の任意の要素が\(\boldsymbol{a}\)と一致することと必要十分です。
&=&\left[ a,b\right] \end{eqnarray*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。点\(a\)は集合\(A\)の極小元です。実際、\(a\in A\)であるとともに、\begin{equation}x\leq a \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(x\in A\)を任意に選んだとき、\(x\in A\)および\(A\)の定義より、\begin{equation}a\leq x \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}x=a
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、\(a\)は\(A\)の極大元です。
\\
&=&\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \left[ a_{2},b_{2}\right] \end{eqnarray*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合です。点\(\left( a_{1},a_{2}\right) \)は集合\(A\)の極大元です。実際、\(\left(a_{1},a_{2}\right) \in A\)であるとともに、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \leq \left( a_{1},a_{2}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
x_{1}\leq a_{1}\wedge x_{2}\leq a_{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)を任意に選んだとき、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)および\(A\)の定義より、\begin{equation}a_{1}\leq x_{1}\wedge a_{2}\leq x_{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}a_{1}=x_{1}\wedge a_{2}=x_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( a_{1},a_{2}\right) =\left( x_{1},x_{2}\right)
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、\(\left(a_{1},a_{2}\right) \)は\(A\)の極小元です。
\end{equation}を満たす点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{n}\)を任意に選ぶと\(\mathbb{R} _{+}^{n}\)の定義より、\begin{equation}\boldsymbol{x}\geq \boldsymbol{0} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}\boldsymbol{0}=\boldsymbol{x}
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、\(\boldsymbol{0}\)は\(A\)の極小元です。
極大元や極小元は存在するとは限らない
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の極大元や極小元は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。
&=&\left( a,b\right)
\end{eqnarray*}を定義します。\(A\)の極大元が存在しないことを示すために\(A\)の極大元が存在するものと仮定して矛盾を導きます。そこで、\(A\)の極大元を\(m\)で表記します。すると、極大元の定義より\(m\in A\)であるとともに、\begin{equation}\forall x\in A:\lnot \left( m<x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。一方、\(m\in A\)および\(A\)の定義より、\begin{equation}a<m<b \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(m\)と\(b\)はともに実数であるため、このとき、有理数の稠密性より、\begin{equation}\exists x\in \mathbb{Q} :m<x<b \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(2\right) ,\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}\exists x\in \mathbb{Q} :a<x<b
\end{equation*}が成り立ちますが、\(A\)の定義より、これは\(x\in A\)であることを意味します。つまり、\(m<x\)を満たす\(A\)の要素\(x\)が存在することが示されましたが、これは\(\left(1\right) \)と矛盾です。したがって背理法より\(A\)の極大元が存在しないことが示されました。\(A\)の極小元が存在しないことも同様にして示されます。
&=&\left( a_{1},b_{1}\right) \times \left( a_{2},b_{2}\right)
\end{eqnarray*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合ですが、\(A\)の極大元や極小元は存在しません（演習問題）。
極大元や極小元は一意的であるとは限らない
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合が最大元や最小元を持つ場合、それらはそれぞれ1つの点として定まります。一方、極大元や極小元はそれぞれ1つの点として定まるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}に注目します。\(a\geq 0\)かつ\(b\geq 0\)かつ\(a^{2}+b^{2}=1\)を満たす点\(\left( a,b\right) \in A\)を任意に選びます。\(\left( 1,0\right) \)や\(\left(0,1\right) \)など、このような点は無数に存在します。このような点\(\left(a,b\right) \)はいずれも\(A\)の極大点であることを示します。以下の条件\begin{equation*}\left( a,b\right) \leq \left( x,y\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
0\leq a\leq x\wedge 0\leq b\leq y \quad \cdots (1)
\end{equation}をともに満たす点\(\left(x,y\right) \in A\)を任意に選ぶと、\(A\)の定義より、\begin{equation}x^{2}+y^{2}\leq 1 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。このとき、\begin{eqnarray*}
1 &=&a^{2}+b^{2}\quad \because \left( a,b\right) \text{の定義} \\
&\leq &x^{2}+y^{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &1\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
x^{2}+y^{2}=1 \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちますが、\(A\)の定義より、これは、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。さて、\(\left(a,b\right) \not=\left( x,y\right) \)を仮定すると、\(\left( 1\right) \)より\(a<x\)または\(b<y\)の少なくとも一方が成り立ちます。\(a<x\)を仮定すると、\begin{eqnarray*}1 &=&a^{2}+b^{2}\quad \because \left( a,b\right) \text{の定義} \\
&<&x^{2}+y^{2}\quad \because \left( 1\right) \text{および}a<x \\
&=&1\quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となり矛盾です。\(b<y\)の場合にも同様にして矛盾が導かれます。したがって背理法より、\begin{equation*}\left( x,y\right) =\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(a,b\right) \)は\(A\)の極大点です。このような点\(\left( a,b\right) \)は無数に存在するため、\(A\)の極大点は無数に存在することが明らかになりました。\(A\)が無限個の極小元を持つことも同様にして示されます（演習問題）。
極大元と最大元・極小元と最小元の関係
1次元空間\(\mathbb{R} \)に対象を限定した場合、その非空な部分集合の最大元と極大元は一致し、最小元と極小元は一致します。
上の命題の証明は、\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)が完備律を満たすという事実、すなわち\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)が全順序であるという事実に依拠しています。一方、\(n\geq 2\)の場合、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の標準的順序\(\leq \)は完備律を満たさないため、上の命題と同様の主張は成り立つとは限りません。つまり、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合に関して、最大元と極大元は一致するとは限らず、最小元と極小元は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}に注目します。先に示したように、\(a\geq 0\)かつ\(b\geq 0\)かつ\(a^{2}+b^{2}=1\)を満たす任意の点\(\left( a,b\right) \in A\)は\(A\)の極大元です。一方、\(A\)の最大元は存在しません。同様に、\(A\)は無数の極小元を持つ一方、\(A\)の最小元は存在しません。
先の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)について、\(A\)の極大元は\(A\)の最大元であるとは限らず、\(A\)の極小元は\(A\)の最小元であるとは限らないことが明らかになりました。一方、\(A\)の最大元は\(A\)の極大元であることが保証されます。しかも、それは\(A\)の唯一の極大元です。また、\(A\)の最小元は\(A\)の唯一の極小元です。
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、それは}A\text{の一意的な極小元である}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
空集合の極大元と極小元
これまでは\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)を対象に、その極大元や極小元を考えてきました。空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \subset \mathbb{R} ^{n}\)です。では、空集合の極大元や極小元は存在するのでしょうか。
空集合\(\phi \)の極大元が存在するものと仮定します。極大元の定義より、\(\phi \)の極大元は\(\phi \)の要素でなければなりませんが、空集合は要素を持たないためこれは矛盾です。したがって背理法より\(\phi \)は極大元を持たないことが明らかになりました。
空集合\(\phi \)が極小元を持たないことの証明も同様です。
演習問題
\end{equation*}について、以下の問いに答えてください。
- \(A\)の最大元と最小元を求めてください。
- \(A\)の極大元と極小元を求めてください。
&=&\left( a_{1},b_{1}\right) \times \left( a_{2},b_{2}\right)
\end{eqnarray*}を定義します。\(A\)の極大元と極小元はともに存在しないことを証明してください。
\end{equation*}が複数の異なる極小元を持つことを証明してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】