Euclidean Space
ユークリッド空間
ユークリッド空間は、点やベクトルを用いて幾何学的な対象を研究する分野です。WIISでは、ユークリッド空間の定義、点列、位相、ベクトル値関数、多変数関数などを中心に、高次元空間における解析学の基礎を体系的に学ぶための教材を提供しています。距離や連続性、微分可能性といった概念を幾何学的な直観と結び付けながら理解し、定義・定理・証明を通じて多変数解析や最適化理論へとつながる数学的な考え方を身につけることを重視しています。
ユークリッド空間の分野
n 次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や大小関係を定義すると、実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。
ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。
多変数関数（スカラー場）という概念を定義するとともに、多変数関数が有限な実数へ収束すること、および連続であることの意味を定義した上で、連続な多変数関数の性質について解説します。
本節では多変数のベクトル値関数（ベクトル場）が収束することの意味や、連続であることの意味を解説します。本節で得られる知識は後に多変数のベクトル値関数の微分について学ぶ際の前提知識となります。
学習ガイド
新着教材
連続な多変数関数による弧状連結集合の像は連結集合になることが保証されます。また、連続な多変数関数の逆写像が連続である場合には、弧状連結集合の逆像が弧状連結集合になります。
連結集合上に定義された連続な多変数関数に関しては、中間値の定理に相当する命題が成り立ちます。この命題は、連続な多変数関数による連結集合の像が連結であることと必要十分です。
連続な多変数関数による連結集合の像は連結集合になることが保証されます。また、連続な多変数関数の逆写像が連続である場合には、連結集合の逆像が連結集合になります。
連続な多変数関数によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になることが保証されます。また、連続な多変数関数の定義域がコンパクト集合である場合には、コンパクト集合の逆像がコンパクト集合になることが保証されます。