固有値と固有ベクトル

行列を相似な行列に置き換えて、それをなるべく簡単な形へ変換するプロセスを行列の標準化と呼びます。

学習内容

固有値と固有ベクトル

連立1次方程式およびその解の概念を定義します。

実ベクトル空間における基底と座標の変換

実ベクトル空間において基底を変換する方法やベクトルの座標を変換する方法を解説するとともに、それらの操作の関係について説明します。

相似な線形変換と相似な正方行列

同一の線形変換を異なる基底のもとで表現した場合、両者は相似であると言います。2つの線形変換が相似であることは、それらを特徴づける正方行列が相似であることを意味します。

正方行列の対角化可能性とその利点

正方行列が何らかの対角行列と相似である場合、その正方行列は対角化可能であると言います。正方行列を対角化することにより、よりシンプルな構造を持つ行列が得られます。

正方行列の固有値と固有ベクトルの定義

正方行列に関する固有値問題と呼ばれる問題を定義するとともに、その解に相当する固有値および固有ベクトルを定義します。固有値と固有ベクトルは正方行列の対角化と深い関係があります。

固有多項式(特性多項式)を用いた固有値の特定方法

正方行列の固有値が明らかになれば、固有値に対応する列固有ベクトルを特定できます。また、固有値は固有多項式と呼ばれる多項式関数の根と一致するため、固有値を特定する作業を多項式関数の根を特定する作業へ帰着させることができます。

固有値の固有空間とその次元

正方行列の固有値に対応するすべての列固有ベクトルとゼロベクトルからなるベクトル集合を、その固有値の固有空間と呼びます。固有空間は実ベクトル空間の部分空間であるとともに、その次元は固有値の重複度以下になります。

正方行列の固有値と主座小行列式の関係

正方行列の首座小行列および主座小行列式という概念を定義するとともに、正方行列の固有値と主座小行列式の値の間に成立する関係について解説します。

対称行列の対角化

対称行列の対角化について解説します。

2次形式

2次形式について解説します。

双線型形式の定義と具体例

入力された2つのベクトルに対して1つの実数を出力する多変数関数がそれぞれのベクトルに関して線形写像である場合、このような多変数関数を双線型形式と呼びます。

2次形式の定義と具体例

入力されたベクトルに対して実数を出力する多変数関数による像が2つの変数の積に定数をかけた上で加えることにより得られる形の式である場合、このような多変数関数を2次形式と呼びます。

2次形式の表現行列の特定

2次形式と対称行列には1対1の関係が成立します。2次形式に関連付けられた対称行列を2次形式の表現行列と呼びます。表現行列を特定する方法を解説します。

2次形式の標準形

2次形式の表現行列を直交対角化することにより得られる対角行列を表現行列とする対角2次形式をもとの2次形式の標準形と呼びます。

2次形式の符号

2次形式の符号(正定値・半正定値・負定値・半負定値・不定値)を定義するとともに、同値な2次形式どうしが同一の符号を共有することを示します。

固有値を用いた2次形式の符号の判定

2次形式の表現行列の固有値の符号を観察することにより、その2次形式の符号を特定できます。

主座小行列式を用いた2次形式の符号の判定

2次形式の表現行列の首座小行列式の符号を観察することにより、その2次形式の符号を特定できます。

狭義の主座小行列式を用いた2次形式の符号の判定

2次形式の表現行列の狭義の首座小行列式の符号を観察することにより、その2次形式が正定値または不定値であるかを特定できます。

2次形式の応用例:多変数関数の極大点・極小点・鞍点の特定

2次形式に関する知識を活用して多変数関数の極大点、極小点、鞍点を特定する方法を解説します。

2次形式の応用例:多変数関数の凹凸判定

2次形式に関する知識を活用して多変数関数が凸関数、狭義凸関数、凹関数、狭義凹関数であることを判定する方法を解説します。

確認テスト

固有値に関する確認テストです。

学習ガイド

大学の数学カリキュラムとWIISのカリキュラムは何が違うのか

多くの大学では入学後すぐに微分積分学や線形代数学を学び、その後に実数論や位相空間論などの理論的な科目へ進みます。一方、WIISでは論理学・集合論の後に実数論を学び、その上で微分積分学へ進むカリキュラムを採用しています。本記事では、それぞれの考え方とWIISの学習順序のメリットについて解説します。

最新の議論

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論理学は、数学における証明や推論の基礎となる分野です。命題論理や述語論理を通じて、論理式、真理値、量化記号、証明の考え方を体系的に解説します。大学数学や理論的な学問を学ぶための出発点となる教材を提供しています。

ベクトル

「大きさ」と「方向」という2種類の情報によって表現される量をベクトルと呼びます。ベクトルを定式化するとともに、その性質について解説します。

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集合論は現代数学の共通言語です。集合、写像、関係、濃度、順序関係を中心に、数学のさまざまな分野を理解するための基礎概念を体系的に解説します。実数論、線形代数学、位相空間論などへ進むための土台を築きます。

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ベクトル空間上の線形写像

定義域と終集合が一般のベクトル空間であるような線形写像について解説します。

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