固有多項式（特性多項式）を用いた固有値の特定方法

正方行列の固有値が与えられれば列固有ベクトルは特定できる

正方行列の固有値および列固有ベクトルの定義と、それらの概念と正方行列の対角化の関係について簡単に復習します。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、それに関する固有値問題は、\begin{equation*}\exists \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :A\boldsymbol{x}=\lambda
\boldsymbol{x}
\end{equation*}と定義されます。また、固有値問題の解であるスカラーと非ゼロベクトルからなる組\begin{equation*}
\left( \lambda ,\boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{equation*}を\(A\)の固有対と呼びます。固有対\(\left( \lambda ,\boldsymbol{x}\right) \)を構成するスカラー\(\lambda \)を正方行列\(A\)の固有値と呼び、固有値\(\lambda \)とともに固有対\(\left(\lambda ,\boldsymbol{x}\right) \)を形成する非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x}\)を固有値\(\lambda \)に対応する列固有ベクトルと呼びます。

正方行列\(A\)が対角化可能である場合には、\(A\)を対角化することにより得られる対角行列\(\left[ A\right] _{v}\)の対角要素\(\lambda _{i}\)は必ず\(A\)の固有値であるとともに、\(A\)の対角化を実現する基底\(v\)の要素である基底ベクトル\(\boldsymbol{v}_{i}\)は\(\lambda _{i}\)の列固有ベクトルであることを明らかにしました。

逆に、正方行列\(A\)の固有値と列固有ベクトルを特定できれば、それを用いることにより\(A\)を対角化できることを示しました。

したがって、正方行列\(A\)を対角化する際には、その固有値\(\lambda _{1},\cdots,\lambda _{n}\)とそれらに対応する線型独立な列固有ベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\)を特定することが基本的な方針となります。ただし、実際には固有値と列固有ベクトルを同時に求める必要はなく、固有値\(\lambda _{i}\)さえ特定できれば、それを用いることにより固有値\(\lambda _{i}\)に対応する列固有ベクトル\(\boldsymbol{v}_{i}\)を特定できます。具体的には以下の通りです。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の固有値\(\lambda _{i}\in \mathbb{R} \)が具体的に与えられた状況を想定します。この固有値\(\lambda _{i}\)に対応する固有ベクトルは、固有方程式\begin{equation*}A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}
\end{equation*}に固有値\(\lambda =\lambda _{i}\)を代入することにより得られる行列方程式\begin{equation*}A\boldsymbol{x}=\lambda _{i}\boldsymbol{x}
\end{equation*}の非ゼロベクトル解\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)です。これを変形すると、\begin{equation*}A\boldsymbol{x}-\lambda _{i}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}を得ますが、成分を明示する形で表現すると、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) -\lambda _{i}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}となります。これは同次連立1次方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\left( a_{11}-\lambda _{i}\right) x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
a_{11}x_{1}+\left( a_{12}-\lambda _{i}\right) x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=0 \\
\vdots \\
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +\left( a_{1n}-\lambda _{i}\right) x_{n}=0\end{array}\right.
\end{equation*}と必要十分であるため、この同次連立1次方程式の非ゼロベクトル解は固有値\(\lambda _{i}\)に対応する固有ベクトルです。後ほど示すように、固有値\(\lambda _{i}\)が与えられれば、それに対応する固有ベクトルは必ず存在します。さらに、固有値\(\lambda _{i}\)に対応する固有ベクトルのスカラー倍もまた\(\lambda _{i}\)に対応する固有ベクトルになるため、結局、先の同次連立1位次方程式の解集合からゼロベクトルを除けば、固有値\(\lambda _{i}\)に対応するすべての固有ベクトルからなる集合が得られます。

正方行列の固有値であるための必要十分条件

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられているものとします。あるスカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)が\(A\)の固有値であることとは、それと固有対\(\left( \lambda ,\boldsymbol{x}\right) \)を形成するような非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x}\)が存在すること、すなわち、\begin{equation}\exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :A\boldsymbol{x}=\lambda
\boldsymbol{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。この行列方程式は、\begin{equation*}
A\boldsymbol{x}=\lambda I_{n}\boldsymbol{x}
\end{equation*}と必要十分です。ただし、\(I_{n}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は単位行列です。さらにこれを変形すると、\begin{equation*}\left( A-\lambda I_{n}\right) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}を得ますが、これは正方行列\begin{equation*}
A-\lambda I_{n}=\begin{pmatrix}
a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda
\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を係数行列とする変数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\)に関する同次連立1次方程式に他なりません。

以上の議論より、\(\left(1\right) \)は以下の命題\begin{equation*}\exists \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} :\left( A-\lambda I_{n}\right)
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}と必要十分であるため、スカラー\(\lambda \)が正方行列\(A\)の固有値であることと、\(A-\lambda I_{n}\)を係数行列とする同次連立1次方程式が非ゼロベクトル解を持つことが必要十分であることが明らかになりました。さらに、同次連立1次方程式が非ゼロベクトルの解を持つことと、係数行列の行列式がゼロであることは必要十分であるため、スカラー\(\lambda \)が正方行列\(A\)の固有値であることと、\begin{equation*}\det \left( A-\lambda I_{n}\right) =0
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。

固有ベクトルの存在

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、スカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)が\(A\)の固有値である場合には、\begin{equation}\det \left( A-\lambda I_{n}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。この固有値\(\lambda \)に対応する固有ベクトルは、固有方程式\begin{equation*}A\boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}
\end{equation*}の非ゼロベクトル解\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)です。固有方程式を変形すると、\begin{equation*}A\boldsymbol{x}=\lambda I_{n}\boldsymbol{x}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left( A-\lambda I_{n}\right) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。同次連立1次方程式が非ゼロベクトル解を持つことと、係数行列の行列式の値がゼロであることは必要十分であるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つことと、\(\left( 2\right) \)が非ゼロベクトル解を持つことは必要十分です。以上の議論より、正方行列\(A\)の固有値\(\lambda \)が与えられたとき、それに対応する固有ベクトルは必ず存在することが明らかになりました。

固有多項式の根としての固有値

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられた状況を想定します。スカラー\(t\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、正方行列\begin{equation*}A-tI_{n}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を定義した上で、その行列式\begin{equation*}
\det \left( A-tI_{n}\right) =\det
\begin{pmatrix}
a_{11}-t & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22}-t & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-t\end{pmatrix}\end{equation*}を計算すると、これは\(t\)に関する以下のような\(n\)次の多項式になることが保証されます。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)から定義される正方行列\begin{equation*}A-tI_{n}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を\(A\)の固有行列（characteristic matrix of \(A\)）や特性行列などと呼びます。先の命題を踏まえると、それぞれのスカラー\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}P_{A}\left( t\right) =\det \left( A-tI_{n}\right)
\end{equation*}を値として定める多項式関数\begin{equation*}
P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(A\)の固有多項式（characteristic polynomial of \(A\)）や特性多項式などと呼びます。先の命題より、任意の\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}P_{A}\left( t\right) =\left( -1\right) ^{n}t^{n}+\cdots
\end{equation*}であることに注意してください。

一般に、多項式関数\(P:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから定義される方程式\begin{equation*}P\left( t\right) =0
\end{equation*}の解を\(P\)の根（root of polynomial \(P\)）と呼びます。つまり、多項式関数\(P\)の根とは、関数\(P\left( t\right) \)に入力するとその結果がゼロになるような変数\(t\)の値のことです。

正方行列\(A\)の固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるため、その根とは、方程式\begin{equation*}P_{A}\left( t\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\det \left( A-tI_{n}\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( -1\right) ^{n}t^{n}+\cdots =0
\end{equation*}を満たすスカラー\(t\)に相当します。以上の方程式を\(A\)の固有方程式（characteristic equation of \(A\)）や特性方程式などと呼びます。

正方行列の固有値は固有多項式の根として特徴づけられます。

固有値の存在とその個数

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の固有値は固有多項式\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\det \left( A-tI_{n}\right) \\
&=&\left( -1\right) ^{n}t^{n}+\cdots
\end{eqnarray*}の根と一致することが明らかになりました。以上の事実は、\(A\)の固有値は\(n\)次の方程式\begin{equation*}P_{A}\left( t\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( -1\right) ^{n}t^{n}+\cdots =0
\end{equation*}の解であることを意味します。一般に、\(n\)次の方程式は複素数の範囲で重複度まで込めて\(n\)個の根を持ちます（代数学の基本定理）。以上より、\(n\)次の正方行列\(A\)は複素数の範囲で重複度まで込めて\(n\)個の固有値を持つことが明らかになりました。

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は重根度を含めて\(n\)個の固有値を持つことが明らかになりました。そこで、\(A\)の固有値を\(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n}\)で表記します。ただし、これらは複素数である可能性もあります。いずれにせよ、これらはいずれも固有多項式\(P_{A}\left( t\right) \)の根であるため、固有多項式を、\begin{eqnarray*}P_{A}\left( t\right) &=&\left( -1\right) ^{n}t^{n}+\cdots \\
&=&\left( -1\right) ^{n}\left( t-\lambda _{1}\right) \left( t-\lambda
_{2}\right) \times \cdots \times \left( t-\lambda _{n}\right)
\end{eqnarray*}と表現できます。ただし、固有値\(\lambda _{1},\lambda_{2},\cdots ,\lambda _{n}\)の中には重根が存在する可能性があるため、\(A\)の相異なる固有値を改めて\(\lambda_{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{m}\)で表記するのであれば、\(m\leq n\)であるとともに、固有方程式を、\begin{equation*}P_{A}\left( t\right) =\left( -1\right) ^{n}\left( t-\lambda _{1}\right)
^{r_{1}}\left( t-\lambda _{2}\right) ^{r_{2}}\times \cdots \times \left(
t-\lambda _{m}\right) ^{r_{m}}
\end{equation*}と表現できます。ただし、\(r_{i}\)は固有値\(\lambda _{i}\)の重複度を表す自然数です。

以下は固有値がすべて異なる実数であるような正方行列の例です。

以下は固有値が実数かつ重根が存在するような正方行列の例です。

以下は固有値が複素数であるような正方行列の例です。

対角化は固有多項式を変化させない

正方行列を\(A\)何らかの基底\(v\)のもとで対角化して対角行列\(\left[ A\right] _{v}\)を得たとき、その前後において固有多項式は変化しません。

先の命題をもう少し一般化できます。

固有多項式の代替的な定義

正方行列\(A\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に関する固有多項式\(P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}P_{A}\left( t\right) =\det \left( A-tI_{n}\right)
\end{equation*}を定めるとともに、スカラー\(\lambda \in \mathbb{R} \)について、\begin{equation}P_{A}\left( \lambda \right) =0\Leftrightarrow \lambda \text{は}A\text{の固有値} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。その一方で、\begin{eqnarray*}
\det \left( A-tI_{n}\right) &=&\det \left( -\left( tI-A\right) \right) \\
&=&\left( -1\right) ^{n}\det \left( tI-A\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\det \left( A-tI_{n}\right) =\left( -1\right) ^{n}\det \left( tI-A\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lambda \text{は}A\text{の固有値}
&\Leftrightarrow &P_{A}\left( \lambda \right) =0\quad \because \left(
1\right) \\
&\Leftrightarrow &\det \left( A-\lambda I_{n}\right) =0\quad \because \text{固有多項式の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( -1\right) ^{n}\det \left( \lambda I-A\right)
=0\quad \because \left( 2\right) \\
&\Leftrightarrow &\det \left( \lambda I-A\right) =0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\det \left( \lambda I-A\right) =0\Leftrightarrow \lambda \text{は}A\text{の固有値}
\end{equation*}を得ます。このような事情を踏まえると、それぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}P_{A}\left( t\right) =\det \left( tI-A\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
P_{A}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}として固有多項式を定義しても問題はありません。

演習問題