実ベクトル空間における基底と座標の変換

基底の変換（基底の変換行列）

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における2つの基底\begin{eqnarray*}v &=&\left\{ v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\right\} \\
w &=&\left\{ w_{1},w_{2},\cdots ,w_{n}\right\}
\end{eqnarray*}が与えられている状況を想定します。基底の定義より\(\mathbb{R} ^{n}\)は基底\(w\)によって張られているため、もう一方の基底\(v\)の要素であるそれぞれの基底ベクトル\(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\)は基底\(w\)の基底ベクトル\(w_{1},w_{2},\cdots ,w_{n}\)の何らかの線型結合として表現されます。つまり、\begin{gather*}\exists a_{11},a_{12},\cdots ,a_{1n}\in \mathbb{R} :w_{1}=a_{11}v_{1}+a_{12}v_{2}+\cdots +a_{1n}v_{n} \\
\exists a_{21},a_{22},\cdots ,a_{2n}\in \mathbb{R} :w_{2}=a_{21}v_{1}+a_{22}v_{2}+\cdots +a_{2n}v_{n} \\
\vdots \\
\exists a_{n1},a_{n2},\cdots ,a_{nn}\in \mathbb{R} :w_{n}=a_{n1}v_{1}+a_{n2}v_{2}+\cdots +a_{nn}v_{n}
\end{gather*}が成り立つということです。これをベクトル方程式として表現すると、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2} \\
\vdots \\
w_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{11}v_{1}+a_{12}v_{2}+\cdots +a_{1n}v_{n} \\
a_{21}v_{1}+a_{22}v_{2}+\cdots +a_{2n}v_{n} \\
\vdots \\
a_{n1}v_{1}+a_{n2}v_{2}+\cdots +a_{nn}v_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}となりますが、行列積の定義より、さらにこれを行列方程式として表現すると、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2} \\
\vdots \\
w_{n}\end{array}\right) =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。結果を行ベクトルとして表現するためにこれを転置すると、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
w_{1} \\
w_{2} \\
\vdots \\
w_{n}\end{array}\right) ^{t}=\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right) ^{t}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}^{t}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( w_{1},w_{2},\cdots ,w_{n}\right) =\left( v_{1},v_{2},\cdots
,v_{n}\right)
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}を得ます。右辺に登場する正方行列を、\begin{equation*}
P_{v\rightarrow w}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}で表記し、これを基底\(v\)から基底\(w\)への基底の変換行列（basis transition matrix）と呼びます。

2つの基底\(v,w\)が与えられたとき、両者の間には以下の関係\begin{equation*}\left( w_{1},w_{2},\cdots ,w_{n}\right) =\left( v_{1},v_{2},\cdots
,v_{n}\right) P_{v\rightarrow w}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。基底\(v\)の基底ベクトルを成分として持つ正方行列\(\left( v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\right) \)を基底\(w\)の基底ベクトルを成分として持つ正方行列\(\left( w_{1},w_{2},\cdots ,w_{n}\right) \)へ変換するためには右側から\(v\)から\(w\)への変換行列\(P_{v\rightarrow w}\)を掛ければよいということです。

上の議論において基底\(v\)が標準基底\(e=\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\} \)である場合には、\begin{equation*}\left( w_{1},w_{2},\cdots ,w_{n}\right) =\left( e_{1},e_{2},\cdots
,e_{n}\right) P
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( w_{1},w_{2},\cdots ,w_{n}\right) =I_{n}P
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
P=\left( w_{1},w_{2},\cdots ,w_{n}\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、標準基底\(e\)から基底\(w\)への変換行列\(P\)は\(w\)の基底ベクトルを成分として持つ正方行列と一致します。

基底の逆変換（基底の変換行列の逆行列）

基底の変換行列は正則行列です。

上の命題より、基底\(v\)から基底\(w\)への基底の変換行列\(P_{v\rightarrow w}\)は正則であることが明らかになりました。したがって、その逆行列\(P_{v\rightarrow w}^{-1}\)が存在し、\begin{equation}P_{v\rightarrow w}P_{v\rightarrow w}^{-1}=P_{v\rightarrow
w}^{-1}P_{v\rightarrow w}=I_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。先に\(v\)から\(w\)への基底の変換行列\(P_{v\rightarrow w}\)を、\begin{equation*}\left( w_{1},w_{2},\cdots ,w_{n}\right) =\left( v_{1},v_{2},\cdots
,v_{n}\right) P_{v\rightarrow w}
\end{equation*}を満たす正方行列として定義したため、両辺の右側から\(P_{v\rightarrow w}^{-1}\)を掛けることにより、\begin{equation*}\left( w_{1},w_{2},\cdots ,w_{n}\right) P_{v\rightarrow w}^{-1}=\left(
v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\right) P_{v\rightarrow w}P_{v\rightarrow w}^{-1}
\end{equation*}を得ますが、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\left( w_{1},w_{2},\cdots ,w_{n}\right) P_{v\rightarrow w}^{-1}=\left(
v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\right) I_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\right) =\left( w_{1},w_{2},\cdots
,w_{n}\right) P_{v\rightarrow w}^{-1}
\end{equation*}を得ます。

基底\(v,w\)および\(v\)から\(w\)への基底の変換行列\(P_{v\rightarrow w}\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\right) =\left( w_{1},w_{2},\cdots
,w_{n}\right) P_{v\rightarrow w}^{-1}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。基底\(w\)を基底\(v\)へ戻すためには、右側から\(v\)から\(w\)への変換行列\(P_{v\rightarrow w}\)の逆行列\(P_{v\rightarrow w}^{-1}\)を掛ければよいということです。つまり、\(v\)から\(w\)への変換行列\(P_{v\rightarrow w}\)の逆行列\(P_{v\rightarrow w}^{-1}\)は\(w\)から\(v\)への変換行列であるため、\begin{equation*}P_{v\rightarrow w}^{-1}=P_{w\rightarrow v}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

座標ベクトルの変換（座標の変換行列）

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において基底\(v=\left\{ v_{1},\cdots,v_{n}\right\} \)を採用した場合、ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)の座標ベクトルは、\begin{equation}x=a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}\left[ x\right] _{v}=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されます。このとき、\begin{eqnarray*}
\left( v_{1},\cdots ,v_{n}\right) \left[ x\right] _{v} &=&\left(
v_{1},\cdots ,v_{n}\right) \left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n} \\
&=&x\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、以下の関係\begin{equation*}
x=\left( v_{1},\cdots ,v_{n}\right) \left[ x\right] _{v}
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。

特に、標準基底\(e=\left\{e_{1},\cdots ,e_{n}\right\} \)を採用する場合、任意のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}x=x_{1}e_{1}+\cdots +x_{n}e_{n}
\end{equation*}が成り立つため、\(e\)のもとでの\(x\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ x\right] _{e}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =x
\end{equation*}となり、これは\(x\)自身と一致します。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における2つの基底\begin{eqnarray*}v &=&\left\{ v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\right\} \\
w &=&\left\{ w_{1},w_{2},\cdots ,w_{n}\right\}
\end{eqnarray*}が与えられている状況を想定します。ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。基底の定義より\(\mathbb{R} ^{n}\)は基底\(v\)によって張られているため、\(x\)は\(v\)の基底ベクトル\(v_{1},v_{2},\cdots,v_{n}\)何らかの線型結合として表現されます。つまり、\begin{equation*}\exists a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} :x=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots +a_{n}v_{n}
\end{equation*}が成り立つということです。座標ベクトルの定義より、このとき、\begin{equation}
\left[ x\right] _{v}=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。一方、基底\(w\)のもとでの\(x\)の座標ベクトルは、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] _{w} &=&\left[ a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots +a_{n}v_{n}\right] _{w} \\
&=&\left[ a_{1}v_{1}\right] _{w}+\left[ a_{2}v_{2}\right] _{w}+\cdots +\left[
a_{n}v_{n}\right] _{w}\quad \because \text{ベクトルの和の座標} \\
&=&a_{1}\left[ v_{1}\right] _{w}+a_{2}\left[ v_{2}\right] _{w}+\cdots +a_{n}\left[ v_{n}\right] _{w}\quad \because \text{ベクトルのスカラー倍の座標} \\
&=&\left( \left[ v_{1}\right] _{w},\left[ v_{2}\right] _{w},\cdots ,\left[
v_{n}\right] _{w} \right) \left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right) \\
&=&\left( \left[ v_{1}\right] _{w},\left[ v_{2}\right] _{w},\cdots ,\left[
v_{n}\right] _{w}\right) \left[ x\right] _{v}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left[ x\right] _{w}=\left( \left[ v_{1}\right] _{w},\left[ v_{2}\right] _{w},\cdots ,\left[ v_{n}\right] _{w}\right) \left[ x\right] _{v}
\end{equation*}を得ます。右辺に登場する正方行列を、\begin{equation*}
C_{v\rightarrow w}=\left( \left[ v_{1}\right] _{w},\left[ v_{2}\right] _{w},\cdots ,\left[ v_{n}\right] _{w}\right)
\end{equation*}で表記し、これを基底\(v\)から基底\(w\)への座標の変換行列（coordinate transition matrix）と呼びます。

ベクトル\(x\)の基底\(v\)のもとでの座標ベクトルを基底\(w\)のもとでの座標ベクトルへ変換するためには左側から\(v\)から\(w\)への座標の変換行列\(C_{v\rightarrow w}\)を掛ければよいということです。

上の命題において基底\(v\)が標準基底\(e\)である場合には、\(e\)から\(w\)への座標の変換行列が、\begin{equation*}C_{e\rightarrow w}=\left( \left[ e_{1}\right] _{w},\left[ e_{2}\right] _{w},\cdots ,\left[ e_{n}\right] _{w}\right)
\end{equation*}として得られます。このとき、任意のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\left[ x\right] _{w}=C_{e\rightarrow w}\left[ x\right] _{e}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left[ x\right] _{w}=C_{e\rightarrow w}x
\end{equation*}が成り立ちます。

上の命題において基底\(w\)が標準基底\(e\)である場合には、\(v\)から\(e\)への座標の変換行列が、\begin{eqnarray*}C_{v\rightarrow e} &=&\left( \left[ v_{1}\right] _{e},\left[ v_{2}\right] _{e},\cdots ,\left[ v_{n}\right] _{e}\right) \\
&=&\left( v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\right)
\end{eqnarray*}として得られます。このとき、任意のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\left[ x\right] _{e}=C_{v\rightarrow e}\left[ x\right] _{v}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x=C_{v\rightarrow e}\left[ x\right] _{v}
\end{equation*}が成り立ちます。

基底の変換行列と座標の変換行列の関係

基底の変換行列と座標の変換行列の間には以下の関係が成り立ちます。

座標の逆変換（座標の変換行列の逆行列）

座標の変換行列は正則行列です。

上の命題より、基底\(v\)から基底\(w\)への座標の変換行列\(C_{v\rightarrow w}\)は正則であることが明らかになりました。したがって、その逆行列\(C_{v\rightarrow w}^{-1}\)が存在し、\begin{equation}C_{v\rightarrow w}C_{v\rightarrow w}^{-1}=C_{v\rightarrow
w}^{-1}C_{v\rightarrow w}=I_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。任意のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\left[ x\right] _{w}=C_{v\rightarrow w}\left[ x\right] _{v}
\end{equation*}が成り立ちますが、両辺の左側から\(C_{v\rightarrow w}^{-1}\)を掛けることにより、\begin{equation*}C_{v\rightarrow w}^{-1}\left[ x\right] _{w}=C_{v\rightarrow
w}^{-1}C_{v\rightarrow w}\left[ x\right] _{v}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
C_{v\rightarrow w}^{-1}\left[ x\right] _{w}=I_{n}\left[ x\right] _{v}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left[ x\right] _{v}=C_{v\rightarrow w}^{-1}\left[ x\right] _{w}
\end{equation*}を得ます。

基底\(v,w\)および\(v\)から\(w\)への座標の変換行列\(C_{v\rightarrow w}\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left[ x\right] _{v}=C_{v\rightarrow w}^{-1}\left[ x\right] _{w}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。ベクトル\(x\)の座標の基底\(w\)を基底\(v\)へ戻すためには、左側から\(v\)から\(w\)への変換行列\(C_{v\rightarrow w}\)の逆行列\(C_{v\rightarrow w}^{-1}\)を掛ければよいということです。つまり、\(v\)から\(w\)への変換行列\(C_{v\rightarrow w}\)の逆行列\(C_{v\rightarrow w}^{-1}\)は\(w\)から\(v\)への変換行列であるため、\begin{equation*}C_{v\rightarrow w}^{-1}=C_{w\rightarrow v}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。