基底の変換（基底の変換行列）
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における2つの基底\begin{eqnarray*}v &=&\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \\
w &=&\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right\}
\end{eqnarray*}が与えられている状況を想定します。基底の定義より\(\mathbb{R} ^{n}\)は基底\(w\)によって張られているため、もう一方の基底\(v\)の要素であるそれぞれの基底ベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\)は基底\(w\)の基底ベクトル\(\boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\)の何らかの線型結合として表現されます。つまり、\begin{gather*}\exists a_{11},\cdots ,a_{1n}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{w}_{1}=a_{11}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots +a_{1n}\boldsymbol{v}_{n}
\\
\vdots \\
\exists a_{n1},\cdots ,a_{nn}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{w}_{n}=a_{n1}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots +a_{nn}\boldsymbol{v}_{n}
\end{gather*}が成り立つということです。これをベクトル方程式として表現すると、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{w}_{1} \\
\vdots \\
\boldsymbol{w}_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{w}_{1}=a_{11}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots +a_{1n}\boldsymbol{v}_{n}
\\
\vdots \\
\boldsymbol{w}_{n}=a_{n1}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots +a_{nn}\boldsymbol{v}_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}となりますが、行列積の定義より、さらにこれを行列方程式として表現すると、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{w}_{1} \\
\vdots \\
\boldsymbol{w}_{n}\end{array}\right) =\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{v}_{1} \\
\vdots \\
\boldsymbol{v}_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。結果を行ベクトルとして表現するために両辺を転置すると、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{w}_{1} \\
\vdots \\
\boldsymbol{w}_{n}\end{array}\right) ^{t}=\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{v}_{1} \\
\vdots \\
\boldsymbol{v}_{n}\end{array}\right) ^{t}\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}^{t}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right) =\left(
\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right)
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{n1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\end{equation*}を得ます。右辺に登場する正方行列を、\begin{equation*}
P_{v\rightarrow w}=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{n1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\in M_{n,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}で表記し、これを基底\(v\)から基底\(w\)への基底の変換行列（basis transition matrix）と呼びます。
2つの基底\(v,w\)が与えられたとき、両者の間には以下の関係\begin{equation*}\left( \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right) =\left(
\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right) P_{v\rightarrow w}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。基底\(v\)を基底\(w\)へ変換するためには右側から\(v\)から\(w\)への変換行列\(P_{v\rightarrow w}\)を掛ければよいということです。
上の議論において基底\(v\)が標準基底\(e=\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)である場合には、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right) =\left(
\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right) P_{e\rightarrow w}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right)
=I_{n}P_{e\rightarrow w}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
P_{e\rightarrow w}=\left( \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right)
\end{equation*}を得ます。つまり、標準基底\(e\)から基底\(w\)への変換行列\(P_{e\rightarrow w}\)は\(w\)の基底ベクトルを成分として持つ正方行列と一致します。
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \\
v &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。\(e\)から\(v\)への基底の変換行列は、\begin{equation*}P_{e\rightarrow v}=\left( \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\right) =\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}です。実際、\begin{eqnarray*}
\left( \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\right) P_{e\rightarrow v} &=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 0\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 0\end{pmatrix}
\\
&=&\left( \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\right)
\end{eqnarray*}であり、\(P_{e\rightarrow v}\)は\(e\)を\(v\)へ変換することに成功しています。
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \right\} \\
w &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
3\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2 \\
5\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。\(v\)から\(w\)への基底の変換行列を求めます。具体的には、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{w}_{1} &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
3\end{array}\right) \quad \because w\text{の定義} \\
&=&3\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) +2\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \\
&=&3\boldsymbol{v}_{1}+2\boldsymbol{v}_{2}\quad \because v\text{の定義}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{w}_{2} &=&\left(
\begin{array}{c}
2 \\
5\end{array}\right) \quad \because w\text{の定義} \\
&=&5\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) +3\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \\
&=&5\boldsymbol{v}_{1}+3\boldsymbol{v}_{2}\quad \because v\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{w}_{1} \\
\boldsymbol{w}_{2}\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
3\boldsymbol{v}_{1}+2\boldsymbol{v}_{2} \\
5\boldsymbol{v}_{1}+3\boldsymbol{v}_{2}\end{array}\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
5 & 3\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
\boldsymbol{v}_{1} \\
\boldsymbol{v}_{2}\end{array}\right) \quad \because \text{行列積の定義}
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
P_{v\rightarrow w} &=&\begin{pmatrix}
3 & 2 \\
5 & 3\end{pmatrix}^{t} \\
&=&\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
2 & 3\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を得ます。実際、\begin{eqnarray*}
\left( \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\right) P_{v\rightarrow w} &=&\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
2 & 3\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 5\end{pmatrix}
\\
&=&\left( \boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2}\right)
\end{eqnarray*}であり、\(P_{v\rightarrow w}\)は\(v\)を\(w\)へ変換することに成功しています。
基底の逆変換（基底の変換行列の逆行列）
基底の変換行列は正則行列です。
w &=&\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right\}
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、\(v\)から\(w\)への基底の変換行列\(P_{v\rightarrow w}\)は正則行列である。
上の命題より、基底\(v\)から基底\(w\)への基底の変換行列\(P_{v\rightarrow w}\)は正則であることが明らかになりました。したがって、その逆行列\(P_{v\rightarrow w}^{-1}\)が存在し、\begin{equation}P_{v\rightarrow w}P_{v\rightarrow w}^{-1}=P_{v\rightarrow
w}^{-1}P_{v\rightarrow w}=I_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。先に\(v\)から\(w\)への基底の変換行列\(P_{v\rightarrow w}\)を、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right) =\left(
\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right) P_{v\rightarrow w}
\end{equation*}を満たす正方行列として定義したため、両辺の右側から\(P_{v\rightarrow w}^{-1}\)を掛けることにより、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right) P_{v\rightarrow
w}^{-1}=\left( \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right)
P_{v\rightarrow w}P_{v\rightarrow w}^{-1}
\end{equation*}を得ますが、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right) P_{v\rightarrow
w}^{-1}=\left( \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right) I_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right) =\left(
\boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right) P_{v\rightarrow w}^{-1}
\end{equation*}を得ます。
基底\(v,w\)および\(v\)から\(w\)への基底の変換行列\(P_{v\rightarrow w}\)が与えられたとき、\(P_{v\rightarrow w}\)は正則であるとともに、その逆行列\(P_{v\rightarrow w}^{-1}\)は以下の条件\begin{equation*}\left( \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right) =\left(
\boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right) P_{v\rightarrow w}^{-1}
\end{equation*}を満たすことが明らかになりました。基底\(w\)を基底\(v\)へ戻すためには、右側から\(v\)から\(w\)への変換行列\(P_{v\rightarrow w}\)の逆行列\(P_{v\rightarrow w}^{-1}\)を掛ければよいということです。つまり、\(v\)から\(w\)への変換行列\(P_{v\rightarrow w}\)の逆行列\(P_{v\rightarrow w}^{-1}\)は\(w\)から\(v\)への変換行列であるため、以下の関係\begin{equation*}P_{v\rightarrow w}^{-1}=P_{w\rightarrow v}
\end{equation*}が成り立ちます。
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \\
v &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。先に明らかにしたように、\begin{equation*}
P_{e\rightarrow v}=\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}です。先の命題より\(P_{e\rightarrow v}\)は正則であるため逆行列が存在します。\(P_{e\rightarrow v}\)の逆行列を特定するためにガウス・ジョルダンの消去法を利用すると、\begin{eqnarray*}\left( P_{e\rightarrow v},I_{2}\right) &=&\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(v\)から\(e\)への基底の変換行列は、\begin{equation*}P_{v\rightarrow e}=P_{e\rightarrow v}^{-1}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}であることが明らかになりました。実際、\begin{eqnarray*}
\left( \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\right) P_{v\rightarrow e} &=&\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 1\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}
\\
&=&\left( \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\right)
\end{eqnarray*}が成立するため、\(P_{v\rightarrow e}\)は\(v\)を\(e\)へ変換することに成功しています。
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \right\} \\
w &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
3\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2 \\
5\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。先に明らかにしたように、\begin{equation*}
P_{v\rightarrow w}=\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
2 & 3\end{pmatrix}\end{equation*}です。先の命題より\(P_{v\rightarrow w}\)は正則であるため逆行列が存在します。\(P_{v\rightarrow w}\)の逆行列を特定するためにガウス・ジョルダンの消去法を利用すると、\begin{eqnarray*}\left( P_{v\rightarrow w},I_{2}\right) &=&\begin{pmatrix}
3 & 5 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 0 & 1\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & -3 & 5 \\
0 & 1 & 2 & -3\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(w\)から\(v\)への基底の変換行列は、\begin{equation*}P_{w\rightarrow v}=P_{v\rightarrow w}^{-1}=\begin{pmatrix}
-3 & 5 \\
2 & -3\end{pmatrix}\end{equation*}であることが明らかになりました。実際、\begin{eqnarray*}
\left( \boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2}\right) P_{w\rightarrow v} &=&\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-3 & 5 \\
2 & -3\end{pmatrix}
\\
&=&\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 0\end{pmatrix}
\\
&=&\left( \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\right)
\end{eqnarray*}が成立するため、\(P_{w\rightarrow v}\)は\(w\)を\(v\)へ変換することに成功しています。
座標ベクトルの変換（座標の変換行列）
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において基底\(v=\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)を採用した場合、ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)の座標ベクトルは以下の条件\begin{equation}\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots +a_{n}\boldsymbol{v}_{n}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されます。このとき、\begin{eqnarray*}
\left( \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right) \left[
\boldsymbol{x}\right] _{v} &=&\left( \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right) \left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&a_{1}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots +a_{n}\boldsymbol{v}_{n} \\
&=&\boldsymbol{x}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=\left( \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right) \left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。
特に、標準基底\(e=\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)を採用する場合、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)について以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\cdots +x_{n}\boldsymbol{e}_{n}
\end{equation*}が成り立つため、\(e\)のもとでの\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{e}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\boldsymbol{x}
\end{equation*}となり、これは\(\boldsymbol{x}\)自身と一致します。
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}が与えられたとき、標準基底\begin{equation*}
e=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}のもとでの\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{e}=\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}となります。一方、以下の基底\begin{equation*}
v=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}のもとでの\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトルは、以下の条件\begin{equation*}\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{v}_{1}+a_{2}\boldsymbol{v}_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) =a_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) +a_{2}\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラー\(a_{1},a_{2}\)を成分とするベクトル\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}です。\(\left( 1\right) \)を解くと\(a_{1}=1\)かつ\(a_{2}=0\)を得るため、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。同一のベクトル\(\boldsymbol{x}\)を対象としていても、採用する基底が変われば座標ベクトルも変化するということです。
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における2つの基底\begin{eqnarray*}v &=&\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \\
w &=&\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right\}
\end{eqnarray*}が与えられている状況を想定します。ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。基底の定義より\(\mathbb{R} ^{n}\)は基底\(v\)によって張られているため、\(\boldsymbol{x}\)は\(v\)の基底ベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\)何らかの線型結合として表現されます。つまり、\begin{equation}\exists a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots +a_{n}\boldsymbol{v}_{n}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。座標ベクトルの定義より、このとき、\begin{equation}
\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。一方、基底\(w\)のもとでの\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトルは、\begin{eqnarray*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{w} &=&\left[ a_{1}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots
+a_{n}\boldsymbol{v}_{n}\right] _{w}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\left[ a_{1}\boldsymbol{v}_{1}\right] _{w}+\cdots +\left[ a_{n}\boldsymbol{v}_{n}\right] _{w}\quad \because \text{ベクトル和の座標} \\
&=&a_{1}\left[ \boldsymbol{v}_{1}\right] _{w}+\cdots +a_{n}\left[
\boldsymbol{v}_{n}\right] _{w}\quad \because \text{ベクトルのスカラー倍の座標} \\
&=&\left( \left[ \boldsymbol{v}_{1}\right] _{w},\cdots ,\left[ \boldsymbol{v}_{n}\right] _{w}\right) \left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right) \\
&=&\left( \left[ \boldsymbol{v}_{1}\right] _{w},\cdots ,\left[ \boldsymbol{v}_{n}\right] _{w}\right) \left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}\quad \because
\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left[ \boldsymbol{x}\right] _{w}=\left( \left[ \boldsymbol{v}_{1}\right]
_{w},\cdots ,\left[ \boldsymbol{v}_{n}\right] _{w}\right) \left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}
\end{equation*}を得ます。右辺に登場する正方行列を、\begin{equation*}
C_{v\rightarrow w}=\left( \left[ \boldsymbol{v}_{1}\right] _{w},\cdots ,\left[ \boldsymbol{v}_{n}\right] _{w}\right)
\end{equation*}で表記し、これを基底\(v\)から基底\(w\)への座標の変換行列（coordinate transition matrix）と呼びます。
ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の基底\(v\)のもとでの座標ベクトルを基底\(w\)のもとでの座標ベクトルへ変換するためには左側から\(v\)から\(w\)への座標の変換行列\(C_{v\rightarrow w}\)を掛ければよいということです。
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における基底\begin{eqnarray*}v &=&\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \\
w &=&\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right\}
\end{eqnarray*}を任意に選ぶ。その上で、\begin{equation*}
C_{v\rightarrow w}=\left( \left[ \boldsymbol{v}_{1}\right] _{w},\cdots ,\left[ \boldsymbol{v}_{n}\right] _{w}\right)
\end{equation*}と定義する。このとき、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{w}=C_{v\rightarrow w}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題において変換元の基底\(v\)が標準基底\(e\)である場合には、\(e\)から\(w\)への座標の変換行列が、\begin{equation*}C_{e\rightarrow w}=\left( \left[ \boldsymbol{e}_{1}\right] _{w},\cdots ,\left[ \boldsymbol{e}_{n}\right] _{w}\right)
\end{equation*}として得られます。このとき、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{w}=C_{e\rightarrow w}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{e}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left[ \boldsymbol{x}\right] _{w}=C_{e\rightarrow w}\boldsymbol{x}
\end{equation*}が成り立ちます。
上の命題において変換先の基底\(w\)が標準基底\(e\)である場合には、\(v\)から\(e\)への座標の変換行列が、\begin{eqnarray*}C_{v\rightarrow e} &=&\left( \left[ \boldsymbol{v}_{1}\right] _{e},\cdots ,\left[ \boldsymbol{v}_{n}\right] _{e}\right) \\
&=&\left( \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right)
\end{eqnarray*}として得られます。このとき、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{e}=C_{v\rightarrow e}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=C_{v\rightarrow e}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}
\end{equation*}が成り立ちます。
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \\
v &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。\(e\)から\(v\)への座標の変換行列\(C_{e\rightarrow v}\)を求めます。具体的には、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{e}_{1} &=&0\boldsymbol{v}_{1}+\left( -1\right) \boldsymbol{v}_{2}
\\
\boldsymbol{e}_{2} &=&1\boldsymbol{v}_{1}+1\boldsymbol{v}_{2}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\left[ \boldsymbol{e}_{1}\right] _{v} &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
-1\end{array}\right) \\
\left[ \boldsymbol{e}_{2}\right] _{v} &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
C_{e\rightarrow v} &=&\left( \left[ \boldsymbol{e}_{1}\right] _{v},\left[
\boldsymbol{e}_{2}\right] _{v}\right) \\
&=&\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}となります。以下のベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}の基底\(e\)のもとでの座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{e}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}である一方、基底\(v\)のもとでの座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、\begin{eqnarray*}
C_{e\rightarrow v}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{e} &=&\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 1\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}
\end{eqnarray*}であるため、\(C_{e\rightarrow v}\)は\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトルの基底を\(e\)から\(v\)へ変換することに成功しています。
基底の変換行列と座標の変換行列の関係
基底の変換行列と座標の変換行列の間には以下の関係が成り立ちます。
w &=&\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right\}
\end{eqnarray*}を任意に選ぶ。このとき、\begin{equation*}
P_{v\rightarrow w}=C_{w\rightarrow v}
\end{equation*}が成り立つ。
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \\
v &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。先に示したように、\(v\)から\(e \)への基底の変換行列は、\begin{equation*}P_{v\rightarrow e}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}であり、\(e\)から\(v\)への座標の変換行列は、\begin{equation*}C_{e\rightarrow v}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
P_{v\rightarrow e}=C_{e\rightarrow v}
\end{equation*}が成立しています。この結果は先の命題の主張と整合的です。
座標の逆変換（座標の変換行列の逆行列）
座標の変換行列は正則行列です。
w &=&\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\cdots ,\boldsymbol{w}_{n}\right\}
\end{eqnarray*}を任意に選んだとき、\(v\)から\(w\)への座標の変換行列\(C_{v\rightarrow w}\)は正則行列である。
上の命題より、基底\(v\)から基底\(w\)への座標の変換行列\(C_{v\rightarrow w}\)は正則であることが明らかになりました。したがって、その逆行列\(C_{v\rightarrow w}^{-1}\)が存在し、\begin{equation*}C_{v\rightarrow w}C_{v\rightarrow w}^{-1}=C_{v\rightarrow
w}^{-1}C_{v\rightarrow w}=I_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{w}=C_{v\rightarrow w}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}
\end{equation*}が成り立ちますが、両辺の左側から\(C_{v\rightarrow w}^{-1}\)を掛けることにより、\begin{equation*}C_{v\rightarrow w}^{-1}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{w}=C_{v\rightarrow
w}^{-1}C_{v\rightarrow w}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
C_{v\rightarrow w}^{-1}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{w}=I_{n}\left[
\boldsymbol{x}\right] _{v}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}=C_{v\rightarrow w}^{-1}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{w}
\end{equation*}を得ます。
基底\(v,w\)および\(v\)から\(w\)への座標の変換行列\(C_{v\rightarrow w}\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}=C_{v\rightarrow w}^{-1}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{w}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の座標の基底\(w\)を基底\(v\)へ戻すためには、左側から\(v\)から\(w\)への変換行列\(C_{v\rightarrow w}\)の逆行列\(C_{v\rightarrow w}^{-1}\)を掛ければよいということです。つまり、\(v\)から\(w\)への変換行列\(C_{v\rightarrow w}\)の逆行列\(C_{v\rightarrow w}^{-1}\)は\(w\)から\(v\)への変換行列であるため、以下の関係\begin{equation*}C_{v\rightarrow w}^{-1}=C_{w\rightarrow v}
\end{equation*}が成り立ちます。
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \\
v &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。先に明らかにしたように、\begin{equation*}
C_{e\rightarrow v}=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}です。先の命題より\(C_{e\rightarrow v}\)は正則であるため逆行列が存在します。\(C_{e\rightarrow v}\)の逆行列を特定するためにガウス・ジョルダンの消去法を利用すると、\begin{eqnarray*}\left( C_{e\rightarrow v},I_{2}\right) &=&\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}
\\
&\rightarrow &\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\end{eqnarray*}を得ます。したがって、\(v\)から\(e\)への座標の変換行列は、\begin{equation*}C_{v\rightarrow e}=C_{e\rightarrow v}^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 0\end{pmatrix}\end{equation*}であることが明らかになりました。以下のベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}の基底\(e\)のもとでの座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{e}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}である一方、基底\(v\)のもとでの座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、\begin{eqnarray*}
C_{v\rightarrow e}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v} &=&\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 0\end{pmatrix}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left[ \boldsymbol{x}\right] _{e}
\end{eqnarray*}であるため、\(C_{v\rightarrow e}\)は\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトルの基底を\(v\)から\(e\)へ変換することに成功しています。
演習問題
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \\
v &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
3\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
2 \\
5\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- \(e\)から\(v\)への基底の変換行列\(P_{e\rightarrow v}\)を求めてください。
- \(v\)から\(e\)への基底の変換行列\(P_{v\rightarrow e}\)を求めてください。
- 任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}=P_{e\rightarrow v}^{-1}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{e}\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\} \\
v &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。
- \(e\)から\(v\)への基底の変換行列\(P_{e\rightarrow v}\)を求めてください。
- \(v\)から\(e\)への基底の変換行列\(P_{v\rightarrow e}\)を求めてください。
- 任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{v}=P_{e\rightarrow v}^{-1}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{e}\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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