部分空間を張るベクトル集合
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の部分空間\(X\subset V\)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in K,\ \forall x\in X:ax\in X
\end{eqnarray*}をすべて満たすということです。部分空間\(X\)の要素である有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトル\begin{equation*}x_{1},\cdots ,x_{m}\in X
\end{equation*}が与えられたとき、これらの線型結合とは、何らかのスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)を用いて、\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in X
\end{equation*}という形で表されるベクトルです。\(\left( b\right),\left( c\right) \)より、部分空間\(X\)上のベクトルの線型結合は必ず\(X\)の要素になることに注意してください。
部分空間上のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{n}\in X\)の線型結合\(a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}\)がどのようなベクトルになるかはスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)の選び方に依存します。したがって、ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の線型結合をすべて集めることにより得られる集合は、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right) =\left\{
a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}\in X\ |\ a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\right\}
\end{equation*}となります。これをベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)の線型スパンと呼びます。明らかに、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right) \subset X
\end{equation*}が成り立ちます。
部分空間上のベクトル\(x\in X\)が与えられたとき、それを部分空間上のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in X\)の何らかの線型結合として表現できるならば、すなわち、\begin{equation*}\exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in K:x=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル\(x\)はベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)上で線型従属であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}x\in \mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となります。
部分空間上のベクトル\(x\in X\)が与えられたとき、それを部分空間上のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in X\)のいかなる線型結合としても表現できないならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a_{1},\cdots ,a_{m}\in K:x\not=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル\(x\)はベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)上で線型独立であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}x\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となります。
部分空間上に存在する複数かつ有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset X
\end{equation*}が与えられたとき、この中の少なくとも1つのベクトルが他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表される場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \exists a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in K:\boldsymbol{x}_{i}=a_{1}x_{1}+\cdots
+a_{i-1}x_{i-1}+a_{i+1}x_{i+1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)は線型従属であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :x_{i}\in \mathrm{span}\left(
\left\{ x_{1},\cdots ,x_{i-1},x_{i+1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となります。変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)に関する方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}=0
\end{equation*}に対して、以下の条件\begin{equation*}
\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}\not=0
\end{equation*}を満たす解\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)が存在することは、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が線型従属であるための必要十分条件です。なお、ゼロベクトルだけからなる集合\begin{equation*}\left\{ 0\right\} \subset X
\end{equation*}は線型従属であるものとみなします。
部分空間上に存在する複数かつ有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset X
\end{equation*}が与えられたとき、この中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できない場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \forall a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in K:x_{i}\not=a_{1}x_{1}+\cdots
+a_{i-1}x_{i-1}+a_{i+1}x_{i+1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)は線型独立であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :x_{i}\not\in \mathrm{span}\left(
\left\{ x_{1},\cdots ,x_{i-1},x_{i+1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となります。変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)に関する方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}=0
\end{equation*}の解が、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}=0
\end{equation*}を満たす\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)だけであることは、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が線型独立であるための必要十分条件です。なお、非ゼロベクトル\(x\in X\backslash \left\{ 0\right\} \)だけからなる集合\begin{equation*}\left\{ x\right\} \subset X
\end{equation*}は線型独立であるものとみなします。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の部分空間\(X\)が与えられたとき、それに対して部分空間上のベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset X\)が存在して、\(X\)の要素であるすべてのベクトルが\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)上で線型従属であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in X:x\in \mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\}
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
X\subset \mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、ベクトル集合\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)は集合\(X\)を張ると言います。ただし、以下の関係\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right) \subset X
\end{equation*}は常に成り立つため、\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が\(X\)を張ることと、\begin{equation*}X=\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルです。\(L\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。この直線\(L\)上のベクトル\(\boldsymbol{x}\in L\)を任意に選んだとき、\(L\)の定義より、\begin{equation*}\exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=t\boldsymbol{v}
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v}\right\}
\right)
\end{equation*}であることを意味します。したがって、\begin{equation*}
L\subset \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v}\right\} \right)
\end{equation*}を得ます。さらに、\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{v}\right\} \subset L
\end{equation*}であるため、\(L\)はベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}によって張られることが明らかになりました。また、\(\boldsymbol{v}\)は非ゼロベクトルであるため\(\left\{ \boldsymbol{v}\right\} \)は線型独立です。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)は平面\(P\)の方向ベクトルです。\(P\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。この平面\(P\)上のベクトル\(\boldsymbol{x}\in P\)を任意に選んだとき、\(P\)の定義より、\begin{equation*}\exists s,t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=s\boldsymbol{v}+t\boldsymbol{w}
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の事実は、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\} \right)
\end{equation*}であることを意味します。したがって、\begin{equation*}
P\subset \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\}
\right)
\end{equation*}を得ます。さらに、\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\} \subset P
\end{equation*}であるため、\(P\)はベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\}
\end{equation*}によって張られることが明らかになりました。また、\(\left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\} \)は線型独立です。
&=&\left\{
\begin{pmatrix}
a & b \\
b & c\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ a,b,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。\(S_{2}\)は\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間です。対称行列\(A\in S_{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}A &=&\begin{pmatrix}
a & b \\
b & c\end{pmatrix}\quad \because A\in S_{2} \\
&=&a\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\end{eqnarray*}が成り立ちますが、以上の事実は、\begin{equation*}
A\in \mathrm{span}\left( \left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right\} \right)
\end{equation*}であることを意味します。したがって、\begin{equation*}
S_{2}\subset \mathrm{span}\left( \left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right\} \right)
\end{equation*}を得ます。さらに、\begin{equation*}
\left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right\} \subset S_{2}
\end{equation*}であるため、\(S_{2}\)は行列集合\begin{equation*}\left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right\}
\end{equation*}によって張られることが明らかになりました。また、この行列集合は線型独立です（演習問題）。
\end{equation*}です。\(P\)上に存在する次数が\(2\)以下の多項式関数からなる集合を、\begin{equation*}P_{2}=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は}2\text{次以下の多項式関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(P_{2}\)は\(P\)の部分空間です。多項式関数\(f\in P_{2}\)を任意に選んだとき、何らかのスカラー\(a_{0},a_{1},a_{2}\in \mathbb{R} \)に関して、\begin{eqnarray*}f &=&a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\quad \because f\in P_{2} \\
&=&a_{0}\left( 1\right) +a_{1}\left( x\right) +a_{2}\left( x^{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、以上の事実は、\begin{equation*}
f\in \mathrm{span}\left( \left\{ 1,x,x^{2}\right\} \right)
\end{equation*}であることを意味します。したがって、\begin{equation*}
P_{2}\subset \mathrm{span}\left( \left\{ 1,x,x^{2}\right\} \right)
\end{equation*}を得ます。さらに、\begin{equation*}
\left\{ 1,x,x^{2}\right\} \subset P_{2}
\end{equation*}であるため、\(P_{2}\)は関数集合\begin{equation*}\left\{ 1,x,x^{2}\right\}
\end{equation*}によって張られることが明らかになりました。また、この関数集合は線型独立です（演習問題）。
部分空間を張るベクトル集合は一意的に定まるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルです。\(L\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。先に示したように、以下のベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}は\(L\)を張るとともに線型独立です。加えて、非ゼロのスカラー\(t\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、以下のベクトル集合\begin{equation*}\left\{ t\boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}もまた\(L\)を張る線型独立なベクトル集合です。非ゼロのスカラー\(t\)は無数に存在し、それぞれについて同様の議論が成立するため、\(L\)を張るベクトル集合が無数に存在することが明らかになりました。
部分空間を張るベクトル集合は線型独立であるものに限定されません。以下は線型従属なベクトル集合の例です。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルです。\(L\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。先に示したように、以下のベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}は\(L\)を張るとともに線型独立です。加えて、以下のベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v},2\boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}もまた\(L\)を張りますが、\begin{equation*}\exists 2\in \mathbb{R} :2\boldsymbol{v}=2\left( \boldsymbol{v}\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\left\{ \boldsymbol{v},2\boldsymbol{v}\right\} \)は線型従属です。
部分空間の基底
先に例を通じて確認したように、ベクトル空間\(V\)の部分空間\(X\)を張るベクトル集合の中には線型独立であるものと、線型従属であるものの双方のパターンが存在することが明らかになりました。そこで、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \subset X\)が\(X\)を張るとともに線型独立である場合、\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)を\(X\)の基底（basis）と呼びます。\(X\)の基底\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)の要素である個々のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)を\(X\)の基底ベクトル（basis vector）と呼びます。
改めて整理すると、ベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \subset V\)が部分空間\(X\subset V\)の基底であることとは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset X \\
&&\left( b\right) \ X=\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots
,x_{m}\right\} \right) \\
&&\left( c\right) \ \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。条件\(\left( a\right) \)は、基底ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)がいずれも部分空間\(X\)の要素であることを意味し、条件\(\left( b\right) \)は、基底\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が部分空間\(X\)を張ること、すなわち、\(X\)上に存在するベクトルはいずれも基底ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合としてそれぞれ表現できることを意味します。条件\(\left( c\right) \)は、基底\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)の中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できないことを意味します。
部分空間\(X\)を張るベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset X\)が線型従属である場合には、\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)は\(X\)の基底ではないことに注意してください。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルです。\(L\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。先に示したように、\(L\)はベクトル集合\begin{equation}\left\{ \boldsymbol{v}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}によって張られるとともに、\(\left( 1\right) \)は線型独立です。したがって、\(\left( 1\right) \)は\(L\)の基底です。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)は平面\(P\)の方向ベクトルです。\(P\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。先に示したように、\(P\)はベクトル集合\begin{equation}\left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}によって張られるとともに、\(\left( 1\right) \)は線型独立です。したがって、\(\left( 1\right) \)は\(P\)の基底です。
&=&\left\{
\begin{pmatrix}
a & b \\
b & c\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ a,b,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。\(S_{2}\)は\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間です。先に示したように、\(S_{2}\)は行列集合\begin{equation}\left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}によって張られるとともに、\(\left( 1\right) \)は線型独立です。したがって、\(\left( 1\right) \)は\(S_{2}\)の基底です。
\end{equation*}です。\(P\)上に存在する次数が\(2\)以下の多項式関数からなる集合を、\begin{equation*}P_{2}=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は}2\text{次以下の多項式関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(P_{2}\)は\(P\)の部分空間です。先に示したように、\(P_{2}\)は関数集合\begin{equation}\left\{ 1,x,x^{2}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}によって張られるとともに、\(\left( 1\right) \)は線型独立です。したがって、\(\left( 1\right) \)は\(P_{2}\)の基底です。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルです。\(L\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。先に示したように、\(L\)は非ゼロのスカラー\(t\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)から定義されるベクトル集合\begin{equation}\left\{ t\boldsymbol{v}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}によって張られるとともに、\(\left( 1\right) \)は線型独立です。したがって、\(\left( 1\right) \)は\(L\)の基底です。非ゼロのスカラー\(t\)は無数に存在し、それぞれについて同様の議論が成立するため、\(L\)の基底が無数に存在することが明らかになりました。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルです。\(L\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。先に示したように、\(L\)はベクトル集合\begin{equation}\left\{ \boldsymbol{v},2\boldsymbol{v}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}によって張られる一方で、\(\left( 1\right) \)は線型従属です。したがって\(\left\{ \boldsymbol{v},2\boldsymbol{v}\right\} \)は\(L\)の基底ではありません。ベクトル集合が基底であるためには線型独立である必要があるからです。
部分空間の基底に含まれる要素の個数
先に例を通じて確認したように、部分空間\(X\subset V\)を張る線型独立なベクトル集合、すなわち\(X\)の基底は無数に存在します。では、\(X\)の基底どうしを比べたとき、要素の個数が最も少ない基底には何個のベクトルが含まれているのでしょうか。
実は、部分空間\(X\)が有限集合であるような基底を持つ場合、つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ m\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset X \\
&&\left( c\right) \ X=\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots
,x_{m}\right\} \right) \\
&&\left( d\right) \ \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}を満たすベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset V\)が存在する場合、\(X\)の任意の基底は有限集合であるとともに、\(V\)のすべての基底に含まれるベクトルの個数は\(m\)と一致します。
以上の命題は、ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)のすべての部分空間が同じ数の基底ベクトルを持つという主張ではないことに注意してください。\(V\)の特定の部分空間\(X\)に注目した場合、\(X\)の基底は一意的に定まるとは限りませんが、\(X\)の基底はいずれも同数のベクトルを要素として持つことを上の命題は主張しています。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルです。\(L\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。先に示したように、ベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}は\(L\)の基底です。この基底には\(1\)個のベクトルが含まれているため、\(L\)の基底はいずれも\(1\)個のベクトルからなります。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)は平面\(P\)の方向ベクトルです。\(P\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。先に示したように、ベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\}
\end{equation*}は\(P\)の基底です。この基底には\(2\)個のベクトルが含まれているため、\(P\)の基底はいずれも\(2\)個のベクトルからなります。
&=&\left\{
\begin{pmatrix}
a & b \\
b & c\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ a,b,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。\(S_{2}\)は\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間です。先に示したように、行列集合\begin{equation*}\left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right\}
\end{equation*}は\(S_{2}\)の基底です。この基底には\(3\)個の行列が含まれているため、\(S_{2}\)の基底はいずれも\(3\)個の行列からなります。
\end{equation*}です。\(P\)上に存在する次数が\(2\)以下の多項式関数からなる集合を、\begin{equation*}P_{2}=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は}2\text{次以下の多項式関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(P_{2}\)は\(P\)の部分空間です。先に示したように、関数集合\begin{equation*}\left\{ 1,x,x^{2}\right\}
\end{equation*}は\(P_{2}\)の基底です。この基底には\(3\)個の関数が含まれているため、\(P_{2}\)の基底はいずれも\(3\)個の関数からなります。
特定の部分空間\(X\subset V\)に注目した場合、その基底はいずれも同数のベクトルを要素として持つことが明らかになりました。つまり、部分空間\(X\)の基底に\(m\)個のベクトルが含まれている場合、線型独立なベクトルだけを使って\(X\)上のすべてのベクトルを表現するためには\(m\)個ちょうどのベクトルが必要です。言い換えると、\(m\)個よりも少ないベクトルしか与えられておらず、なおかつそれらが線型独立である場合、それらのベクトルをいかなる形で線型結合しても、\(X\)上のすべてのベクトルを表現し尽くすことはできません。
部分空間\(X\subset V\)の基底に含まれる要素の個数が\(m\)であり、なおかつ\(X\)を張るベクトル集合が\(m\)個よりも多い要素を持つ場合、そのベクトル集合は線型従属であることが確定します。なぜなら、そのベクトル集合が線型独立であるものと仮定すると、要素の個数が\(m\)よりも大きい\(X\)の基底が存在することとなり、それは先の命題と矛盾するからです。
,y_{p}\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ p>m
\end{eqnarray*}をともに満たす任意のベクトル集合\(\left\{y_{1},\cdots ,y_{p}\right\} \subset X\)は線型従属である。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルです。\(L\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。先に示したように、以下のベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}は\(L\)の基底です。さて、以下のベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v},2\boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}もまた\(L\)を張りますが、\(\left\{ \boldsymbol{v},2\boldsymbol{v}\right\} \)の要素の個数\(2\)は基底\(\left\{ \boldsymbol{v}\right\} \)の要素の個数\(1\)の個数よりも多いため、先の命題より、\(\left\{ \boldsymbol{v},2\boldsymbol{v}\right\} \)は線型従属であるはずです。実際、先に示したように\(\left\{ \boldsymbol{v},2\boldsymbol{v}\right\} \)は線型従属であり、この事実は先の命題の主張と整合的です。
特定の部分空間\(X\subset V\)に注目した場合、その基底はいずれも同数のベクトルを要素として持つことが明らかになりました。部分空間\(X\)の基底に含まれる要素の個数が\(m\)である状況において、逆に、\(X\)から線型独立な\(m\)個のベクトルを任意に選ぶと、それらの集合は\(X\)の基底になることが保証されます。
\end{equation*}が成り立つ。したがって\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)は\(X\)の基底である。
部分空間の次元
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の部分空間\(X\)を張るために必要なベクトルの個数の最小値を\(X\)の次元（dimension）と呼び、それを、\begin{equation*}\dim X
\end{equation*}で表記します。
先に明らかにしたように、ベクトル空間\(V\)の部分空間\(X\)が有限\(m\)個の要素からなる基底を持つ場合、\(X\)の基底はいずれも\(m\)個の要素からなる集合であるため、\(X\)を張るために必要な「線型独立」なベクトルの個数の最小値は\(m\)です。では、線型従属なベクトルを考察対象に含めた場合にはどうなるでしょうか。つまり、部分空間\(X\)を張る線型従属なベクトル集合の中には、要素の個数が\(m\)よりも少ないものが存在するのでしょうか。存在しません。
\end{equation*}を満たす線型従属なベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ y_{1},\cdots ,y_{n}\right\} \subset X
\end{equation*}を任意に選んだとき、\begin{equation*}
n>m
\end{equation*}が成り立つ。
繰り返しになりますが、ベクトル空間\(V\)の部分空間\(X\)が有限\(m\)個の要素からなる基底を持つ場合、\(X\)を張るために必要な「線型独立」なベクトルの個数の最小値は\(m\)です。さらに、上の命題より、\(X\)を張るために必要な「線型従属」なベクトルの個数の最小値は\(m\)を上回ります。したがって、\(X\)を張るために必要なベクトルの個数の最小値、すなわち\(X\)の次元は\(m\)であることが明らかになりました。
\end{equation*}が成り立つ。
ベクトル空間\(V\)の部分空間\(X\)の次元が\(m\)であることは、\(X\)を張るために必要なベクトルの個数の最小値が\(m\)であることを意味します。つまり、\(m\)個のベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)を\(X\)から適切に選べば、\(X\)上の任意のベクトルはいずれも\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合として表現可能です。
加えて、それらのベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\in X\)からなるベクトル集合\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)が線型独立であることが確定しています。つまり、\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)は\(X\)の基底であるということです。なぜなら、線型従属なベクトルによって\(X\)を張ろうとすると、必要なベクトルの個数は必ず\(m\)を超えてしまうからです。加えて、\(X\)の基底はいずれも\(m\)個の要素を持つため、\(X\)の次元\(m\)は\(X\)の基底に含まれるベクトルの個数でもあります。また、\(X\)上に存在する\(m\)個のベクトルからなる線型独立なベクトル集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)を構成すると、これは\(X\)の基底になることが確定しています。\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)とは異なるベクトル\(v\)を\(X\)から任意に選んでベクトル集合\(\left\{ v,x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)を構成すると、これは線型従属になってしまいます。したがって、\(X\)の次元\(m\)は\(X\)において選ぶことができる線型独立なベクトルの個数の最大値でもあります。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の部分空間\(X\)の次元が有限な非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)として定まる場合、すなわち、\(X\)から最大で有限\(m\)個の線型独立なベクトルを選ぶことができる場合、そのことを、\begin{equation*}\dim X=m
\end{equation*}で表記で表記し、この場合、部分空間\(X\)は有限次元\(n\)（finite dimension \(n\)）であるとか、\(n\)次元（\(n\) dimensional）であるなどと言います。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の部分空間\(X\)から選ぶことができる線型独立なベクトルの個数は有限に収まるとは限りません。部分空間\(X\)から無限個の線型独立なベクトルを選ぶことができる場合、そのことを、\begin{equation*}\dim X=+\infty
\end{equation*}で表記します。この場合、部分空間\(X\)は無限次元（infinite dimension）であると言います。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v}\)は直線\(L\)の方向ベクトルです。\(L\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。先に示したように、ベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}は\(L\)の基底です。この基底には\(1\)個のベクトルが含まれているため、\(L\)の基底はいずれも\(1\)個のベクトルからなります。したがって、\begin{equation*}\dim V=1
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}と表されます。ただし、\(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\)は平面\(P\)の方向ベクトルです。\(P\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間です。先に示したように、ベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right\}
\end{equation*}は\(P\)の基底です。この基底には\(2\)個のベクトルが含まれているため、\(P\)の基底はいずれも\(2\)個のベクトルからなります。したがって、\begin{equation*}\dim P=2
\end{equation*}が成り立ちます。
&=&\left\{
\begin{pmatrix}
a & b \\
b & c\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ a,b,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。\(S_{2}\)は\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間です。先に示したように、行列集合\begin{equation*}\left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right\}
\end{equation*}は\(S_{2}\)の基底です。この基底には\(3\)個の行列が含まれているため、\(S_{2}\)の基底はいずれも\(3\)個の行列からなります。したがって、\begin{equation*}\dim S_{2}=3
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}です。\(P\)上に存在する次数が\(2\)以下の多項式関数からなる集合を、\begin{equation*}P_{2}=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は}2\text{次以下の多項式関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(P_{2}\)は\(P\)の部分空間です。先に示したように、関数集合\begin{equation*}\left\{ 1,x,x^{2}\right\}
\end{equation*}は\(P_{2}\)の基底です。この基底には\(3\)個の関数が含まれているため、\(P_{2}\)の基底はいずれも\(3\)個の関数からなります。したがって、\begin{equation*}\dim P_{2}=3
\end{equation*}が成り立ちます。
ベクトル空間の次元と部分空間の次元の関係
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)が有限次元である場合、その任意の部分空間\(X\)もまた有限次元であるとともに、\(X\)の次元が\(V\)の次元を超えることはありません。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)は有限次元であるものとする。\(V\)の部分空間\(X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\dim X\leq \dim V
\end{equation*}が成り立つ。
有限なベクトル空間\(V\)の部分空間\(X\)の次元が\(V\)の次元と一致することと、\(X\)が\(V\)と一致することは必要十分です。
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)は有限次元であるものとする。\(V\)の部分空間\(X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\dim X=\dim V\Leftrightarrow X=V
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
1\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x}_{2}=\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
-2 \\
-1\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x}_{3}=\left(
\begin{array}{c}
2 \\
6 \\
-2\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{x}_{4}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
3\end{array}\right)
\end{equation*}に注目します。ベクトル集合の線型スパンは部分空間であるため、\begin{equation*}
A=\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{3},\boldsymbol{x}_{4}\right\} \right)
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。以上を踏まえた上で、以下のベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{3}\right\}
\end{equation*}が\(A\)の基底であることを示してください。その上で、\(A\)の次元を求めてください。
&=&\left\{
\begin{pmatrix}
a & b \\
b & c\end{pmatrix}\in M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \ |\ a,b,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。\(S_{2}\)は\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間です。以下の行列集合\begin{equation*}\left\{
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1\end{pmatrix}\right\}
\end{equation*}が\(S_{2}\)の基底であることを示してください。その上で、\(S_{2}\)の次元を求めてください。
\end{equation*}で表記します。\(S_{3}\)が\(M_{3,3}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分空間であることを示してください。さらに、\(S_{3}\)の基底を特定した上で、\(S_{3}\)の次元を求めてください。
\end{equation*}です。\(P\)上に存在する次数が\(2\)以下の多項式関数からなる集合を、\begin{equation*}P_{2}=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は}2\text{次以下の多項式関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(P_{2}\)は\(P\)の部分空間です。以下の関数集合\begin{equation*}\left\{ 1,x,x^{2}\right\}
\end{equation*}が\(P_{2}\)の基底であることを示してください。その上で、\(P_{2}\)の次元を求めてください。
\end{equation*}です。\(P\)上に存在する次数が\(2\)以下の多項式関数からなる集合を、\begin{equation*}P_{2}=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は}2\text{次以下の多項式関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(P_{2}\)は\(P\)の部分空間です。以下の関数集合\begin{equation*}\left\{ 1,1-x,3+4x+x^{2}\right\}
\end{equation*}が\(P_{2}\)の基底であることを示してください。その上で、\(P_{2}\)の次元を求めてください。
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