平面の定義とその表現

平面のベクトル方程式

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において平面を表現するためには、空間上にある3つの異なる点を指定すれば十分です。なぜなら、3つの異なる点が与えられれば、それらを通る平面は1つに定まるからです。ただし、3つの点が同一直線上に並んでいる場合、それらを通る平面は無数に存在するため、平面を一意的に定めるためには同一直線上には並んでいない3つの異なる点を指定する必要があります。

問題としている平面上にある2つの異なる点\(P,X\)をとります。空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の原点を\(O\)とするとき、平面上に存在する何らかの点\(Q,R\)のもとで、\begin{equation}\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PR} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成立することに注意してください（下図）。ただし、\(P,Q,R\)は同一直線上に並んでいない平面上の3つの点です。

平面上の点\(P\)を任意に選んだ上で固定します。点\(P\)の位置ベクトルを\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)とします。つまり、\begin{equation}\overrightarrow{OP}=p \quad \cdots (2)
\end{equation}です。さらに、平面上にある点\(P\)とは異なる点\(X\)を任意に選び、その位置ベクトルを\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)とします。つまり、\begin{equation}\overrightarrow{OX}=x \quad \cdots (3)
\end{equation}です。ベクトル\(\overrightarrow{PQ}\)は2つの点\(P,Q\)を通過する直線上にあるベクトルであるため、点\(P,Q\)を通過する直線と平行な非ゼロベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んで固定したとき、何らかのスカラー\(s\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}\overrightarrow{PQ}=sv \quad \cdots (4)
\end{equation}と表すことができます。ベクトル\(\overrightarrow{PR}\)は2つの点\(P,R\)を通過する直線上にあるベクトルであるため、点\(P,R\)を通過する直線と平行な非ゼロベクトル\(w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んで固定したとき、何らかのスカラー\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}\overrightarrow{PR}=tw \quad \cdots (5)
\end{equation}と表すことができます。\(\left( 1\right) \)および\(\left( 2\right),\left( 3\right) ,\left( 4\right) ,\left( 5\right) \)を踏まえると、平面上の点\(P\)の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} \)と、点\(P,Q\)を通過する直線と平行な非ゼロベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)および点\(P,R\)を通過する直線と平行な非ゼロベクトル\(w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ固定したとき、平面上のそれぞれの点\(X\)の位置ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)は、何らかのスカラー\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+sv+tw
\end{equation*}という形で表すことができます。これを平面のベクトル方程式（vector equation of a plane）と呼びます。\(v,w\)を平面の方向ベクトル（direction vectors of a plane）と呼び、\(s,t\)を媒介変数（parameter）やパラメータ（parameter）などと呼びます。ただし、同一直線上に並んでいない点\(P,Q,R\)を選ぶ状況を想定しているため、2つの方向ベクトル\(v,w\)の一方を他方のスカラー倍として表すことはできず、ゆえに、\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{R} :v\not=aw
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような条件が満たされる場合、2つの方向ベクトル\(v,w\)は線型独立（linearly independent）であると言います。

改めて整理すると、平面上にある点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)および線型独立な2つの方向ベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、平面のベクトル方程式は、媒介変数\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+sv+tw
\end{equation*}と表現されるため、平面上に存在するすべての点の位置ベクトルからなる集合は、\begin{equation*}
P\left( p,v,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\}
\end{equation*}と定まります。これを平面（plane）の定義とします。

平面の定義を踏まえると、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の関係\begin{equation*}x\in P\left( p,v,w\right) \Leftrightarrow \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、点\(x\)が平面\(P\left(p,v,w\right) \)上の点であることとベクトル方程式\(x=p+sv+tw\)の解\(s,t\)が存在することは必要十分です。逆に、以下の関係\begin{equation*}x\not\in P\left( p,v,w\right) \Leftrightarrow \forall s,t\in \mathbb{R} :x\not=p+sv+tw
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、点\(x\)が平面\(P\left( p,v,w\right) \)上の点ではないこととベクトル方程式\(x=p+sv+tw\)の解\(s,t\)が存在しないことは必要十分です。

3点を通過する平面のベクトル方程式

平面上に存在する1点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と線型独立な2つの方向ベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられるかわりに、平面上に存在する異なる3点の位置ベクトル\(p,q,r\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられた場合には、平面の方向ベクトルを、\begin{eqnarray*}q-p &\in &\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \\
r-p &\in &\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}と特定できるため、この場合の平面のベクトル方程式は、媒介変数\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+s\left( q-p\right) +t\left( r-p\right)
\end{equation*}と表現されます。\(p,q,r\)は異なる3点の位置ベクトルであるため、2つの方向ベクトル\(q-p,r-p\)はともに非ゼロベクトルになることに注意してください。また、方向ベクトルどうしは線型独立である必要があるため、3点は同一直線上に並んでいないこと、すなわち\(q-p\)と\(r-p\)は線型独立である必要があります。つまり、\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{R} :\left( q-p\right) \not=a\left( r-p\right)
\end{equation*}を満たす異なる3点を選ぶ必要があります。

改めて整理すると、平面上に存在する異なる3点の位置ベクトル\(p,q,r\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられているとともに、その3点が同一直線上に並んでいない場合には、平面のベクトル方程式は、媒介変数\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+s\left( q-p\right) +t\left( r-p\right)
\end{equation*}と表現されるため、平面は、\begin{equation*}
P\left( p,q-p,r-p\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+s\left( q-p\right) +t\left( r-p\right) \right\}
\end{equation*}と定まります。

平面の媒介変数表示

繰り返しになりますが、平面上に存在する点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と線型独立な方向ベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、平面のベクトル方程式は、媒介変数\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+sv+tw
\end{equation*}と表現されます。このベクトル方程式を成分ごとに分解して表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=p_{1}+sv_{1}+tw_{1} \\
\vdots \\
x_{n}=p_{n}+sv_{n}+tw_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}を得ます。これを平面の媒介変数表示（parametric equations of a plane）と呼びます。

空間上に存在する平面の方程式の法線標準形

これまでは一般の空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面について考えてきましたが、ここでは空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面に話の対象を限定します。

平面上の点\(P\)を任意に選んだ上で固定します。点\(P\)の位置ベクトルを\(p\in \mathbb{R} ^{3}\)とします。つまり、\begin{equation}\overrightarrow{OP}=p \quad \cdots (1)
\end{equation}です。さらに、平面上にある点\(P\)とは異なる点\(X\)を任意に選びます。点\(X\)の位置ベクトルを\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)とします。つまり、\begin{equation}\overrightarrow{OX}=x \quad \cdots (2)
\end{equation}です。ベクトル\(\overrightarrow{PX}\)は平面上にある2つの異なる点を結ぶベクトルですが、\begin{eqnarray*}\overrightarrow{PX} &=&\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OP} \\
&=&x-p\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\overrightarrow{PX}=x-p \quad \cdots (3)
\end{equation}という関係が成立します（下図）。

平面と垂直な非ゼロベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んで固定します。ベクトル\(\overrightarrow{PX}\)は平面上にある2つの異なる点を結ぶベクトルであるため、\(\overrightarrow{PX}\)と\(n\)もまた垂直であり、したがって\(\left( 3\right) \)を踏まえると、\begin{equation*}\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}を得ます。以上の議論は任意の点\(X\)について成立します。つまり、平面上に存在する1点\(P\)の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{3}\)と平面に垂直な非ゼロベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選んで固定したとき、平面上にある任意の点\(X\)の位置ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)は以下の関係\begin{equation*}\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}を満たします。これを平面の方程式の法線標準形（normal form of the equation of a plane）と呼びます。\(n\)を平面の法線ベクトル（normal vector of a line）と呼びます。

改めて整理すると、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)を舞台とした場合、平面上の点の位置ベクトル\begin{equation*}p=\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2} \\
p_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}と平面の法線ベクトル\begin{equation*}
n=\left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2} \\
n_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}が与えられれば、平面の方程式の法線標準形は、\begin{equation*}
\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-p_{1} \\
x_{2}-p_{2} \\
x_{3}-p_{3}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2} \\
n_{3}\end{array}\right) =0
\end{equation*}と表現されるため、平面上に存在するすべての点の位置ベクトルからなる集合は、\begin{eqnarray*}
P\left( p,n\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x-p\right) \cdot n=0\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
x_{1}-p_{1} \\
x_{2}-p_{2} \\
x_{3}-p_{3}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2} \\
n_{3}\end{array}\right) =0\right\}
\end{eqnarray*}と定まります。これを平面（plane）の定義として採用することもできます。

平面の定義を踏まえると、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)について、以下の関係\begin{equation*}x\in P\left( p,n\right) \Leftrightarrow \left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、点\(x\)が平面\(P\left(p,n\right) \)上の点であることと、\(x\)が方程式\(\left( x-p\right) \cdot n=0\)の解であることは必要十分です。逆に、以下の関係\begin{equation*}x\not\in P\left( p,n\right) \Leftrightarrow \left( x-p\right) \cdot n\not=0
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、点\(x\)が平面\(P\left( p,n\right) \)上の点ではないことと、\(x\)が方程式\(\left(x-p\right) \cdot n=0\)の解ではないことは必要十分です。

以上の議論は空間\(\mathbb{R} ^{3}\)においてのみ成立することに注意してください。一般に、1つの平面を指定するためには、平面上の点の位置ベクトルと線型独立な2つの方向ベクトルを指定する必要があります。空間\(\mathbb{R} ^{3}\)においても同様です。ただ、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上では1つの方向軸を指定すると、それと垂直な方向軸が2つ定まるため、平面の方向ベクトル\(v,w\)を指定することと平面の法線ベクトル\(u\)を指定することは実質的に同じ意味を持ちます。したがって、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)においては、平面上の点の位置ベクトルと平面の法線ベクトルを指定することによっても、平面を一意的に指定することができます。

空間\(\mathbb{R} ^{4}\)では事情が変わります。繰り返しになりますが、1つの平面を指定するためには、平面上の点の位置ベクトルと線型独立は2つの方向ベクトルを指定する必要があります。空間\(\mathbb{R} ^{4}\)においても同様です。空間\(\mathbb{R} ^{3}\)とは異なり、空間\(\mathbb{R} ^{4}\)上では1つの方向軸を指定すると、それと垂直な方向軸が無数に存在するため、平面の方向ベクトル\(v,w\)に対して、それと垂直なベクトル、すなわち法線ベクトルは無数に存在し、さらに、それらの法線ベクトルは互いに平行ではありません。したがって、平面の法線ベクトル\(n\)が与えられても、そこから平面の方向ベクトル\(v,w\)を特定できません。空間\(\mathbb{R} ^{4}\)上に存在する平面の傾きを指定する上で、法線ベクトルだけでは情報として不十分であるということです。空間\(\mathbb{R} ^{4}\)上に存在する平面を指定するためには、やはり、平面上の点の位置ベクトルと線型独立な2つの方向ベクトルを指定する必要があります。より高次の空間\(\mathbb{R} ^{n}\)（\(n\geq 4\)）についても同様です。

空間上に存在する平面の方程式

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面に関しては、その平面上の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{3}\)と法線ベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、平面の方程式の法線標準形が、\begin{equation*}\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}-p_{1} \\
x_{2}-p_{2} \\
x_{3}-p_{3}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\
n_{2} \\
n_{3}\end{array}\right) =0
\end{equation*}として定まることが明らかになりました。内積の定義を踏まえた上でこれを変形すると、\begin{equation*}
\left( x_{1}-p_{1}\right) n_{1}+\left( x_{2}-p_{2}\right) n_{2}+\left(
x_{3}-p_{3}\right) n_{3}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3}+\left(
-p_{1}n_{1}-p_{2}n_{2}-p_{3}n_{3}\right) =0
\end{equation*}を得ます。そこで、新たに実数\(a_{1},a_{2},b\in \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
a_{1}=n_{1} \\
a_{2}=n_{2} \\
a_{3}=n_{3} \\
b=-p_{1}n_{1}-p_{2}n_{2}-p_{3}n_{3}\end{array}\right.
\end{equation*}と定義すれば、平面の方程式の法線標準形を、\begin{equation*}
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0
\end{equation*}と表現できます。これを空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面の方程式（equation of a plane）と呼びます。ただし、定義より、この方程式の係数は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\} ,\quad b\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たす必要があります。

逆に、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する平面の方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+b=0
\end{equation*}が与えられれば、平面の法線ベクトルを、\begin{equation*}
n=a=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}と特定できます。

平面の定義

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面を表現する際には、ベクトル方程式や媒介変数表示、対称式、法線標準形、方程式など様々な手段を用いることができることが明らかになりました。ただ、そこでの議論は、平面という概念に対して私たちが抱いている常識を前提としています。つまり、「平面とは無限に続く平らな面」であるという常識を踏まえたとき、平面をどのような形で定式化できるか方向性で議論を行ってきました。議論の結果を踏まえつつ、以下では逆の方向から議論を行います。つまり、平面と呼ばれる概念が満たすべき性質を指定することを通じて平面の概念を定義するということです。

復習になりますが、平面上に存在する点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と線型独立な平面上の方向ベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、その平面はベクトル方程式\begin{equation*}x=p+sv+tw
\end{equation*}として表現されます。ただし、\(s,t\in \mathbb{R} \)は媒介変数です。この場合、平面そのものを以下のような\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\begin{equation*}P=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\}
\end{equation*}として定義できます。点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x\in P\Leftrightarrow \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw
\end{equation*}という関係が成り立つことに注意してください。つまり、点\(x\)が平面\(P\)上に存在することと、その点\(x\)に対してベクトル方程式\(x=p+sv+tw\)が解\(\left( s,t\right) \)を持つことは必要十分です。

以上を踏まえた上で、逆に、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(P\)が与えられたとき、それに対して何らかのベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)および線型独立な非ゼロベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が存在して、\begin{equation*}L=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\}
\end{equation*}という形で表すことができる場合、この集合\(P\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の平面（plane）と呼ぶものと定めます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(P\)が平面であることは、何らかのベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)および線型独立な非ゼロベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が存在して、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( x\in P\Leftrightarrow \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されるということです。その上で、以上の条件を満たす\(p\)を平面\(P\)の位置ベクトル（position vector）と呼び、\(v,w\)を平面\(P\)の方向ベクトル（direction vector）と呼びます。方向ベクトルは非ゼロベクトルかつ線型独立であることに注意してください。平面\(P\)の位置ベクトルが\(p\)であり方向ベクトルが\(v,w\)であることを明示したい場合には、そのことを、\begin{equation*}P\left( p,v,w\right)
\end{equation*}と表記するものと定めます。

演習問題