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平面の方程式

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平面の方程式

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において平面を表現するためには、3つの異なる点を指定すれば十分です。なぜなら、3つの異なる点が与えられれば、それらを通る平面は1つに定まるからです。ただし、3つの点が同一直線上に並んでいる場合、それらを通る平面は無数に存在するため、平面を一意的に定めるためには、同一直線上には並んでいない3つの異なる点を指定する必要があります。そこで、問題としている平面上にある3つの異なる点\(P,Q,R\)をとります。ただし、これらの点は同一直線上には並んでいないものとします。つまり、2つのベクトル\(\overrightarrow{PQ}\)と\(\overrightarrow{PR}\)が平行ではないということです。空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の原点を\(O\)とします。この平面上にある点\(X\)を任意に選んだとき、何らかのスカラー\(s,t\in \mathbb{R} \)のもとで、\begin{equation}\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+s\overrightarrow{PQ}+t\overrightarrow{PR} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成立することに注意してください(下図)。

図:平面
図:平面

平面上の点\(P,Q,R\)を任意に選んだ上で固定します。これらの位置ベクトルを\(p,q,r\in \mathbb{R} ^{n}\)とします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OP}\)の終点座標が\(p\)であり、ベクトル\(\overrightarrow{OQ}\)の終点座標が\(q\)であり、ベクトル\(\overrightarrow{OR}\)の終点座標が\(r\)であるということです。言い換えると、\begin{eqnarray}\overrightarrow{OP} &=&p \quad \cdots (2) \\
\overrightarrow{OQ} &=&q \quad \cdots (3) \\
\overrightarrow{OR} &=&r \quad \cdots (4)
\end{eqnarray}が成り立つということです。さらに、平面上にある点\(X\)を任意に選びます。点\(X\)の位置ベクトルを\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)とします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点座標が\(x\)であり、\begin{equation}\overrightarrow{OX}=x \quad \cdots (5)
\end{equation}が成り立つということです。このとき、\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{PQ} &=&\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=q-p\quad
\because \left( 2\right) ,\left( 3\right) \\
\overrightarrow{PR} &=&\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP}=r-p\quad
\because \left( 2\right) ,\left( 4\right)
\end{eqnarray*}を得るため、これらと\(\left( 5\right) \)および\(\left( 1\right) \)を踏まえると、平面上の点\(P,Q,R\)の座標\(p,q,r\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられており、なおかつこれらの点が同一直線上に並んでいないとき、平面上にあるそれぞれの点\(X\)の座標\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)は、何らかのスカラー\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+s\left( r-p\right) +t\left( q-p\right)
\end{equation*}と表すことができます。これを平面のベクトル方程式(vector equation of a plane)と呼びます。

例(平面のベクトル方程式)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)においてある平面上にある点\(P,Q,R\)の位置ベクトルが、\begin{eqnarray*}p &=&\left( 1,-2,0\right) \\
q &=&\left( 3,1,4\right) \\
r &=&\left( 0,-1,2\right)
\end{eqnarray*}であるとき、この平面のベクトル方程式は、スカラー\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+s\left( r-p\right) +t\left( q-p\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) &=&\left( 1,-2,0\right) +s\left[ \left(
0,-1,2\right) -\left( 1,-2,0\right) \right] +t\left[ \left( 3,1,4\right)
-\left( 1,-2,0\right) \right] \\
&=&\left( 1,-2,0\right) +s\left( -1,1,2\right) +t\left( 2,3,4\right)
\end{eqnarray*}と表すことができます。

平面のベクトル方程式を別の形で表現することもできます。ベクトル\(\overrightarrow{PQ}\)は平面上にある2つの異なる点を結ぶベクトルであるため、2点\(P,Q\)を通る直線と平行な非ゼロベクトル\(v\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んで固定したとき、何らかのスカラー\(s\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}\overrightarrow{PQ}=sv \quad \cdots (6)
\end{equation}と表すことができます。同様に、ベクトル\(\overrightarrow{PR}\)は平面上にある2つの異なる点を結ぶベクトルであるため、2点\(P,R\)を通る直線と平行な非ゼロベクトル\(w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んで固定したとき、何らかのスカラー\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation}\overrightarrow{PR}=tw \quad \cdots (7)
\end{equation}と表すことができます。3点\(P,Q,R\)は同一直線上に並んでいないため、2つのベクトル\(v,w\)の一方を他方のスカラー倍として表すことはできないこと、すなわち、\begin{equation*}v=aw
\end{equation*}を満たすスカラー\(a\in \mathbb{R} \)が存在しないことに注意してください。このような条件が満たされる場合、2つのベクトル\(v,w\)は線型独立(linearly independent)であると言います。\(\left( 1\right) \)および\(\left( 5\right) ,\left( 6\right) ,\left( 7\right) \)を踏まえると、平面上にある点\(P\)の座標\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と、平面上にある2つの線型独立な非ゼロベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、平面上にあるそれぞれの点\(X\)の座標\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)は、何らかのスカラー\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+sv+tw
\end{equation*}という形で表すことができます。これもまた平面のベクトル方程式(vector equation of a plane)です。\(v,w\)を平面の方向ベクトル(direction vectors of a plane)と呼び、\(s,t\)を媒介変数(parameter)やパラメータ(parameter)などと呼びます。

以上を踏まえると、平面上にある点の座標\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と線型独立な方向ベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、平面上のすべての点の座標からなる集合は、\begin{equation*}P\left( p,v,w\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s\in \mathbb{R} ,\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\}
\end{equation*}と定まるため、これを平面(plane)と呼びます。

例(2次元空間における平面)
2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における平面は、平面上の点\begin{equation*}p=\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}および線型独立な方向ベクトル\begin{eqnarray*}
v &=&\left( v_{1},v_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \\
w &=&\left( w_{1},w_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\}
\end{eqnarray*}を用いて、\begin{eqnarray*}
P\left( p,v,w\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( p_{1},p_{2}\right) +s\left(
v_{1},v_{2}\right) +t\left( w_{1},w_{2}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\left( x_{1},x_{2}\right) =\left(
p_{1}+sv_{1}+tw_{1},p_{2}+sv_{2}+tw_{2}\right) \right\}
\end{eqnarray*}と表されます。ただ、点\(p\)と方向ベクトル\(v,w\)に関わらず、\begin{equation*}P\left( p,v,w\right) =\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}となるため、\(\mathbb{R} ^{2}\)における任意の平面は\(\mathbb{R} ^{2}\)です(演習問題)。
例(3次元空間における平面)
3次元空間における平面は、平面上の点\begin{equation*}
p=\left( p_{1},p_{2},p_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}および線型独立な方向ベクトル\begin{eqnarray*}
v &=&\left( v_{1},v_{2},v_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\} \\
w &=&\left( w_{1},w_{2},w_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\}
\end{eqnarray*}を用いて、\begin{eqnarray*}
P\left( p,v,w\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},w_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( p_{1},p_{2},p_{3}\right) +s\left(
v_{1},v_{2},v_{3}\right) +t\left( w_{1},w_{2},w_{3}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},w_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left(
p_{1}+sv_{1}+tw_{1},p_{2}+sv_{2}+tw_{2},p_{3}+sv_{3}+tw_{3}\right) \right\}
\end{eqnarray*}と表されます。具体例を挙げると、平面上にある点\(P\)の座標\begin{equation*}p=\left( 1,2,3\right)
\end{equation*}と、線型独立な方向ベクトル\begin{eqnarray*}
v &=&\left( 4,5,6\right) \\
w &=&\left( 7,8,9\right)
\end{eqnarray*}が与えられたとき、この平面は、\begin{eqnarray*}
P\left( p,v,w\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},w_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( 1,2,3\right) +s\left( 4,5,6\right)
+t\left( 7,8,9\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},w_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( 1+4s+7t,2+5s+8t,3+6s+9t\right)
\right\}
\end{eqnarray*}となります。

例(3点を通過する平面の方程式)
先に解説したように、平面上にある異なる3つの座標\(p,q,r\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられており、なおかつこれらの点が同一直線上に並んでいない場合には、平面上にあるそれぞれの点\(X\)の座標\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)は、何らかのスカラー\(s,t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+s\left( r-p\right) +t\left( q-p\right)
\end{equation*}と表されます。これは点\(p\)を通過し、\(r-p\)と\(q-p\)が方向ベクトルであるような平面のベクトル方程式に他なりません。

平面上にある点の位置ベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と平面の方向ベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、平面のベクトル方程式は、\begin{equation*}x=p+sv+tw
\end{equation*}で与えられることが明らかになりました。媒介変数の値\(s,t\in \mathbb{R} \)を指定すれば、それに対応する平面上の点の座標\(x\)が上の方定式から得られます。さて、この方程式を成分ごとに分解して表現すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=p_{1}+sv_{1}+tw_{1} \\
\vdots \\
x_{n}=p_{n}+sv_{n}+tw_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}を得ます。これを平面の媒介変数表示(parametric equations of a plane)と呼びます。

例(平面の媒介変数表示)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)においてある平面上にある点\(P,Q,R\)の位置ベクトルが、\begin{eqnarray*}p &=&\left( 1,-2,0\right) \\
q &=&\left( 3,1,4\right) \\
r &=&\left( 0,-1,2\right)
\end{eqnarray*}であるとき、この平面のベクトル方程式は、スカラー\(v,w\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=p+v\left( r-p\right) +w\left( q-p\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) &=&\left( 1,-2,0\right) +v\left[ \left(
0,-1,2\right) -\left( 1,-2,0\right) \right] +w\left[ \left( 3,1,4\right)
-\left( 1,-2,0\right) \right] \\
&=&\left( 1,-2,0\right) +v\left( -1,1,2\right) +w\left( 2,3,4\right)
\end{eqnarray*}と表すことができます。したがって、この平面の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=1-v+2w \\
x_{2}=-2+v+3w \\
x_{3}=2v+4w\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

 

平面の方程式の法線標準形

平面上の点\(P\)を任意に選んだ上で固定します。点\(P\)の位置ベクトルを\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)とします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OP}\)の終点の座標が\(p\)であり、\begin{equation}\overrightarrow{OP}=p \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。さらに、平面上にある点\(P\)とは異なる点\(X\)を任意に選びます。点\(X\)の位置ベクトルを\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)とします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点の座標が\(x\)であり、\begin{equation}\overrightarrow{OX}=x \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つということです。ベクトル\(\overrightarrow{PX}\)は平面上にある2つの異なる点を結ぶベクトルですが、\begin{eqnarray*}\overrightarrow{PX} &=&\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OP} \\
&=&x-p\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\overrightarrow{PX}=x-p \quad \cdots (3)
\end{equation}という関係が成立します(下図)。

図:平面
図:平面

平面と垂直な非ゼロベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んで固定します。ベクトル\(\overrightarrow{PX}\)は平面上にある2つの異なる点を結ぶベクトルであるため\(\overrightarrow{PX}\)と\(n\)もまた垂直であり、したがって\(\left( 3\right) \)を踏まえると、\begin{equation*}\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}を得ます。結論をまとめると、平面上にある点\(P\)の座標\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と、平面に垂直な非ゼロベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ固定したとき、平面上にある任意の点\(X\)の座標\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)は以下の関係\begin{equation*}\left( x-p\right) \cdot n=0
\end{equation*}を満たします。これを平面の方程式の法線標準形(normal form of the equation of a plane)と呼びます。\(n\)を平面の法線ベクトル(normal vector of a line)と呼びます。

以上を踏まえると、平面上にある点の座標\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)と法線ベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、平面上のすべての点の座標からなる集合は、\begin{equation*}L\left( p,n\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left( x-p\right) \cdot n=0\right\}
\end{equation*}と定まるため、これを平面(plane)と呼びます。

例(2次元空間における平面)
2次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における平面の方程式の法線標準形は、平面上の点\begin{equation*}\left( p_{1},p_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}および法線ベクトル\begin{equation*}
\left( n_{1},n_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\}
\end{equation*}から、\begin{equation*}
\left( x_{1}-p_{1},x_{2}-p_{2}\right) \cdot \left( n_{1},n_{2}\right) =0
\end{equation*}と定義されるため、平面は、\begin{equation*}
P\left( p,n\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-p_{1},x_{2}-p_{2}\right) \cdot \left(
n_{1},n_{2}\right) =0\right\}
\end{equation*}となります。ただ、点\(p\)と法線ベクトル\(n\)に関わらず、\begin{equation*}P\left( p,n\right) =\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}となるため、\(\mathbb{R} ^{2}\)における任意の平面は\(\mathbb{R} ^{2}\)です(演習問題)。
例(3次元空間における平面)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における平面の方程式の法線標準形は、平面上の点\begin{equation*}\left( p_{1},p_{2},p_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}および法線ベクトル\begin{equation*}
\left( n_{1},n_{2},n_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\}
\end{equation*}から、\begin{equation*}
\left( x_{1}-p_{1},x_{2}-p_{2},x_{3}-p_{3}\right) \cdot \left(
n_{1},n_{2},n_{3}\right) =0
\end{equation*}と定義されるため、平面は、\begin{equation*}
P\left( p,n\right) =\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x_{1}-p_{1},x_{2}-p_{2},x_{3}-p_{3}\right) \cdot \left(
n_{1},n_{2},n_{3}\right) =0\right\}
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、平面上にある点\(P\)の座標\begin{equation*}p=\left( 1,1,0\right)
\end{equation*}と、法線ベクトル\begin{equation*}
n=\left( 1,-1,0\right)
\end{equation*}が与えられたとき、この平面は、\begin{eqnarray*}
P\left( p,n\right) &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x_{1}-1,x_{2}-1,x_{3}-0\right) \cdot \left( 1,-1,0\right)
=0\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x_{1}-1\right) -\left( x_{2}-1\right) =0\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}-x_{2}=0\right\}
\end{eqnarray*}となります。

例(3次元空間における平面)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)のある平面を通過する異なる3点\begin{eqnarray*}x &=&\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \\
y &=&\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \\
z &=&\left( z_{1},z_{2},z_{3}\right)
\end{eqnarray*}が与えられている状況を想定します。これらの点が同一直線上に並んでいない場合、以下の2つのベクトル\begin{eqnarray*}
y-x &=&\left( y_{1}-x_{1},y_{2}-x_{2},y_{3}-x_{3}\right) \\
z-x &=&\left( z_{1}-x_{1},z_{2}-x_{2},z_{3}-x_{3}\right)
\end{eqnarray*}は平面上にある平行ではない非ゼロベクトルであるため、これらの外積\begin{equation*}
\left( y-x\right) \times \left( z-x\right)
\end{equation*}は\(y-x\)と\(z-x\)の双方と垂直です。つまり、上の外積は平面の法線ベクトルです。加えて、\(x,y,z\)は平面上の点であるため、以上の情報から平面の方程式を特定できます。

 

演習問題

問題(平面のベクトル方程式)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の以下の3つの点\begin{eqnarray*}p &=&\left( 1,0,-2\right) \\
q &=&\left( 3,1,5\right) \\
r &=&\left( -4,2,0\right)
\end{eqnarray*}を通過する平面のベクトル方程式を求めてください。

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問題(平面の方程式)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)において、ある平面上には以下の点\begin{equation*}p=\left( 0,1,-7\right)
\end{equation*}が存在するものとします。加えて、この平面の法線ベクトルは、\begin{equation*}
n=\left( 4,-1,6\right)
\end{equation*}であるものとします。この平面の方程式を求めてください。

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問題(平面のベクトル方程式)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の以下の3つの点\begin{eqnarray*}p &=&\left( 1,3,-1\right) \\
q &=&\left( 2,2,0\right) \\
r &=&\left( 3,1,-2\right)
\end{eqnarray*}を通過する平面の媒介変数表示を求めてください。

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問題(平面のベクトル方程式)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)において、ある平面上には以下の点\begin{equation*}p=\left( 5,-1,0\right)
\end{equation*}が存在するものとします。加えて、この平面上には以下のようなベクトル方程式\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =\left( 3,1,1\right) +t\left( 2,-1,3\right)
\end{equation*}によって表される直線が存在するものとします。この平面のベクトル方程式を求めてください。

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問題(平面の方程式)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の以下の3つの点\begin{eqnarray*}p &=&\left( 0,1,-7\right) \\
q &=&\left( 3,1,-9\right) \\
r &=&\left( 0,-5,-8\right)
\end{eqnarray*}を通過する平面の方程式を求めてください。

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問題(平面の方程式)
3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の以下の3つの点\begin{eqnarray*}p &=&\left( 1,2,3\right) \\
q &=&\left( 2,4,6\right) \\
r &=&\left( -3,-6,-9\right)
\end{eqnarray*}を通過する平面の方程式を求めてください。