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ベクトル

ベクトル加法(ベクトル和)

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ベクトルの定義

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ベクトル加法

2つのベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それらの対応する成分どうしを足すことにより得られる新たなベクトルを、\begin{equation*}x+y=\left( x_{1}+y_{1},\cdots ,x_{n}+y_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、これを\(x\)と\(y\)のベクトル和(vector sum)や(sum)などと呼びます。左辺の\(+\)はベクトル和を表す記号であり、右辺の\(+\)は\(\mathbb{R} \)上の加法を表す記号であることに注意してください。両者を同じ記号を用いて表記するため注意が必要です。

ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)が加法\(+\)について閉じていることからベクトル和\(x+y\)のそれぞれの成分\(x_{i}+y_{i}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\(x+y\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の1つの点として定まることが保証されます。したがって、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:x+y\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(\mathbb{R} ^{n}\)がベクトル加法\(+\)について閉じていることが保証されます。このような事情を踏まえると、ベクトルを成分とするそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、やはりベクトルであるベクトル和\(x+y\in \mathbb{R} ^{n}\)を定める二項演算\begin{equation*}+:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。このような演算をベクトル加法(vector addition)と呼びます。順序対\(\left( x,y\right) \)に対してベクトル加法\(+\)を適用することを、\(x\)と\(y\)を足す(add)と言います。

例(ベクトル加法)
\(1\)次元空間のベクトル\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それらのベクトル和は、\begin{equation*}x+y=x+y
\end{equation*}となります。ただし、左辺の\(+\)はベクトル加法を表す記号であり、右辺の\(+\)は実数どうしの加法を表す記号です。つまり、\(1\)次元空間においてベクトル加法と加法は一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}1+4 &=&5 \\
\left( -1\right) +8 &=&7 \\
\frac{4}{5}+\frac{1}{10} &=&\frac{9}{10}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(ベクトル加法)
\(2\)次元空間のベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、それらのベクトル和は、\begin{equation*}x+y=\left( x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2\right) +\left( 3,1\right) &=&\left( 1+3,2+1\right) =\left(
4,3\right) \\
\left( -1,7\right) +\left( 3,2\right) &=&\left( \left( -1\right)
+3,7+2\right) =\left( 2,9\right) \\
\left( \frac{2}{3},-1\right) +\left( -\frac{1}{2},-2\right) &=&\left( \frac{2}{3}+\left( -\frac{1}{2}\right) ,\left( -1\right) +\left( -2\right) \right)
=\left( \frac{1}{6},-3\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(ベクトル加法)
\(3\)次元空間のベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、それらのベクトル和は、\begin{equation*}x+y=\left( x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
\left( 1,2,3\right) +\left( 3,4,5\right) &=&\left( 1+3,2+4,3+5\right)
=\left( 4,6,8\right) \\
\left( -1,4,2\right) +\left( 0,1,-7\right) &=&\left( -1+0,4+1,2+\left(
-7\right) \right) =\left( -1,5,-5\right) \\
\left( \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right) +\left( 0,-2,-\frac{1}{2}\right) &=&\left( \frac{1}{2}+0,\frac{1}{3}+\left( -2\right) ,\frac{1}{4}+\left( -\frac{1}{2}\right) \right) =\left( \frac{1}{2},-\frac{5}{3},-\frac{1}{4}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

ベクトル加法は同一の空間に属する2つのベクトルに対してのみ定義されます。異なる空間に属するベクトルどうしにベクトル加法を適用することはできません。

例(ベクトル加法)
\(2\)次元空間のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{2}\)と\(3\)次元空間のベクトル\(y\in \mathbb{R} ^{3}\)をそれぞれ任意に選んだとき、これらは異なる空間に属するベクトルであるため、これらのベクトル加法\(x+y\)は定義されません。

 

ベクトル加法の解釈

ベクトルは「大きさ」と「方向」を表す量ですが、ベクトルの大きさは有向線分の「長さ」として、ベクトルの方向は有向線分の「方向」としてそれぞれ表現されます。では、2つのベクトルを足すと、得られたベクトルの大きさと方向はどのように決まるのでしょうか。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にある2つの点\(X,Y\)を任意に選んだ上で、これらを終点とする有向線分、すなわちベクトル\begin{eqnarray*}&&\overrightarrow{OX} \\
&&\overrightarrow{OY}
\end{eqnarray*}に注目します。点\(X\)の位置ベクトルが\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)であり、点\(Y\)の位置ベクトルが\(y\in \mathbb{R} ^{n}\)であるものとします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点の座標が\(x\)であり、ベクトル\(\overrightarrow{OY}\)の終点の座標が\(y\)です。2つのベクトル\(\overrightarrow{OX},\overrightarrow{OY}\)の和に相当するベクトルを、\begin{equation*}\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{OY}
\end{equation*}で表記します。ベクトル和の定義より、ベクトル\(\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{OY}\)の終点の位置ベクトルは\(\overrightarrow{OX}\)の終点の位置ベクトル\(x\)と\(\overrightarrow{OY}\)の終点の位置ベクトル\(y\)のベクトル和\(x+y\in \mathbb{R} ^{n}\)です。言い換えると、ベクトル\(\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{OY}\)の終点の座標は、\(\overrightarrow{OX}\)の終点の座標\(x\)と\(\overrightarrow{OY}\)の終点の座標\(y\)のベクトル和\(x+y\)として定まるということです。

例(ベクトル加法の解釈)
2次元空間上にある2つの点\(X,Y\)を選んだ上で、これらを終点とする有向線分、すなわちベクトル\begin{eqnarray*}&&\overrightarrow{OX} \\
&&\overrightarrow{OY}
\end{eqnarray*}に注目します。点\(X\)の位置ベクトルが\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)であり、点\(Y\)の位置ベクトルが\(\left(y_{1},y_{2}\right) \)であるものとします。2つのベクトル\(\overrightarrow{OX},\overrightarrow{OY}\)の和\begin{equation*}\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{OY}
\end{equation*}の終点の位置ベクトル、すなわち終点の座標は、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) +\left( y_{1},y_{2}\right) =\left(
x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}\right)
\end{equation*}となります(下図)。

図:2次元ベクトルのベクトル和
図:2次元ベクトルのベクトル和

つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{OY}\)は2つのベクトル\(\overrightarrow{OX},\overrightarrow{OY}\)によって形作られる平行四辺形の対角線に相当します。

 

ベクトル加法に関する結合律

ベクトル加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right)
\end{equation*}を満たします。以上の性質をベクトル加法に関する結合律(associative law)と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)はベクトル加法\(+\)を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left( x+y\right) +z\)は、はじめに\(x\)と\(y\)を足した上で、得られた結果と\(z\)をさらに足して得られるベクトルです。右辺の\(x+\left( y+z\right) \)は、はじめに\(y\)と\(z\)を足した上で、\(x\)と先の結果\(y+z\)を足して得られるベクトルです。結合律はこれらのベクトルが等しいことを保証します。つまり、3つのベクトル\(x,y,z\)に対してベクトル加法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に足しても得られる結果は変わらないということです。

命題(ベクトル加法の結合律)
ベクトル加法\(+\)は、\begin{equation*}\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:(x+y)+z=x+(y+z)
\end{equation*}を満たす。

証明

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ゼロベクトル(ベクトル加法単位元)

ベクトルは有限\(n\)個の実数からなる組として定義されるため、すべての成分が\(0\)であるようなベクトル\begin{equation*}0=\left( 0,\cdots ,0\right)
\end{equation*}が存在します。これをゼロベクトル(zero vector)と呼びます。ただし、左辺の\(0\)はゼロベクトルを表す記号であり、右辺の\(0\)はゼロです。多くの場合、ゼロベクトルを表記する際には太字を用いて、\begin{equation*}\boldsymbol{0}
\end{equation*}とするのですが、以降ではシンプルに\(0\)で表記します。

ベクトル加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:x+0=x
\end{equation*}を満たします。つまり、先の理由によりゼロベクトル\(0\)が存在しますが、任意のベクトル\(x\)に対してゼロベクトル\(0\)を足してもその結果は\(x\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、ゼロベクトルをベクトル加法単位元(identity element of vector addition)と呼ぶ場合もあります。

命題(ベクトル加法単位元の存在)
ベクトル加法\(+\)は、\begin{equation*}\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:x+0=x
\end{equation*}を満たす。

証明

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\(\mathbb{R} \)の加法単位元\(0\)は一意的であるため、\(0\)を成分として持つベクトルとして定義されるゼロベクトルもまた一意的です。

命題(ゼロベクトルの一意性)
ゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)は一意的である。

 

逆ベクトル(ベクトル加法逆元)

ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)のそれぞれの成分\(x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)は実数ですが、任意の実数\(x_{i}\)は加法単位元\(-x_{i}\)を持つため、以下のようなベクトル\begin{equation*}-x=\left( -x_{1},\cdots ,-x_{n}\right)
\end{equation*}が存在することが保証されます。これを\(x\)の逆ベクトル(inversevector)や負ベクトル(negative vector)などと呼びます。ただし、左辺の\(-x\)はベクトル\(x\)の逆ベクトルを表す記号であるのに対し、右辺の\(-x_{i}\)は実数\(x_{i}\)の加法逆元を表す記号です。両者を同じ記号を用いて表記するため注意してください。

ベクトル加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -x\in \mathbb{R} ^{n}:x+(-x)=0
\end{equation*}を満たします。つまり、ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、先の理由によりその逆ベクトル\(-x\)が存在することが保証されますが、\(x\)と\(-x\)の和はゼロベクトルと一致することが保証されるというこです。このような事情を踏まえた上で、逆ベクトル\(-x\)をベクトル\(x\)のベクトル加法逆元(inverse element of vector addition)と呼ぶ場合もあります。

命題(ベクトル加法逆元の存在)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義されたベクトル加法\(+\)は、\begin{equation*}\left( V_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -x\in \mathbb{R} ^{n}:x+(-x)=0
\end{equation*}を満たす。

証明

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それぞれの実数\(x_{i}\)に対してその加法逆元\(-x_{i}\)は一意的に定まるため、それぞれのベクトル\(x\)に対してその逆ベクトル\(-x\)は一意的に定まります。

命題(逆ベクトルの一意性)
ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その逆ベクトル\(-x\in \mathbb{R} ^{n}\)は一意的である。

 

ベクトル加法に関する交換律

ベクトル加法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:x+y=y+x
\end{equation*}を満たします。以上の性質をベクトル加法に関する交換律(commutative law)と呼びます。本来、2つのベクトル\(x,y\)を成分とする順序対\(\left( x,y\right) ,\left( y,x\right) \)は異なるものとして区別するため、\(\left( x,y\right) \)にベクトル加法を適用して得られるベクトル\(x+y\)と、\(\left( y,x\right) \)にベクトル加法を適用して得られるベクトル\(y+x\)もまた区別されるべきですが、交換律はこれらが等しいベクトルであることを保証します。

命題(ベクトル加法の交換律)
ベクトル加法\(+\)は、\begin{equation*}\left( V_{4}\right) \ \forall x,y,\in \mathbb{R} ^{n}:x+y=y+x
\end{equation*}を満たす。

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ベクトル加法に関する可換群としての\(n\)次元空間

これまで明らかになったベクトル加法の性質を改めて整理すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:(x+y)+z=x+(y+z) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:x+0=x \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -x\in \mathbb{R} ^{n}:x+(-x)=0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall x,y,\in \mathbb{R} ^{n}:x+y=y+x
\end{eqnarray*}となります。

ベクトル加法\(+\)が\(\left(V_{1}\right) \)を満たすことは、\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)が\(+\)に関して半群(semigroup)であることを意味します。また、ベクトル加法\(+\)が\(\left(V_{1}\right) \)と\(\left( V_{2}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R} ^{n}\)が\(+\)に関してモノイド(monoid)であることを意味します。また、ベクトル加法\(+\)が\(\left( V_{1}\right) ,\left( V_{2}\right) \)に加えて\(\left( V_{3}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R} ^{n}\)が\(+\)に関して(group)であることを意味します。さらに、ベクトル加法\(+\)が\(\left( V_{1}\right),\left( V_{2}\right) ,\left( V_{3}\right) \)に加えて\(\left( V_{4}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R} ^{n}\)が\(+\)に関して可換群(commutative group)またはアーベル群(abelian group)であることを意味します。

 

逆ベクトルの逆ベクトル

ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その逆ベクトル\(-x\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の点であるため、さらにその逆ベクトル\(-\left( -x\right) \)が存在し、これもまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の点です。しかも、\begin{equation*}-\left( -x\right) =x
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトルの逆ベクトルの逆ベクトルはもとのベクトルと一致します。

命題(逆ベクトルの逆ベクトル)
ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}-\left( -x\right) =x
\end{equation*}が成り立つ。

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ゼロベクトルの逆ベクトル

ゼロベクトル\(0\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の点であるため、その逆ベクトル\(-0\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の点です。しかも、\begin{equation*}-0=0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ゼロベクトルの逆ベクトルはゼロベクトルです。

命題(ゼロベクトルの逆ベクトル)
ゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}-0=0
\end{equation*}が成り立つ。

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演習問題

問題(ベクトル加法)
ベクトル\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{3}\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &=&\left( 2,-7,1\right) \\
y &=&\left( -3,0,4\right) \\
z &=&\left( 0,5,-8\right)
\end{eqnarray*}として与えられているとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x+y \\
&&\left( b\right) \ y+z \\
&&\left( c\right) \ x+\left( -z\right) \\
&&\left( d\right) \ -\left( -z\right) +\left( -x\right) +y
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(ベクトル加法)
任意のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}-\left( -\left( -x\right) \right) =-x
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(ベクトル加法の簡約法則)
ベクトル\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}x+y=x+z\Rightarrow y=z
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。これをベクトル加法に関する簡約法則(cancellation law)と呼びます。

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