三角形を張る2つのベクトルのなす角が与えられている場合
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する2つの非ゼロベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、これらが平行でない場合には、すなわち、\begin{equation*}y=ax
\end{equation*}を満たすスカラー\(a\in \mathbb{R} \)が存在しない場合には、ベクトル\(x,y\)の始点を一致させることにより、それらを対辺とする三角形を作ることができます（下図）。これをベクトル\(x,y\)によって張られる三角形（triangle spanned by vectors \(x\) and \(y\)）と呼びます。
\(x\)と\(y\)によって張られる平行四辺形の面積は、\begin{equation*}\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert \sin \left( \theta \right) =\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\sin \left( \theta
\right)
\end{equation*}と定まりますが、\(x\)と\(y\)によって張られる三角形はこの平行四辺形を2等分したものであるため、その面積は、\begin{equation*}\frac{1}{2}\left\Vert x\right\Vert \left\Vert y\right\Vert \sin \left(
\theta \right) =\frac{1}{2}\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\sin \left( \theta \right)
\end{equation*}と定まります。
\theta \right) =\frac{1}{2}\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}}\sin \left( \theta \right)
\end{equation*}と定まる。
\left( 1,0\right) &\in &\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \\
\left( 0,1\right) &\in &\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}によって張られる三角形は1辺の長さが\(1\)の直角三角形であるため、その面積は、\begin{equation*}1\times 1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}
\end{equation*}です。同じこと先の命題を用いて導きます。先の2つのベクトルのなす角\(\theta \)が\(\frac{\pi }{2}\)であることを踏まえると、先の命題より、先の2つのベクトルによって張られる三角形の面積は、\begin{eqnarray*}\frac{1}{2}\left\Vert \left( 1,0\right) \right\Vert \left\Vert \left(
0,1\right) \right\Vert \sin \left( \frac{\pi }{2}\right) &=&\frac{1}{2}\sqrt{1^{2}+0^{2}}\sqrt{0^{2}+1^{2}}1 \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)においても同様の議論が成立するため以下を得ます。
\theta \right) =\frac{1}{2}\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}\sqrt{y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}}\sin \left( \theta \right)
\end{equation*}と定まる。
\left( 1,0,0\right) &\in &\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \\
\left( 0,1,0\right) &\in &\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}によって張られる三角形は1辺の長さが\(1\)の直角三角形であるため、その面積は、\begin{equation*}1\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}
\end{equation*}です。同じこと先の命題を用いて導きます。先の2つのベクトルのなす角\(\theta \)が\(\frac{\pi }{2}\)であることを踏まえると、先の命題より、先の2つのベクトルによって張られる三角形の面積は、\begin{eqnarray*}\frac{1}{2}\left\Vert \left( 1,0,0\right) \right\Vert \left\Vert \left(
0,1,0\right) \right\Vert \sin \left( \frac{\pi }{2}\right) &=&\frac{1}{2}\sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}}\sqrt{0^{2}+1^{2}+0^{2}}1 \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。
三角形の面積と外積の関係
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する非ゼロかつ平行ではないベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \)によって張られる平行四辺形の面積は、\begin{eqnarray*}\sqrt{\left\Vert x\right\Vert ^{2}\left\Vert y\right\Vert ^{2}-\left\vert
x\cdot y\right\vert ^{2}} &=&\sqrt{\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right) \left(
y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\right) -\left( x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}\right) ^{2}} \\
&=&\left\Vert \left( x_{1},x_{2},0\right) \times \left( y_{1},y_{2},0\right)
\right\Vert
\end{eqnarray*}と表現することもできます。\(x\)と\(y\)によって張られる三角形はこの平行四辺形を2等分したものであるため、その面積は、\begin{eqnarray*}\frac{1}{2}\sqrt{\left\Vert x\right\Vert ^{2}\left\Vert y\right\Vert
^{2}-\left\vert x\cdot y\right\vert ^{2}} &=&\frac{1}{2}\sqrt{\left(
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right) \left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\right) -\left(
x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}\right) ^{2}} \\
&=&\frac{1}{2}\left\Vert \left( x_{1},x_{2},0\right) \times \left(
y_{1},y_{2},0\right) \right\Vert
\end{eqnarray*}と定まります。
^{2}-\left\vert x\cdot y\right\vert ^{2}} &=&\frac{1}{2}\sqrt{\left(
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right) \left( y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\right) -\left(
x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}\right) ^{2}} \\
&=&\frac{1}{2}\left\Vert \left( x_{1},x_{2},0\right) \times \left(
y_{1},y_{2},0\right) \right\Vert
\end{eqnarray*}と定まる。
つまり、平面上に存在する2つのベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left( y_{1},y_{2}\right) \)によって張られる三角形の面積を導出する際には、\begin{equation*}\frac{1}{2}\sqrt{\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right) \left(
y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\right) -\left( x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}を利用できるだけでなく、これらのベクトルをあたかも空間上のベクトル\(\left( x_{1},x_{2},0\right),\left( y_{1},y_{2},0\right) \)とみなした上で、これらの外積のノルムの\(\frac{1}{2}\)である、\begin{equation*}\frac{1}{2}\left\Vert \left( x_{1},x_{2},0\right) \times \left(
y_{1},y_{2},0\right) \right\Vert =\frac{1}{2}\left\Vert \left(
\begin{vmatrix}
x_{2} & 0 \\
y_{2} & 0\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}
x_{1} & 0 \\
y_{1} & 0\end{vmatrix},\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
y_{1} & y_{2}\end{vmatrix}\right) \right\Vert
\end{equation*}をとることもできます。この命題では2つのベクトル\(x,y\)がなす角\(\theta \)に関する情報を必要としません。
\left( 1,0\right) &\in &\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \\
\left( 0,1\right) &\in &\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}によって張られる三角形は1辺の長さが\(1\)の正方形であるため、その面積は明らかに、\begin{equation*}1\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}
\end{equation*}です。同じこと先の命題を用いて導きます。先の命題より、先の2つのベクトルによって張られる三角形の面積は、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2}\left\Vert \left( 1,0,0\right) \times \left( 0,1,0\right)
\right\Vert &=&\frac{1}{2}\left\Vert \left(
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{vmatrix},\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{vmatrix}\right) \right\Vert \\
&=&\frac{1}{2}\left\Vert 0,-0,1\right\Vert \\
&=&\frac{1}{2}\sqrt{0^{2}+\left( -0\right) ^{2}+1^{2}} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)においても同様の議論が成立するため以下を得ます。
^{2}-\left( x\cdot y\right) ^{2}}=\frac{1}{2}\left\Vert \left(
x_{1},x_{2},x_{3}\right) \times \left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \right\Vert
\end{equation*}と定まる。
つまり、空間上に存在する2つのベクトル\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) ,\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \)によって張られる三角形の面積を導出する際には、\begin{equation*}\frac{1}{2}\sqrt{\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right) \left(
y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}\right) -\left(
x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\right) ^{2}}
\end{equation*}を利用できるだけでなく、これらのベクトルの外積のノルムの\(\frac{1}{2}\)である、\begin{equation*}\frac{1}{2}\left\Vert \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \times \left(
y_{1},y_{2},y_{3}\right) \right\Vert =\frac{1}{2}\left\Vert \left(
\begin{vmatrix}
x_{2} & x_{3} \\
y_{2} & y_{3}\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{3} \\
y_{1} & y_{3}\end{vmatrix},\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{2} \\
y_{1} & y_{2}\end{vmatrix}\right) \right\Vert
\end{equation*}をとることもできます。
\left( 1,0,0\right) &\in &\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\} \\
\left( 0,1,0\right) &\in &\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}によって張られる三角形は1辺の長さが\(1\)の正方形であるため、その面積は、\begin{equation*}1\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}
\end{equation*}です。同じこと先の命題を用いて導きます。先の命題より、先の2つのベクトルによって張られる三角形の面積は、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2}\left\Vert \left( 1,0,0\right) \times \left( 0,1,0\right)
\right\Vert &=&\frac{1}{2}\left\Vert \left(
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0\end{vmatrix},\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\end{vmatrix}\right) \right\Vert \\
&=&\frac{1}{2}\left\Vert 0,-0,1\right\Vert \\
&=&\frac{1}{2}\sqrt{0^{2}+\left( -0\right) ^{2}+1^{2}} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。
演習問題
x &=&\left( 3,-3\right) \\
y &=&\left( 4,9\right)
\end{eqnarray*}によって張られる三角形の面積を求めてください。
x &=&\left( 3,-3,1\right) \\
y &=&\left( 4,9,2\right)
\end{eqnarray*}によって張られる三角形の面積を求めてください。
&&\left( 1,0,0\right) \\
&&\left( 0,1,0\right) \\
&&\left( 0,0,1\right)
\end{eqnarray*}を結ぶことにより得られる三角形の面積を求めてください。
&&\left( a,0,0\right) \\
&&\left( 0,b,0\right) \\
&&\left( 0,0,c\right)
\end{eqnarray*}を結ぶことにより得られる三角形と垂直であり、なおかつその長さが先の三角形の面積と一致するようなベクトルを特定してください。
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