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ベクトルのスカラー乗法

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ベクトルのスカラー乗法

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(x\)のそれぞれの成分を\(a\)倍することにより得られる新たなベクトルを、\begin{equation*}ax=\left( a\cdot x_{1},\cdots ,a\cdot x_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)による\(x\)のスカラー倍(scalar product)と呼びます。右辺の\(\cdot \)は\(\mathbb{R} \)上の乗法を表す記号であることに注意してください。スカラー倍\(ax\)の\(a\)をスカラー(scalar)や係数(coefficient)などと呼び、スカラーが取り得る値の集合である\(\mathbb{R} \)をスカラー場(scalarfield)や係数体(coefficient field)などと呼びます。

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)が乗法について閉じていることからスカラー倍のそれぞれの成分\(a\cdot x_{i}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\(ax\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の1つの点として定まることが保証されます。したがって、\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:ax\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(\mathbb{R} ^{n}\)がスカラー乗法について閉じていることが保証されます。このような事情を踏まえると、スカラーとベクトルを成分とするそれぞれの順序対\(\left( a,x\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、ベクトルであるスカラー倍\(ax\in \mathbb{R} ^{n}\)を定める二項演算が定義可能です。このような演算をスカラー乗法(scalar multiplication)と呼びます。

例(スカラー乗法)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と\(1\)次元空間のベクトル\(x\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、スカラー倍は、\begin{equation*}ax=a\cdot x
\end{equation*}となります。ただし、右辺の\(\cdot \)は実数の乗法を表す記号です。つまり、スカラー場が\(\mathbb{R} \)であるとき、\(1\)次元空間のベクトルに関するスカラー乗法は乗法と一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}1\left( 2\right) &=&1\cdot 2=2 \\
-2\left( 3\right) &=&-2\cdot 3=6 \\
\frac{1}{2}\left( 4\right) &=&\frac{1}{2}\cdot 4=2
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(スカラー乗法)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と\(2\)次元空間のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{2}\)をそれぞれ任意に選んだとき、スカラー倍は、\begin{equation*}ax=\left( a\cdot x_{1},a\cdot x_{2}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
1\left( 2,3\right) &=&\left( 1\cdot 2,1\cdot 3\right) =\left( 2,3\right) \\
-2\left( -1,3\right) &=&\left( \left( -2\right) \cdot \left( -1\right)
,\left( -2\right) \cdot 3\right) =\left( 2,-6\right) \\
\frac{1}{2}\left( \frac{1}{4},-\frac{2}{3}\right) &=&\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4},\frac{1}{2}\cdot \left( -\frac{2}{3}\right) \right)
=\left( \frac{1}{8},-\frac{1}{3}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(スカラー乗法)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と\(3\)次元空間のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)をそれぞれ任意に選んだとき、スカラー倍は、\begin{equation*}ax=\left( a\cdot x_{1},a\cdot x_{2},a\cdot x_{3}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
1\left( 2,3,4\right) &=&\left( 1\cdot 2,1\cdot 3,1\cdot 4\right) =\left(
2,3,4\right) \\
-2\left( -1,3,2\right) &=&\left( \left( -2\right) \cdot \left( -1\right)
,\left( -2\right) \cdot 3,\left( -2\right) \cdot 2\right) =\left(
2,-6,-4\right) \\
\frac{1}{2}\left( \frac{1}{4},-\frac{2}{3},0\right) &=&\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4},\frac{1}{2}\cdot \left( -\frac{2}{3}\right) ,\frac{1}{2}\cdot 0\right) =\left( \frac{1}{8},-\frac{1}{3},0\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

スカラー乗法の解釈

ベクトルは「大きさ」と「方向」を表す量ですが、ベクトルの大きさは有向線分の「長さ」として、ベクトルの方向は有向線分の「方向」としてそれぞれ表現されます。では、ベクトルをスカラー倍すると、得られたベクトルの大きさと方向はどのように決まるのでしょうか。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にある点\(X\)を任意に選んだ上で、これらを終点とする有向線分、すなわちベクトル\begin{equation*}\overrightarrow{OX}
\end{equation*}に注目します。点\(X\)の位置ベクトルが\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)であるものとします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点の座標が\(x\)です。スカラー\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)のスカラー\(a\)倍に相当するベクトルを、\begin{equation*}a\overrightarrow{OX}
\end{equation*}で表記します。スカラー倍の定義より、ベクトル\(a\overrightarrow{OX}\)の終点の位置ベクトルは\(\overrightarrow{OX}\)の終点の位置ベクトル\(x\)のスカラー倍\(ax\in \mathbb{R} ^{n}\)です。言い換えると、ベクトル\(a\overrightarrow{OX}\)の終点の座標は、\(\overrightarrow{OX}\)の終点の座標\(x\)のスカラー倍\(ax\)として定まるということです。

例(スカラー乗法の解釈)
2次元空間上にある点\(X\)を選んだ上で、これを終点とする有向線分、すなわちベクトル\begin{equation*}\overrightarrow{OX}
\end{equation*}に注目します。点\(X\)の位置ベクトルが\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)であるものとします。ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)のスカラー倍\begin{equation*}a\overrightarrow{OX}
\end{equation*}の終点の位置ベクトル、すなわち終点の座標は、\begin{equation*}
a\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( ax_{1},ay_{1}\right)
\end{equation*}となります(下図)。

図:2次元ベクトルのスカラー倍
図:2次元ベクトルのスカラー倍

つまり、\(a>0\)の場合のベクトル\(a\overrightarrow{OX}\)はベクトル\(\overrightarrow{OX}\)と方向を共有する有向線分であり、\(a<0\)の場合のベクトル\(a\overrightarrow{OX}\)はベクトル\(\overrightarrow{OX}\)とは逆方向の有向線分であり、\(a=0\)の場合のベクトル\(a\overrightarrow{OX}\)はゼロベクトルです。上図は\(a>0\)の場合です。

 

同一方向・反対方向のベクトル

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にある2つの点\(X,Y\)を任意に選んだ上で、これらを終点とする有向線分、すなわちベクトル\begin{eqnarray*}&&\overrightarrow{OX} \\
&&\overrightarrow{OY}
\end{eqnarray*}に注目します。点\(X\)の位置ベクトルが\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)であり、点\(Y\)の位置ベクトルが\(y\in \mathbb{R} ^{n}\)であるものとします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点の座標が\(x\)であり、ベクトル\(\overrightarrow{OY}\)の終点の座標が\(y\)です。何らかのスカラー\(a\in \mathbb{R} \)のもとで、以下の関係\begin{equation*}y=ax
\end{equation*}が成り立つものとします。この場合、2つの点\(X,Y\)は同一直線上にあります。特に、\(a>0\)である場合に\(\overrightarrow{OX}\)と\(\overrightarrow{OY}\)は同一方向の有向線分であり、\(a<0\)である場合に\(\overrightarrow{OX}\)と\(\overrightarrow{OY}\)は互いに反対方向の有向線分です。

以上を踏まえたとき、2つのベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、何らかの正のスカラー\(a>0\)のもとで、\begin{equation*}y=ax
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、\(x\)と\(y\)は同一方向(same direction)にあると言います。一方、何らかの負のスカラー\(a<0\)のもとで、\begin{equation*}y=ax
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、\(x\)と\(y\)は反対方向(opposite direction)にあると言います。

 

スカラー乗法の互換性

スカラー乗法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( bx\right) =\left( a\cdot b\right) x
\end{equation*}を満たします。以上の性質を乗法とスカラー乗法の間の互換性(compatibility)と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は演算を適用する順番を規定する記号です。つまり、左辺\(a\left( bx\right) \)は、はじめに\(x\)のスカラー\(b\)倍をとった上で、得られたベクトルのスカラー\(a\)倍をとって得られるベクトルです。右辺\(\left( a\cdot b\right) x\)は、はじめにスカラーどうしの積\(a\cdot b\)をとった上で、ベクトル\(x\)のスカラー\(a\cdot b\)倍をとって得られるベクトルです。互換性はこれらが等しいベクトルであることを保証します。

命題(スカラー乗法の互換性)
スカラー乗法は、\begin{equation*}\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( bx\right) =\left( a\cdot b\right) x
\end{equation*}を満たす。

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例(スカラー乗法の互換性)
スカラー\(a,b\in \mathbb{R} \)と1次元ユークリッド空間のベクトル\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、スカラー乗法より、\begin{equation*}a\left( b\cdot x\right) =\left( a\cdot b\right) x
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、先に指摘したように、スカラー場が\(\mathbb{R} \)である場合には\(1\)次元空間の点に関するスカラー乗法は乗法と一致するため、これは、\begin{equation*}a\cdot \left( b\cdot x\right) =\left( a\cdot b\right) \cdot x
\end{equation*}と必要十分です。つまり、1次元ユークリッド空間においてスカラー乗法の互換性は乗法の結合律と一致します。

 

イチ(スカラー乗法単位元)

ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、これと\(\mathbb{R} \)における乗法単位元である\(1\in \mathbb{R} \)の間には、\begin{equation*}1x=x
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、任意のベクトル\(x\)のスカラー\(1\)倍をとってもその結果は\(x\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、\(1\)をスカラー乗法単位元(identity element of scalar multiplication)と呼ぶこともできます。

命題(スカラー乗法単位元の存在)
スカラー乗法は、\begin{equation*}
\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:1x=x
\end{equation*}を満たす。

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ベクトル加法に関するスカラー乗法の分配律

ベクトル加法とスカラー乗法の間には以下の関係\begin{equation*}
\left( V_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( x+y\right) =ax+ay
\end{equation*}が成り立ちます。以上の性質をベクトル加法に関するスカラー乗法の分配律(distributivity of scalar multiplication with respect to vector addition)と呼びます。つまり、ベクトル和のスカラー倍(左辺)はスカラー倍どうしのベクトル和(右辺)と一致するということです。

命題(ベクトル加法に関するスカラー乗法の分配律)
ベクトル加法\(+\)とスカラー乗法の間には、\begin{equation*}\left( V_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( x+y\right) =ax+ay
\end{equation*}が成り立つ。

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加法に関するスカラー乗法の分配律

ベクトル加法とスカラー乗法の間には以下の関係\begin{equation*}
\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) x=ax+bx
\end{equation*}が成り立ちます。以上の性質を加法に関するスカラー乗法の分配律(distributivity of scalar multiplication with respect to addition)と呼びます。つまり、スカラーどうしの和に関するベクトルのスカラー倍(左辺)はスカラー倍どうしのベクトル和(右辺)と一致するということです。

命題(加法に関するスカラー乗法の分配律)
ベクトル加法\(+\)とスカラー乗法の間には、\begin{equation*}\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) x=ax+bx
\end{equation*}が成り立つ。

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ベクトル空間としての\(n\)次元空間(実ベクトル空間)

これまで明らかになったベクトル加法およびスカラー乗法の性質を改めて整理すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:(x+y)+z=x+(y+z) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:x+0=x \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists -x\in \mathbb{R} ^{n}:x+(-x)=0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall x,y,\in \mathbb{R} ^{n}:x+y=y+x \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( bx\right) =\left( a\cdot b\right) x \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:1x=x \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( x+y\right) =ax+ay \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) x=ax+bx
\end{eqnarray*}となります。

ベクトル加法が\(\left( V_{1}\right) \)から\(\left( V_{4}\right) \)までの性質を満たし、スカラー乗法が\(\left( V_{5}\right) \)と\(\left(V_{6}\right) \)を満たし、さらにベクトル加法とスカラー乗法の間に\(\left(V_{7}\right) \)と\(\left( V_{8}\right) \)が成り立つことは、\(\mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} \)をスカラー場とするベクトル空間(vectorspace with a scalar field \(\mathbb{R} \))であることを意味します。特に、このようなベクトル空間を実ベクトル空間(real vector space)と呼びます。通常、実ベクトル空間を\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n},+,\cdot \right) \)と表記しますが、実ベクトル空間について言及していることが文脈から明らかである場合、これをシンプルに\(\mathbb{R} ^{n}\)と表記できます。

 

ゼロベクトルのスカラー倍

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、これとゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)のスカラー倍は、\begin{equation*}a0=0
\end{equation*}を満たします。つまり、ゼロベクトルのスカラー倍はゼロベクトルになります。

命題(ゼロベクトルのスカラー倍)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)が任意に与えられたとき、これとゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)の間には、\begin{equation*}a0=0
\end{equation*}が成り立つ。

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ベクトルのスカラーゼロ倍

ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、そのスカラー\(0\)倍について、\begin{equation*}0x=0
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺の\(0\)はゼロ、右辺の\(0\)はゼロベクトルです。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点のスカラー\(0\)倍はゼロベクトルになります。

命題(ベクトルのスカラーゼロ倍)
点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}0x=0
\end{equation*}が成り立つ。ただし、左辺の\(0\)はゼロ、右辺の\(0\)はゼロベクトルである。
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スカラー倍がゼロベクトルになるための必要条件

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}ax=0\Rightarrow \left( a=0\vee x=0\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、ベクトルのスカラー倍がゼロベクトルと一致する場合、スカラーがゼロであるか、ベクトルがゼロベクトルであるか、その少なくとも一方が成り立ちます。対偶より、\begin{equation*}
\left( a\not=0\wedge x\not=0\right) \Rightarrow ax\not=0
\end{equation*}を得ます。つまり、非ゼロのスカラーと非ゼロベクトルのスカラー倍は非ゼロベクトルになります。

命題(スカラー倍がゼロベクトルになるための必要条件)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}ax=0\Rightarrow \left( a=0\vee x=0\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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逆ベクトルの生成

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( -a\right) x=a\left( -x\right) =-\left( ax\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、ベクトルの負のスカラー倍、逆ベクトルのスカラー倍、スカラー倍の逆ベクトルはいずれも一致するということです。特に、\(a=1\)の場合には、\begin{equation*}\left( -1\right) x=1\left( -x\right) =-\left( 1x\right)
\end{equation*}となります。

命題(逆ベクトルの生成)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( -a\right) x=a\left( -x\right) =-\left( ax\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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演習問題

問題(ベクトルの演算)
ベクトル\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{3}\)を、\begin{eqnarray*}x &=&\left( 2,-7,1\right) \\
y &=&\left( -3,0,4\right) \\
z &=&\left( 0,5,-8\right)
\end{eqnarray*}とそれぞれ定義するとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 3x-4y \\
&&\left( b\right) \ 2x+3y-5z
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(ベクトルの演算)
点\(x,y\in \mathbb{R} ^{4}\)を、\begin{eqnarray*}x &=&\left( 2,-1,0,-3\right) \\
y &=&\left( 1,-1,-1,3\right) \\
z &=&\left( 1,3,-2,2\right)
\end{eqnarray*}とそれぞれ定義するとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 2x-3y \\
&&\left( b\right) \ 5x-3y-4z \\
&&\left( c\right) \ -x+2y-2z
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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