ベクトルのスカラー乗法（スカラー倍）

ベクトルのスカラー乗法

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(x\)のそれぞれの成分を\(a\)倍することにより得られる新たなベクトルを、\begin{equation*}ax=\left( a\cdot x_{1},\cdots ,a\cdot x_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)による\(x\)のスカラー倍（scalar product）と呼びます。右辺の\(\cdot \)は\(\mathbb{R} \)上の乗法を表す記号であることに注意してください。スカラー倍\(ax\)の\(a\)をスカラー（scalar）や係数（coefficient）などと呼び、スカラーが取り得る値の集合である\(\mathbb{R} \)をスカラー場（scalarfield）や係数体（coefficient field）などと呼びます。

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)が乗法について閉じていることからスカラー倍のそれぞれの成分\(a\cdot x_{i}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\(ax\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の１つの点として定まることが保証されます。したがって、\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:ax\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(\mathbb{R} ^{n}\)がスカラー乗法について閉じていることが保証されます。このような事情を踏まえると、スカラーとベクトルを成分とするそれぞれの順序対\(\left( a,x\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、ベクトルであるスカラー倍\(ax\in \mathbb{R} ^{n}\)を定める二項演算が定義可能です。このような演算をスカラー乗法（scalar multiplication）と呼びます。

スカラー乗法の解釈

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する点\(X\)を任意に選んだ上で、その位置ベクトルを、\begin{equation*}x\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点座標が\(x\)です。スカラー\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先のベクトル\(x\)のスカラー\(a\)倍は、\begin{equation*}ax\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となりますが、これはベクトル\(a\overrightarrow{OX}\)の終点座標と一致します。

例（スカラー乗法の解釈）

2次元空間上にある点\(X\)を選んだ上で、この点の位置ベクトルを、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}で表記します。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点座標が\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)です。スカラー\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先のベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)のスカラー\(a\)倍は、\begin{equation*}a\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( ax_{1},ax_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となりますが、これはベクトル\(a\overrightarrow{OX}\)の終点座標と一致します。

つまり、\(a>0\)の場合のベクトル\(a\overrightarrow{OX}\)はベクトル\(\overrightarrow{OX}\)と方向を共有する有向線分であり、\(a<0\)の場合のベクトル\(a\overrightarrow{OX}\)はベクトル\(\overrightarrow{OX}\)とは逆方向の有向線分であり、\(a=0\)の場合のベクトル\(a\overrightarrow{OX}\)はゼロベクトルです。上図は\(a>0\)の場合です。

同一方向・反対方向のベクトル

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にある2つの点\(X,Y\)を任意に選んだ上で、これらを終点とする有向線分、すなわちベクトル\begin{eqnarray*}&&\overrightarrow{OX} \\
&&\overrightarrow{OY}
\end{eqnarray*}に注目します。点\(X\)の位置ベクトルが\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)であり、点\(Y\)の位置ベクトルが\(y\in \mathbb{R} ^{n}\)であるものとします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点の座標が\(x\)であり、ベクトル\(\overrightarrow{OY}\)の終点の座標が\(y\)です。何らかのスカラー\(a\in \mathbb{R} \)のもとで、以下の関係\begin{equation*}y=ax
\end{equation*}が成り立つものとします。この場合、2つの点\(X,Y\)は同一直線上にあります。特に、\(a>0\)である場合に\(\overrightarrow{OX}\)と\(\overrightarrow{OY}\)は同一方向の有向線分であり、\(a<0\)である場合に\(\overrightarrow{OX}\)と\(\overrightarrow{OY}\)は互いに反対方向の有向線分です。

以上を踏まえたとき、2つのベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、何らかの正のスカラー\(a>0\)のもとで、\begin{equation*}y=ax
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、\(x\)と\(y\)は同一方向（same direction）にあると言います。一方、何らかの負のスカラー\(a<0\)のもとで、\begin{equation*}y=ax
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、\(x\)と\(y\)は反対方向（opposite direction）にあると言います。

スカラー乗法の互換性

スカラー乗法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( bx\right) =\left( a\cdot b\right) x
\end{equation*}を満たします。以上の性質を乗法とスカラー乗法の間の互換性（compatibility）と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は演算を適用する順番を規定する記号です。つまり、左辺\(a\left( bx\right) \)は、はじめに\(x\)のスカラー\(b\)倍をとった上で、得られたベクトルのスカラー\(a\)倍をとって得られるベクトルです。右辺\(\left( a\cdot b\right) x\)は、はじめにスカラーどうしの積\(a\cdot b\)をとった上で、ベクトル\(x\)のスカラー\(a\cdot b\)倍をとって得られるベクトルです。互換性はこれらが等しいベクトルであることを保証します。

イチ（スカラー乗法単位元）

ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、これと\(\mathbb{R} \)における乗法単位元である\(1\in \mathbb{R} \)の間には、\begin{equation*}1x=x
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、任意のベクトル\(x\)のスカラー\(1\)倍をとってもその結果は\(x\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、\(1\)をスカラー乗法単位元（identity element of scalar multiplication）と呼ぶこともできます。

ベクトル加法に関するスカラー乗法の分配律

ベクトル加法とスカラー乗法の間には以下の関係\begin{equation*}
\left( V_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( x+y\right) =ax+ay
\end{equation*}が成り立ちます。以上の性質をベクトル加法に関するスカラー乗法の分配律（distributivity of scalar multiplication with respect to vector addition）と呼びます。つまり、ベクトル和のスカラー倍（左辺）はスカラー倍どうしのベクトル和（右辺）と一致するということです。

加法に関するスカラー乗法の分配律

ベクトル加法とスカラー乗法の間には以下の関係\begin{equation*}
\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) x=ax+bx
\end{equation*}が成り立ちます。以上の性質を加法に関するスカラー乗法の分配律（distributivity of scalar multiplication with respect to addition）と呼びます。つまり、スカラーどうしの和に関するベクトルのスカラー倍（左辺）はスカラー倍どうしのベクトル和（右辺）と一致するということです。

ゼロベクトルのスカラー倍

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、これとゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)のスカラー倍は、\begin{equation*}a0=0
\end{equation*}を満たします。つまり、ゼロベクトルのスカラー倍はゼロベクトルになります。

ベクトルのスカラーゼロ倍

ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、そのスカラー\(0\)倍について、\begin{equation*}0x=0
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺の\(0\)はゼロ、右辺の\(0\)はゼロベクトルです。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点のスカラー\(0\)倍はゼロベクトルになります。

スカラー倍がゼロベクトルになるための必要条件

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}ax=0\Rightarrow \left( a=0\vee x=0\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、ベクトルのスカラー倍がゼロベクトルと一致する場合、スカラーがゼロであるか、ベクトルがゼロベクトルであるか、その少なくとも一方が成り立ちます。対偶より、\begin{equation*}
\left( a\not=0\wedge x\not=0\right) \Rightarrow ax\not=0
\end{equation*}を得ます。つまり、非ゼロのスカラーと非ゼロベクトルのスカラー倍は非ゼロベクトルになります。

逆ベクトルの生成

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( -a\right) x=a\left( -x\right) =-\left( ax\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、ベクトルの負のスカラー倍、逆ベクトルのスカラー倍、スカラー倍の逆ベクトルはいずれも一致するということです。特に、\(a=1\)の場合には、\begin{equation*}\left( -1\right) x=1\left( -x\right) =-\left( 1x\right)
\end{equation*}となります。

演習問題