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ベクトルのスカラー乗法(スカラー倍)

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ベクトルのスカラー乗法

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(x\)のそれぞれの成分を\(a\)倍することにより得られる新たなベクトルを、\begin{equation*}ax=\left( a\cdot x_{1},\cdots ,a\cdot x_{n}\right)
\end{equation*}で表記し、これを\(a\)による\(x\)のスカラー倍(scalar product)と呼びます。右辺の\(\cdot \)は\(\mathbb{R} \)上の乗法を表す記号であることに注意してください。スカラー倍\(ax\)の\(a\)をスカラー(scalar)や係数(coefficient)などと呼び、スカラーが取り得る値の集合である\(\mathbb{R} \)をスカラー場(scalarfield)や係数体(coefficient field)などと呼びます。

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、実数空間\(\mathbb{R} \)が乗法について閉じていることからスカラー倍のそれぞれの成分\(a\cdot x_{i}\)が1つの実数として定まることが保証されるため、\(ax\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の1つの点として定まることが保証されます。したがって、\begin{equation*}\forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:ax\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(\mathbb{R} ^{n}\)がスカラー乗法について閉じていることが保証されます。このような事情を踏まえると、スカラーとベクトルを成分とするそれぞれの順序対\(\left( a,x\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、ベクトルであるスカラー倍\(ax\in \mathbb{R} ^{n}\)を定める二項演算が定義可能です。このような演算をスカラー乗法(scalar multiplication)と呼びます。

例(スカラー乗法)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と\(1\)次元空間のベクトル\(x\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、スカラー倍は、\begin{equation*}ax=a\cdot x
\end{equation*}となります。ただし、右辺の\(\cdot \)は実数の乗法を表す記号です。つまり、スカラー場が\(\mathbb{R} \)であるとき、\(1\)次元空間のベクトルに関するスカラー乗法は乗法と一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}1\left( 2\right) &=&1\cdot 2=2 \\
-2\left( 3\right) &=&-2\cdot 3=6 \\
\frac{1}{2}\left( 4\right) &=&\frac{1}{2}\cdot 4=2
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(スカラー乗法)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と\(2\)次元空間のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{2}\)をそれぞれ任意に選んだとき、スカラー倍は、\begin{equation*}ax=\left( a\cdot x_{1},a\cdot x_{2}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
1\left( 2,3\right) &=&\left( 1\cdot 2,1\cdot 3\right) =\left( 2,3\right) \\
-2\left( -1,3\right) &=&\left( \left( -2\right) \cdot \left( -1\right)
,\left( -2\right) \cdot 3\right) =\left( 2,-6\right) \\
\frac{1}{2}\left( \frac{1}{4},-\frac{2}{3}\right) &=&\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4},\frac{1}{2}\cdot \left( -\frac{2}{3}\right) \right)
=\left( \frac{1}{8},-\frac{1}{3}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(スカラー乗法)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)と\(3\)次元空間のベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{3}\)をそれぞれ任意に選んだとき、スカラー倍は、\begin{equation*}ax=\left( a\cdot x_{1},a\cdot x_{2},a\cdot x_{3}\right)
\end{equation*}となります。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
1\left( 2,3,4\right) &=&\left( 1\cdot 2,1\cdot 3,1\cdot 4\right) =\left(
2,3,4\right) \\
-2\left( -1,3,2\right) &=&\left( \left( -2\right) \cdot \left( -1\right)
,\left( -2\right) \cdot 3,\left( -2\right) \cdot 2\right) =\left(
2,-6,-4\right) \\
\frac{1}{2}\left( \frac{1}{4},-\frac{2}{3},0\right) &=&\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4},\frac{1}{2}\cdot \left( -\frac{2}{3}\right) ,\frac{1}{2}\cdot 0\right) =\left( \frac{1}{8},-\frac{1}{3},0\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

スカラー乗法の解釈

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する点\(X\)を任意に選んだ上で、その位置ベクトルを、\begin{equation*}x\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点座標が\(x\)です。スカラー\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先のベクトル\(x\)のスカラー\(a\)倍は、\begin{equation*}ax\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となりますが、これはベクトル\(a\overrightarrow{OX}\)の終点座標と一致します。

例(スカラー乗法の解釈)
2次元空間上にある点\(X\)を選んだ上で、この点の位置ベクトルを、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}で表記します。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点座標が\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)です。スカラー\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先のベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)のスカラー\(a\)倍は、\begin{equation*}a\left( x_{1},x_{2}\right) =\left( ax_{1},ax_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となりますが、これはベクトル\(a\overrightarrow{OX}\)の終点座標と一致します。

図:2次元ベクトルのスカラー倍
図:2次元ベクトルのスカラー倍

つまり、\(a>0\)の場合のベクトル\(a\overrightarrow{OX}\)はベクトル\(\overrightarrow{OX}\)と方向を共有する有向線分であり、\(a<0\)の場合のベクトル\(a\overrightarrow{OX}\)はベクトル\(\overrightarrow{OX}\)とは逆方向の有向線分であり、\(a=0\)の場合のベクトル\(a\overrightarrow{OX}\)はゼロベクトルです。上図は\(a>0\)の場合です。

 

同一方向・反対方向のベクトル

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にある2つの点\(X,Y\)を任意に選んだ上で、これらを終点とする有向線分、すなわちベクトル\begin{eqnarray*}&&\overrightarrow{OX} \\
&&\overrightarrow{OY}
\end{eqnarray*}に注目します。点\(X\)の位置ベクトルが\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)であり、点\(Y\)の位置ベクトルが\(y\in \mathbb{R} ^{n}\)であるものとします。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点の座標が\(x\)であり、ベクトル\(\overrightarrow{OY}\)の終点の座標が\(y\)です。何らかのスカラー\(a\in \mathbb{R} \)のもとで、以下の関係\begin{equation*}y=ax
\end{equation*}が成り立つものとします。この場合、2つの点\(X,Y\)は同一直線上にあります。特に、\(a>0\)である場合に\(\overrightarrow{OX}\)と\(\overrightarrow{OY}\)は同一方向の有向線分であり、\(a<0\)である場合に\(\overrightarrow{OX}\)と\(\overrightarrow{OY}\)は互いに反対方向の有向線分です。

以上を踏まえたとき、2つのベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、何らかの正のスカラー\(a>0\)のもとで、\begin{equation*}y=ax
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、\(x\)と\(y\)は同一方向(same direction)にあると言います。一方、何らかの負のスカラー\(a<0\)のもとで、\begin{equation*}y=ax
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、\(x\)と\(y\)は反対方向(opposite direction)にあると言います。

 

スカラー乗法の互換性

スカラー乗法は以下の性質\begin{equation*}
\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( bx\right) =\left( a\cdot b\right) x
\end{equation*}を満たします。以上の性質を乗法とスカラー乗法の間の互換性(compatibility)と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は演算を適用する順番を規定する記号です。つまり、左辺\(a\left( bx\right) \)は、はじめに\(x\)のスカラー\(b\)倍をとった上で、得られたベクトルのスカラー\(a\)倍をとって得られるベクトルです。右辺\(\left( a\cdot b\right) x\)は、はじめにスカラーどうしの積\(a\cdot b\)をとった上で、ベクトル\(x\)のスカラー\(a\cdot b\)倍をとって得られるベクトルです。互換性はこれらが等しいベクトルであることを保証します。

命題(スカラー乗法の互換性)
スカラー乗法は、\begin{equation*}\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( bx\right) =\left( a\cdot b\right) x
\end{equation*}を満たす。

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例(スカラー乗法の互換性)
スカラー\(a,b\in \mathbb{R} \)と1次元ユークリッド空間のベクトル\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、スカラー乗法より、\begin{equation*}a\left( b\cdot x\right) =\left( a\cdot b\right) x
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、先に指摘したように、スカラー場が\(\mathbb{R} \)である場合には\(1\)次元空間の点に関するスカラー乗法は乗法と一致するため、これは、\begin{equation*}a\cdot \left( b\cdot x\right) =\left( a\cdot b\right) \cdot x
\end{equation*}と必要十分です。つまり、1次元ユークリッド空間においてスカラー乗法の互換性は乗法の結合律と一致します。

 

イチ(スカラー乗法単位元)

ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、これと\(\mathbb{R} \)における乗法単位元である\(1\in \mathbb{R} \)の間には、\begin{equation*}1x=x
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、任意のベクトル\(x\)のスカラー\(1\)倍をとってもその結果は\(x\)のままであるということです。このような事情を踏まえた上で、\(1\)をスカラー乗法単位元(identity element of scalar multiplication)と呼ぶこともできます。

命題(スカラー乗法単位元の存在)
スカラー乗法は、\begin{equation*}
\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:1x=x
\end{equation*}を満たす。

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ベクトル加法に関するスカラー乗法の分配律

ベクトル加法とスカラー乗法の間には以下の関係\begin{equation*}
\left( V_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( x+y\right) =ax+ay
\end{equation*}が成り立ちます。以上の性質をベクトル加法に関するスカラー乗法の分配律(distributivity of scalar multiplication with respect to vector addition)と呼びます。つまり、ベクトル和のスカラー倍(左辺)はスカラー倍どうしのベクトル和(右辺)と一致するということです。

命題(ベクトル加法に関するスカラー乗法の分配律)
ベクトル加法\(+\)とスカラー乗法の間には、\begin{equation*}\left( V_{7}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:a\left( x+y\right) =ax+ay
\end{equation*}が成り立つ。

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加法に関するスカラー乗法の分配律

ベクトル加法とスカラー乗法の間には以下の関係\begin{equation*}
\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) x=ax+bx
\end{equation*}が成り立ちます。以上の性質を加法に関するスカラー乗法の分配律(distributivity of scalar multiplication with respect to addition)と呼びます。つまり、スカラーどうしの和に関するベクトルのスカラー倍(左辺)はスカラー倍どうしのベクトル和(右辺)と一致するということです。

命題(加法に関するスカラー乗法の分配律)
ベクトル加法\(+\)とスカラー乗法の間には、\begin{equation*}\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( a+b\right) x=ax+bx
\end{equation*}が成り立つ。

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ゼロベクトルのスカラー倍

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、これとゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)のスカラー倍は、\begin{equation*}a0=0
\end{equation*}を満たします。つまり、ゼロベクトルのスカラー倍はゼロベクトルになります。

命題(ゼロベクトルのスカラー倍)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)が任意に与えられたとき、これとゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)の間には、\begin{equation*}a0=0
\end{equation*}が成り立つ。

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ベクトルのスカラーゼロ倍

ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、そのスカラー\(0\)倍について、\begin{equation*}0x=0
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左辺の\(0\)はゼロ、右辺の\(0\)はゼロベクトルです。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点のスカラー\(0\)倍はゼロベクトルになります。

命題(ベクトルのスカラーゼロ倍)
点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}0x=0
\end{equation*}が成り立つ。ただし、左辺の\(0\)はゼロ、右辺の\(0\)はゼロベクトルである。
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スカラー倍がゼロベクトルになるための必要条件

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}ax=0\Rightarrow \left( a=0\vee x=0\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、ベクトルのスカラー倍がゼロベクトルと一致する場合、スカラーがゼロであるか、ベクトルがゼロベクトルであるか、その少なくとも一方が成り立ちます。対偶より、\begin{equation*}
\left( a\not=0\wedge x\not=0\right) \Rightarrow ax\not=0
\end{equation*}を得ます。つまり、非ゼロのスカラーと非ゼロベクトルのスカラー倍は非ゼロベクトルになります。

命題(スカラー倍がゼロベクトルになるための必要条件)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}ax=0\Rightarrow \left( a=0\vee x=0\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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逆ベクトルの生成

スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( -a\right) x=a\left( -x\right) =-\left( ax\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、ベクトルの負のスカラー倍、逆ベクトルのスカラー倍、スカラー倍の逆ベクトルはいずれも一致するということです。特に、\(a=1\)の場合には、\begin{equation*}\left( -1\right) x=1\left( -x\right) =-\left( 1x\right)
\end{equation*}となります。

命題(逆ベクトルの生成)
スカラー\(a\in \mathbb{R} \)とベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left( -a\right) x=a\left( -x\right) =-\left( ax\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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演習問題

問題(ベクトルの演算)
ベクトル\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{3}\)を、\begin{eqnarray*}x &=&\left( 2,-7,1\right) \\
y &=&\left( -3,0,4\right) \\
z &=&\left( 0,5,-8\right)
\end{eqnarray*}とそれぞれ定義するとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 3x-4y \\
&&\left( b\right) \ 2x+3y-5z
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(ベクトルの演算)
点\(x,y\in \mathbb{R} ^{4}\)を、\begin{eqnarray*}x &=&\left( 2,-1,0,-3\right) \\
y &=&\left( 1,-1,-1,3\right) \\
z &=&\left( 1,3,-2,2\right)
\end{eqnarray*}とそれぞれ定義するとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 2x-3y \\
&&\left( b\right) \ 5x-3y-4z \\
&&\left( c\right) \ -x+2y-2z
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。

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問題(ベクトルの演算)
ベクトル\(x,y\in \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\left( 4,x\right) =y\left( 2,3\right)
\end{equation*}を満たすものとします。\(x\)と\(y\)を求めてください。
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問題(ベクトルの演算)
スカラー\(a,b,c\in \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\left( -1,3,3\right) =a\left( 1,1,0\right) +b\left( 0,0,-1\right) +c\left(
0,1,1\right)
\end{equation*}を満たすものとします。\(a,b,c\)を求めてください。
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問題(ベクトルの演算)
\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において、第\(i\)成分が\(1\)であり他の成分が\(0\)であるようなベクトルを\(e_{i}\in \mathbb{R} ^{n}\)で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}e_{1} &=&\left( 1,0,0,\cdots ,0\right) \\
e_{2} &=&\left( 0,1,0,\cdots ,0\right) \\
&&\vdots \\
e_{n} &=&\left( 0,0,0,\cdots ,1\right)
\end{eqnarray*}です。このとき、任意のベクトル\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{n}e_{n}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(中学校教員採用試験)
以下の2つのベクトル\begin{eqnarray*}
a &=&\left( 1,1\right) \\
b &=&\left( -3,-1\right)
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。その上で以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
x+2y &=&a \\
x+y &=&b
\end{eqnarray*}をともに満たすベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{2}\)を特定してください。
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問題(共通一次試験)
平面上に存在する点\(O,A,B,C,D\)の座標がそれぞれ、\begin{eqnarray*}&&O\left( 0,0\right) \\
&&A\left( 6,-3\right) \\
&&B\left( 4,8\right) \\
&&C\left( 2,4\right) \\
&&D\left( 5,0\right)
\end{eqnarray*}として与えられているものとします。以下の問いに答えてください。

  1. ベクトル\(\overrightarrow{AB}\)および\(\overrightarrow{CD}\)の成分表示を特定してください。
  2. \(\overrightarrow{CD}=a\overrightarrow{OA}-b\overrightarrow{OB}\)を満たすスカラー\(a,b\in \mathbb{R} \)を特定してください。
  3. 何らかのスカラー\(c,d\in \mathbb{R} \)のもとで\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+c\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}+d\overrightarrow{CD}\)を満たす点\(P\)が存在することを示すとともに、そのような点\(P\)の座標を特定してください。
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