平面の法線ベクトルと直交補空間

平面の位置ベクトルと方向ベクトルの特徴づけ

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面\(P\)を任意に選びます。平面の定義より\(P\)は空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるとともに、何らかのベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)および線型独立な非ゼロベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}L=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\}
\end{equation*}という形で表すことができます。\(p\)は平面\(P\)上に存在する点の位置ベクトルに相当し、\(v,w\)は平面\(P\)の方向ベクトルに相当します。

平面\(P\)が与えられたとき、その上に存在する点\(a\in P\)および同一直線上に並んでない点\(b,c,d\in P\)の合計4点を任意に選びます。このとき、\(c-b\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(d-b\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)かつ\(c-b\)と\(d-b\)は線型独立であるため、位置ベクトルが\(a\)であり方向ベクトルが\(c-b\)と\(d-b\)であるような平面\begin{equation*}P\left( a,c-b,d-b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=a+s\left( c-b\right) +t\left( d-b\right) \right\}
\end{equation*}が定義可能ですが、これは平面\(P\)と一致すること、すなわち、\begin{equation*}P\left( a,c-b,d-b\right) =P
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

以上の事実は、平面\(P\)が与えられたとき、\(P\)上の任意の点\(a\)を位置ベクトルとし、\(L\)上に存在する同一直線上に並んでいない3点から生成されるベクトル\(c-b\)および\(d-b\)を方向ベクトルとする平面が\(P\)と一致することを意味します。言い換えると、同一の平面であっても、その位置ベクトルや方向ベクトルは一意的に定まらないということです。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面\(P\)が与えられたとき、その位置ベクトルと方向ベクトルは一意的に定まらないことが明らかになりました。平面\(P\)上に存在する点\(a\)および同一直線上に並んでいない異なる3つの点\(b,c,d\)を任意に選んだとき、位置ベクトルが\(a\)であり方向ベクトルが\(c-b\)と\(d-b\)であるような平面はいずれも\(P\)と一致します。

そのような主張とは逆に、平面\(P\)の位置ベクトルと方向ベクトルはいずれも先の形でのみ与えられることも保証されます。つまり、平面\(P\)の位置ベクトル\(p\)と方向ベクトル\(v,w\)を任意に選んだとき、それらは必ず、平面\(P\)上に存在する何らかの点\(a\)および同一直線上に並んでいない3つの点\(b,c,d\)を用いて、\begin{eqnarray*}p &=&a \\
v &=&c-b \\
w &=&d-b
\end{eqnarray*}という形で表されるということです。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面\(P\)を任意に選びます。平面の定義より\(P\)は空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるとともに、何らかのベクトル\(p\in \mathbb{R} ^{n}\)および線型独立な非ゼロベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}P=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists s,t\in \mathbb{R} :x=p+sv+tw\right\}
\end{equation*}という形で表すことができます。\(p\)は平面\(P\)上に存在する点の位置ベクトルに相当し、\(v,w\)は平面\(P\)の方向ベクトルに相当します。

最初に示した命題より、平面\(P\)上の任意の点\(x\in P\)は\(P\)の位置ベクトルになり得ます。加えて、2番目に示した命題より、平面\(P\)に存在する点\(x\in P\)だけが\(P\)の位置ベクトルになり得ます。以上より、平面\(P\)の位置ベクトルをすべて集めてできる集合は、\begin{equation*}P=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\in P\right\}
\end{equation*}であることが明らかになりました。

最初に示した命題より、平面\(P\)上に存在する同一直線上に並んでいない任意の異なる3点\(x,y,z\in P\)を結ぶベクトル\(x-y\)および\(x-z\)は\(P\)の方向ベクトルになり得ます。加えて、2番目に示した命題より、平面\(P\)上に存在する同一直線上に並んでいない任意の異なる3点\(x,y,z\in P\)を結ぶベクトル\(x-y\)および\(x-z\)だけが\(P\)の方向ベクトルになり得ます。以上より、平面\(P\)の方向ベクトルの組をすべて集めてできる集合は、\begin{equation*}\left\{ \left( x-y,x-z\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\ |\ x,y,z\in P\wedge x\not=y\wedge x\not=z\wedge y\not=z\wedge \forall
k\in \mathbb{R} :x-y\not=k\left( x-z\right) \right\}
\end{equation*}であることが明らかになりました。

平面の法線ベクトル

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面\(P\)が与えられたとき、\(P\)上に存在する異なる2点を結ぶことで得られるすべてのベクトルからなる集合は、\begin{equation}\left\{ \left( x-y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x,y\in P\wedge x\not=y\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}です。したがって、あるベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{n}\)が平面\(P\)上に存在する任意の異なる2点を結ぶことで得られるベクトルと垂直であることは、\begin{equation}\forall x,y\in P:\left[ x\not=y\Rightarrow \left( x-y\right) \cdot n=0\right] \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを意味します。ただし、\(x=y\)の場合には、\begin{eqnarray*}\left( x-y\right) \cdot n &=&\left( x-x\right) \cdot n\quad \because x=y \\
&=&0\cdot n \\
&=&0
\end{eqnarray*}が常に成り立つため、\(\left( 2\right) \)が成り立つことと以下の命題\begin{equation}\forall x,y\in P:\left( x-y\right) \cdot n=0 \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立つことは必要十分です。そこで、以上の条件を満たすベクトル\(n\)を平面\(P\)の法線ベクトル（normal vector to \(L\)）と呼びます。

先に明らかにしたように、平面\(P\)の方向ベクトルの組をすべて集めてできる集合は、\begin{equation*}\left\{ \left( x-y,x-z\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\ |\ x,y,z\in P\wedge x\not=y\wedge x\not=z\wedge y\not=z\wedge \forall
k\in \mathbb{R} :x-y\not=k\left( x-z\right) \right\}
\end{equation*}ですが、この集合から組\(\left( x-y,x-z\right) \)を任意に選んだとき、平面\(P\)の法線ベクトル\(n\)は明らかに\(x-y\)と\(x-z\)の双方と垂直です。つまり、平面\(P\)の法線ベクトルは平面\(P\)と垂直です。

ベクトル\(n\)が直線\(L\)の法線ベクトルであることとは、そのベクトル\(n\)が平面\(P\)上に存在する任意の異なる2点を結ぶことで得られるベクトルと垂直であることとして定義されます。ただ、平面\(P\)を定義する何らかの線型独立な方向ベクトル\(v,w\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、平面\(P\)上に存在する任意の異なる2点を結ぶことで得られるベクトルは\(v\)と\(w\)の線型結合として表現できるため（\(v\)と\(w\)のスカラー倍どうしの和として表せる）、ベクトル\(n\)が\(v\)と\(w\)の双方と垂直であれば、\(n\)は平面\(P\)上に存在する任意の異なる2点を結ぶことで得られるベクトルと垂直であることが保証されます。つまり、ベクトル\(n\)が平面\(P\)の法線ベクトルであるためには、\(n\)が平面\(P\)を定義する何らかの方向ベクトル\(v,w\)と垂直であれば十分です。

平面の直交補空間

繰り返しになりますが、平面\(P\)上に存在する異なる2点を結んでできるベクトルからなる集合は、\begin{equation*}\left\{ x-y\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x,y\in P\wedge x\not=y\right\}
\end{equation*}であるため、ベクトル\(n\in \mathbb{R} ^{n}\)が平面\(P\)の法線ベクトルであることは、\begin{equation*}\forall x,y\in P:\left[ x\not=y\Rightarrow \left( x-y\right) \cdot n=0\right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、上の命題は、\begin{equation*}
\forall x,y\in P:\left( x-y\right) \cdot n=0
\end{equation*}と必要十分であるため、平面\(P\)の法線ベクトルをすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}P^{\perp }=\left\{ n\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall x,y\in P:\left( x-y\right) \cdot n=0\right\}
\end{equation*}と表現できます。これを平面\(P\)の直交補空間（orthogonal complement of a plane \(P\)）と呼びます。

ゼロベクトルは任意の平面\(P\)の法線ベクトルです。つまり、以下が成り立ちます。

平面\(P\)の2つの法線ベクトル\(m,n\)が与えられたとき、それらのベクトル和\(m+n\)もまた平面\(P\)の法線ベクトルになることが保証されます。

平面\(P\)の法線ベクトル\(n\)が与えられたとき、その任意のスカラー倍\(cn\)もまた平面\(P\)の法線ベクトルになることが保証されます。

一般に、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が以下の3つの性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:ax\in X
\end{eqnarray*}を満たす場合、\(X\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間と呼びます。空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面\(P\)の直交補空間\(P^{\perp }\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合ですが、先に示したように、これは以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\in P^{\perp } \\
&&\left( b\right) \ \forall m,n\in P^{\perp }:m+n\in P^{\perp } \\
&&\left( c\right) \ \forall c\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in P^{\perp }:cn\in P^{\perp }
\end{eqnarray*}を満たします。以上の事実は、平面の直交補空間が\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であることを意味します。

平面の直交補集合を特定する方法

繰り返しになりますが、平面\(P\)の直交補空間とは、平面\(P\)の法線ベクトルをすべて集めてできる集合\begin{equation*}P^{\perp }=\left\{ n\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall x,y\in P:\left( x-y\right) \cdot n=0\right\}
\end{equation*}として定義されます。つまり、平面\(P\)のすべての方向ベクトルと垂直であるようなベクトルを集めてできる集合が\(L^{\perp }\)です。ただし、先に明らかにしたように、ベクトル\(n\)が平面\(P\)を定義する何らかの方向ベクトル\(v,w\)の双方と垂直であれば、そのベクトル\(n\)は平面\(P\)上に存在する任意の2つの異なる点を結ぶベクトルと垂直であることが保証されるため、平面の直交補空間を以下のように表現することもできます。

つまり、平面\(P\)の何らかの方向ベクトル\(v,w\)が明らかである場合、その特定のベクトル\(v,w\)の双方と垂直なベクトルをすべて集めれば、その平面上に存在する任意の2つの異なる点を結ぶベクトルと垂直なベクトルを網羅したことになるということです。

原点を通過する平面の直交補空間

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(X\)が以下の3つの性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:ax\in X
\end{eqnarray*}を満たす場合、\(X\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間と呼びます（部分空間については後ほど詳しく学びます）。一般に、直交補空間は部分空間に対して定義される概念です。具体的には、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間\(X\)が与えられたとき、\(X\)の直交補空間とは、\begin{equation*}X^{\perp }=\left\{ n\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall x\in X:n\cdot x=0\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。さらに、部分空間\(X\)の直交補空間\(X^{\perp }\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間になることが保証されます。

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する平面\(P\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合ですが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の部分空間であるとは限りません。なぜなら、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の平面は原点を通過するとは限らないからです。平面\(P\)が原点を通過しない場合、部分空間であるための条件の1つである、\begin{equation*}0\in P
\end{equation*}が満たされないため、\(P\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間でありません。したがって、平面\(P\)の直交補空間を、\begin{equation*}P^{\perp }=\left\{ n\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall x\in P:n\cdot x=0\right\}
\end{equation*}と定義することはできません。一方、平面\(P\)上の2点を結ぶベクトルからなる集合\begin{equation*}X=\left\{ x-y\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x,y\in L\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分空間であるため（確認してください）、この集合の直交補空間\begin{equation*}X^{\perp }=\left\{ n\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall x,y\in P:n\cdot x=0\right\}
\end{equation*}は常に定義可能です。そこで本稿では、この直交補空間\(X^{\perp }\)を平面\(P\)の直交補空間の定義として採用しました。つまり、\begin{equation}P^{\perp }=\left\{ n\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall x,y\in P:n\cdot x=0\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義しました。一方、平面\(P\)が原点を通過する場合、\(P\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の部分空間であるため（確認してください）、本来の意味でのその直交補空間\begin{equation*}P^{\perp }=\left\{ n\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall x\in P:n\cdot x=0\right\}
\end{equation*}をとることができます。ただ、これは\(\left(1\right) \)と一致します。