実ベクトル空間の基底と次元

実ベクトル空間を張るベクトル集合

実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)の要素である有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、これらのベクトルの線型結合とは、何らかのスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}という形で表されるベクトルです。

ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)の線型結合\(a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots+a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\)がどのようなベクトルになるかはスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)の選び方に依存します。したがって、ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の線型結合をすべて集めることにより得られる集合は、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) =\left\{ a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となります。これをベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)の線型スパンと呼びます。明らかに、\begin{equation*}\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、それをベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)の何らかの線型結合として表現できるならば、すなわち、\begin{equation*}\exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)はベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)上で線型従属であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となります。

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、それをベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\in \mathbb{R} ^{n}\)のいかなる線型結合としても表現できないならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}\not=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル\(\boldsymbol{x}\)はベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)上で線型独立であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots
,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となります。

複数かつ有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、この中の少なくとも1つのベクトルが他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表される場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \exists a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}_{i}=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{i-1}\boldsymbol{x}_{i-1}+a_{i+1}\boldsymbol{x}_{i+1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は線型従属であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\boldsymbol{x}_{i}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{i-1},\boldsymbol{x}_{i+1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となります。変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}に対して、以下の条件\begin{equation*}
\exists i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}\not=0
\end{equation*}を満たす解\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)が存在することは、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型従属であるための必要十分条件です。なお、ゼロベクトルだけからなる集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}は線型従属であるものとみなします。

複数かつ有限\(m\in \mathbb{N} \)個のベクトルを要素として持つベクトル集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、この中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できない場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \forall a_{1},\cdots
,a_{i-1},a_{i+1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}_{i}\not=a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{i-1}\boldsymbol{x}_{i-1}+a_{i+1}\boldsymbol{x}_{i+1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は線型独立であると言います。同じことを線型スパンを用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :\boldsymbol{x}_{i}\not\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{i-1},\boldsymbol{x}_{i+1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}となります。変数\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation*}a_{1}\boldsymbol{x}_{1}+\cdots +a_{m}\boldsymbol{x}_{m}=\boldsymbol{0}
\end{equation*}の解が、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :a_{i}=0
\end{equation*}を満たす\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in \mathbb{R} \)だけであることは、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が線型独立であるための必要十分条件です。なお、非ゼロベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)だけからなる集合\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{x}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}は線型独立であるものとみなします。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(X\)が与えられたとき、それに対してあるベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が存在して、\(X\)の要素であるすべてのベクトルが\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)上で線型従属であるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in X:\boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( \left\{
\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
X\subset \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は集合\(X\)を張ると言います。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は自身の部分集合であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るベクトル集合について考えることもできます。つまり、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)を張ることとは、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}\in \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}\subset \mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、以下の関係\begin{equation*}
\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}は常に成り立つため、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)を張ることと、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}=\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \end{equation*}が成り立つことは必要十分です。

第\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分が\(1\)であり他のすべての成分が\(0\)であるような\(n\)次元ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{i}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。その上で、以下のベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} =\left\{
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底（standard basis）と呼びます。標準基底の要素であるベクトル\(\boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\)を標準基底ベクトル（standard basis vector）と呼びます。

標準基底は\(\mathbb{R} ^{n}\)を張ります。加えて、標準基底は線型独立です。

以上の命題より、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素であるすべてのベクトルは、標準基底\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)に属するベクトルの線型結合として表現可能であることが明らかになりました。つまり、標準基底\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)が与えられれば、\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在するすべてのベクトルを表現できるということです。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るベクトル集合は標準基底だけではありません。しかも、そのようなベクトル集合は無数に存在します。以下の例より明らかです。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るベクトル集合は線型独立であるものに限定されません。以下の例より明らかです。

実ベクトル空間の基底

先に例を通じて確認したように、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が存在するとともに、そのような\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)の中には線型独立であるものと、線型従属であるものの双方のパターンが存在することが明らかになりました。そこで、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るとともに線型独立である場合、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)を\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底（basis）と呼びます。\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)の要素である個々のベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)を基底ベクトル（basis vector）と呼びます。

改めて整理すると、ベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底であることとは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathbb{R} ^{n}=\mathrm{span}\left( \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ \left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がともに成り立つこととして定義されます。条件\(\left( a\right) \)は、基底\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)を張ること、すなわち、\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在するベクトルはいずれも基底ベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\)の線型結合としてそれぞれの表現できることを意味し、条件\(\left( b\right) \)は、基底\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)の中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できないことを意味します。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \subset \mathbb{R} ^{n}\)が線型従属である場合には、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{m}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底ではないことに注意してください。

基底に含まれる要素の個数

先に例を通じて確認したように、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を張る線型独立なベクトル集合、すなわち\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底は無数に存在します。では、\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底どうしを比べたとき、要素の個数が最も少ない基底には何個のベクトルが含まれているのでしょうか。

実は、\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底はいずれも同じ個数のベクトルを要素として持ちます。

標準基底\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)は実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底ですが、標準基底は\(n\)個のベクトルを要素として持つため、上の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底はいずれも\(n\)個のベクトルを要素として持ちます。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底はいずれも\(n\)個のベクトルを要素として持つことが明らかになりました。つまり、線型独立なベクトルを使って\(\mathbb{R} ^{n}\)上のすべてのベクトルを表現するためには\(n\)個のベクトルが必要です。言い換えると、\(n\)個よりも少ないベクトルしか与えられておらず、なおかつそれらが線型独立である場合、それらのベクトルをいかなる形で線型結合しても、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のすべてのベクトルを表現し尽くすことはできません。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るベクトル集合が\(n\)個よりも多い要素を持つ場合、そのベクトル集合は線型従属であることが確定します。なぜなら、そのベクトル集合が線型独立であるものと仮定すると、要素の個数が\(n\)よりも大きい\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底が存在することとなり、それは先の命題と矛盾するからです。

\(n\)次元実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底はいずれも\(n\)個のベクトルを要素として持つことが明らかになりました。逆に、\(n\)個の要素を持つ線型独立なベクトル集合を任意に選んだ場合、それは\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底になることが保証されます。

実ベクトル空間の次元

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るために必要なベクトルの個数の最小値を\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元（dimension）と呼び、それを、\begin{equation*}\dim \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。

先に明らかにしたように、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底はいずれも\(n\)個のベクトルを要素として持つため、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るために必要な「線型独立」なベクトルの個数の最小値は\(n\)です。では、線型従属なベクトルを考察対象に含めた場合にはどうなるでしょうか。つまり、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を張る線型従属なベクトル集合の中には、要素の個数が\(n\)よりも少ないものが存在するのでしょうか。存在しません。

繰り返しになりますが、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るために必要な「線型独立」なベクトルの個数の最小値は\(n\)です。さらに、上の命題より、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るために必要な「線型従属」なベクトルの個数の最小値は\(n\)を上回ります。したがって、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るために必要なベクトルの個数の最小値、すなわち\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元は\(n\)であることが明らかになりました。

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元が\(n\)であることは、\(\mathbb{R} ^{n}\)を張るために必要なベクトルの個数の最小値が\(n\)であることを意味します。つまり、\(n\)個のベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{n}\)を適切に選べば、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の任意のベクトルはいずれも\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{n}\)の線型結合として表現可能です。

加えて、それらのベクトル\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{n}\)からなるベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{n}\right\} \)が線型独立であることが確定しています。つまり、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底であるということです。なぜなら、線型従属なベクトルによって\(\mathbb{R} ^{n}\)を張ろうとすると、必要なベクトルの個数は必ず\(n\)を超えてしまうからです。加えて、\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底はいずれも\(n\)個の要素を持つため、\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元\(n\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底に含まれるベクトルの個数でもあります。

\(n\)個のベクトルからなる線型独立なベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{n}\right\} \)を構成すると、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底になることが確定しています。\(\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{n}\)とは異なるベクトル\(\boldsymbol{v}\)を任意に選んでベクトル集合\(\left\{ \boldsymbol{v},\boldsymbol{x}_{1},\cdots ,\boldsymbol{x}_{n}\right\} \)を構成すると、これは線型従属になってしまいます。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の次元\(n\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)において選ぶことができる線型独立なベクトルの個数の最大値でもあります。

演習問題