ベクトル減法（ベクトル差）

ベクトル減法

2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}+\left( -\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}と定義されるベクトル\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\)を\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)のベクトル差（vector difference）や差（difference）などと呼びます。ただし、左辺の\(-\)はベクトル差、右辺の\(+\)はベクトル和、\(-\boldsymbol{y}\)は\(\boldsymbol{y}\)の逆ベクトルを表す記号です。

ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ベクトルの逆ベクトルは存在することが保証されるため\(-\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)です。さらに、ベクトルどうしのベクトル和はベクトルであることが保証されるため\(\boldsymbol{x}+\left( -\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)です。以上の事実とベクトルの差の定義より、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}:\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち\(\mathbb{R} ^{n}\)がベクトル減法\(-\)について閉じていることが保証されます。このような事情を踏まえると、ベクトルを成分とするそれぞれの順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、やはりベクトルであるベクトル差\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を定める二項演算\begin{equation*}-:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。このような演算をベクトル減法（vector subtraction）と呼びます。順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \)に対してベクトル減法\(-\)を適用することを、\(\boldsymbol{x}\)から\(\boldsymbol{y}\)を引く（subtract）と言います。

ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} &=&\boldsymbol{x}+\left( -\boldsymbol{y}\right) \quad \because \text{ベクトル差の定義} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left[ -\left( y_{1},\cdots
,y_{n}\right) \right] \quad \because \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n} \\
&=&\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) +\left( -y_{1},\cdots ,-y_{n}\right)
\quad \because \text{逆ベクトルの定義} \\
&=&\left( x_{1}+\left( -y_{1}\right) ,\cdots ,x_{n}+\left( -y_{n}\right)
\right) \quad \because \text{ベクトル和の定義} \\
&=&\left( x_{1}-y_{1},\cdots ,x_{n}-y_{n}\right) \quad \because \text{差の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}=\left( x_{1}-y_{1},\cdots ,x_{n}-y_{n}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただし、左辺の\(-\)はベクトル差、右辺の\(-\)は\(\mathbb{R} \)上の減法を表す記号です。つまり、\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)のベクトル差とはそれらの対応する成分を引くことにより得られるベクトルです。

ベクトル減法は同一の空間に属する2つのベクトルに対してのみ定義されます。異なる空間に属するベクトルどうしにベクトル減法を適用することはできません。

ベクトル減法の解釈

空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する2つの点\(X,Y\)を任意に選んだ上で、これらの点の位置ベクトルを、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x} &\in &\mathbb{R} ^{n} \\
\boldsymbol{y} &\in &\mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}でそれぞれ表現します。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点座標が\(\boldsymbol{x}\)であり、ベクトル\(\overrightarrow{OY}\)の終点座標が\(\boldsymbol{y}\)です。これらの位置ベクトルのベクトル差は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}+\left( -\boldsymbol{y}\right)
\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}ですが、これはベクトル\(\overrightarrow{OX}+\left( -\overrightarrow{OY}\right) \)の終点座標と一致します。

例（ベクトル減法の解釈）

2次元空間上に存在する2つの点\(X,Y\)を選んだ上で、これらの点の位置ベクトルを、\begin{eqnarray*}\left( x_{1},x_{2}\right) &\in &\mathbb{R} ^{2} \\
\left( y_{2},y_{2}\right) &\in &\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}でそれぞれ表現します。つまり、ベクトル\(\overrightarrow{OX}\)の終点座標が\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)であり、ベクトル\(\overrightarrow{OY}\)の終点座標が\(\left( y_{2},y_{2}\right) \)です。これらの位置ベクトルのベクトル差は、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) -\left( y_{1},y_{2}\right) =\left(
x_{1},x_{2}\right) +\left[ -\left( y_{1},y_{2}\right) \right] \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}ですが、これはベクトル\(\overrightarrow{OX}+\left( -\overrightarrow{OY}\right) \)の終点座標と一致します。

図から明らかであるように、これは2つのベクトル\(\overrightarrow{OX},-\overrightarrow{OY}\)によって形作られる平行四辺形の対角線の終点の位置ベクトルです。

ゼロベクトルとのベクトル減法

ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それとゼロベクトル\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間には、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}-\boldsymbol{0} &=&\boldsymbol{x} \\
\boldsymbol{0}-\boldsymbol{x} &=&-\boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。つまり、ベクトルからゼロベクトルを引いても変化は起こらず、ゼロベクトルからベクトルを引くと逆ベクトルが得られます。

ベクトル和やベクトル差の逆ベクトル

\(\mathbb{R} ^{n}\)はベクトル加法とベクトル減法について閉じているため、ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それらのベクトル和\(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\)やベクトル差\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\)もまたベクトルです。任意のベクトルは逆ベクトルを持つため\(-\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) \)や\(-\left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right) \)はいずれもベクトルであることが保証されますが、これらについては、\begin{eqnarray*}-\left( \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) &=&-\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \\
-\left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right) &=&\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。つまり、ベクトル和やベクトル差の逆ベクトルはいずれもベクトル差を用いて表現できます。

演習問題