ベクトル
力や速度、運動量などのように「大きさ」と「方向」という2種類の情報によって表現される量をベクトルと呼びます。ベクトルは有向線分を用いて幾何的に表現したり、実数の組を用いて代数的に表現することができます。
体と非空の集合上に定義されたベクトル加法とスカラー乗法と呼ばれる演算がベクトル空間の公理を満たす場合、そのような集合をベクトル空間と呼びます。ここではベクトル空間を定義した上で、その基本的な性質を確認します。
公理主義の立場からベクトル空間を定義した上で、そこに定義される演算の基本的な性質を確認します。
力や速度、運動量などのように「大きさ」と「方向」という2種類の情報によって表現される量をベクトルと呼びます。ベクトルは有向線分を用いて幾何的に表現したり、実数の組を用いて代数的に表現することができます。
ベクトル空間上に定義されたベクトル加法が満たす性質を、ベクトル空間の公理系から導きます。また、ベクトル加法を用いて、ベクトル減法と呼ばれる新たな演算を定義します。
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体K上のベクトル空間Vにおいて定義されているベクトル加法とスカラー乗法によって、Vの部分集合Xが体K上のベクトル空間になっている場合、XをVの部分ベクトル空間や部分空間などと呼びます。
ベクトル空間が与えられたとき、その部分ベクトル空間どうしの共通部分や和(ミンコワスキー和)もまた部分ベクトル空間になる一方、和集合は部分ベクトル空間になるとは限りません。
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以下の分野の知識があると本節の内容を円滑に学習できます。
実数を特徴づける公理を出発点とした上で、実数空間上に定義された演算、順序、そして実数の連続性などについて議論します。さらに、数列や収束列、実数空間上の位相、実数空間上に定義された関数の性質などについて議論します。
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。
ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。
実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。
多変数関数(スカラー場)という概念を定義するとともに、多変数関数が有限な実数へ収束すること、および連続であることの意味を定義した上で、連続な多変数関数の性質について解説します。