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MATRIX

ベクトル空間

OVERVIEW

ベクトル空間

体と非空の集合上に定義されたベクトル加法とスカラー乗法と呼ばれる演算がベクトル空間の公理を満たす場合、そのような集合をベクトル空間と呼びます。ここではベクトル空間を定義した上で、その基本的な性質を確認します。

TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

ベクトル空間の定義

公理主義の立場からベクトル空間を定義した上で、そこに定義される演算の基本的な性質を確認します。

ベクトル

力や速度、運動量などのように「大きさ」と「方向」という2種類の情報によって表現される量をベクトルと呼びます。ベクトルは有向線分を用いて幾何的に表現したり、実数の組を用いて代数的に表現することができます。

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ベクトル空間の定義

体と非空の集合上に定義されたベクトル加法とスカラー乗法と呼ばれる演算がベクトル空間の公理を満たす場合、そのような集合をベクトル空間と呼びます。

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ベクトル加法の性質

ベクトル空間上に定義されたベクトル加法が満たす性質を、ベクトル空間の公理系から導きます。また、ベクトル加法を用いて、ベクトル減法と呼ばれる新たな演算を定義します。

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SECTION 2

部分ベクトル空間

準備中

部分ベクトル空間

体K上のベクトル空間Vにおいて定義されているベクトル加法とスカラー乗法によって、Vの部分集合Xが体K上のベクトル空間になっている場合、XをVの部分ベクトル空間や部分空間などと呼びます。

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部分ベクトル空間の集合演算

ベクトル空間が与えられたとき、その部分ベクトル空間どうしの共通部分や和(ミンコワスキー和)もまた部分ベクトル空間になる一方、和集合は部分ベクトル空間になるとは限りません。

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SECTION 3

準備中

準備中

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

以下の分野の知識があると本節の内容を円滑に学習できます。

実数

実数を特徴づける公理を出発点とした上で、実数空間上に定義された演算、順序、そして実数の連続性などについて議論します。さらに、数列や収束列、実数空間上の位相、実数空間上に定義された関数の性質などについて議論します。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。

ユークリッド空間上の点列

ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。

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ユークリッド位相

ユークリッド距離をもとにユークリッド空間上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。

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ベクトル値関数(曲線)

実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。

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多変数関数(スカラー場)

本節ではスカラー場(多変数関数)が有限な実数へ収束することの意味や、スカラー場が連続であることの意味を解説します。本節で得られる知識は後にスカラー場の微分(全微分・方向微分・偏微分)について学ぶ上での前提知識となります。

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