線型結合の一意性
有限次元\(m\)のベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の基底を任意に選び、それを、\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset V
\end{equation*}で表記します。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ V=\mathrm{span}\left( \left\{ x_{1},\cdots
,x_{m}\right\} \right) \\
&&\left( b\right) \ \left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \text{は線型独立}
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。条件\(\left( a\right) \)は、基底\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{m}\right\} \)が\(V\)を張ること、すなわち、\(V\)上に存在するベクトルはいずれも基底ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合としてそれぞれの表現できることを意味し、条件\(\left( b\right) \)は、基底\(\left\{x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \)の中のどのベクトルも他の\(m-1\)個のベクトルの線型結合として表現できないことを意味します。
ベクトル空間上に存在するベクトル\(x\in V\)を任意に選んだとき、\(\left( a\right) \)より、\(x\)は基底ベクトル\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の何らかの線型結合として表現することができます。つまり、\begin{equation*}\exists a_{1},\cdots ,a_{m}\in K:x=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、それぞれのベクトル\(x\)に対して、それに対応する\(x_{1},\cdots ,x_{m}\)の線型結合は一意的に定まることが保証されます。
命題（線型結合の一意性）
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の基底\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset V\)が与えられているものとする。ベクトル\(x\in V\)を任意に選んだとき、以下の条件\begin{equation*}x=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)の組合せはそれぞれ一意的に定まる。
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{m}\in K\)の組合せはそれぞれ一意的に定まる。
例（線型結合の一意性）
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)はベクトル空間です。第\(i\)成分が\(1\)であり他のすべての成分が\(0\)であるような\(n\)次元ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{i}\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} =\left\{
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底です。先の命題より、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\cdots +a_{n}\boldsymbol{e}_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =a_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) +\cdots +a_{n}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラーの組\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)は一意的に定まります。実際、\(\left( 1\right) \)は以下の条件\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}と必要十分であるため、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =x_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) +\cdots +x_{n}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。以上より、標準基底\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)を採用した場合、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\cdots +x_{n}\boldsymbol{e}_{n}
\end{equation*}という形の線型結合でのみ表現されることが明らかになりました。
\end{equation*}で表記します。\(\mathbb{R} ^{n}\)の標準基底\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} =\left\{
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底です。先の命題より、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\cdots +a_{n}\boldsymbol{e}_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =a_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) +\cdots +a_{n}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラーの組\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)は一意的に定まります。実際、\(\left( 1\right) \)は以下の条件\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}と必要十分であるため、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =x_{1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) +\cdots +x_{n}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。以上より、標準基底\(\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\} \)を採用した場合、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\cdots +x_{n}\boldsymbol{e}_{n}
\end{equation*}という形の線型結合でのみ表現されることが明らかになりました。
例（線型結合の一意性）
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)はベクトル空間です。非ゼロの実数\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選びます。その上で、第\(i\)成分が\(c\)であり他の任意の成分が\(0\)であるような\(n\)次元ベクトルを、\begin{equation*}\boldsymbol{v}_{i}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
c \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。その上で、以下のベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} =\left\{
\left(
\begin{array}{c}
c \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
c\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定義します。\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底です。先の命題より、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots +a_{n}\boldsymbol{v}_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =a_{1}\left(
\begin{array}{c}
c \\
\vdots \\
0\end{array}\right) +\cdots +a_{n}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
c\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラーの組\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)は一意的に定まります。実際、\(\left( 1\right) \)は以下の条件\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
ca_{1} \\
\vdots \\
ca_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}と必要十分であるため、これと\(c\not=0\)より、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\frac{x_{1}}{c}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) +\cdots +\frac{x_{n}}{c}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。以上より、基底\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)を採用した場合、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\frac{x_{1}}{c}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots +\frac{x_{n}}{c}\boldsymbol{v}_{n}
\end{equation*}という形の線型結合でのみ表現されることが明らかになりました。
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
c \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表記します。その上で、以下のベクトル集合\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} =\left\{
\left(
\begin{array}{c}
c \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
c\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定義します。\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底です。先の命題より、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=a_{1}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots +a_{n}\boldsymbol{v}_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =a_{1}\left(
\begin{array}{c}
c \\
\vdots \\
0\end{array}\right) +\cdots +a_{n}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
c\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラーの組\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in \mathbb{R} \)は一意的に定まります。実際、\(\left( 1\right) \)は以下の条件\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
ca_{1} \\
\vdots \\
ca_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}と必要十分であるため、これと\(c\not=0\)より、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\frac{x_{1}}{c}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) +\cdots +\frac{x_{n}}{c}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。以上より、基底\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)を採用した場合、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\frac{x_{1}}{c}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots +\frac{x_{n}}{c}\boldsymbol{v}_{n}
\end{equation*}という形の線型結合でのみ表現されることが明らかになりました。
例（線型結合の一意性）
実行列空間\(\left( \mathbb{R} ,M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)はベクトル空間です。第\(ij\)成分が\(1\)であり他のすべての成分が\(0\)であるような\(m\times n\)行列を、\begin{equation*}E_{ij}\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}で表記します。\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の標準基底\begin{equation*}\left\{ E_{11},\cdots ,E_{mn}\right\} =\left\{
\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix},\cdots ,\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底です。先の命題より、それぞれの行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{equation*}A=b_{11}E_{11}+\cdots +b_{mn}E_{mn}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}=b_{11}\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix}+\cdots +b_{mn}\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラーの組\(b_{11},\cdots ,b_{mn}\in \mathbb{R} \)は一意的に定まります。実際、\(\left( 1\right) \)は以下の条件\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b_{11} & \cdots & b_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & \cdots & b_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}と必要十分であるため、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}=a_{11}\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix}+\cdots +a_{mn}\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\end{equation*}を得ます。以上より、標準基底\(\left\{ E_{11},\cdots,E_{mn}\right\} \)を採用した場合、それぞれの行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は、\begin{equation*}A=a_{11}E_{11}+\cdots +a_{mn}E_{mn}
\end{equation*}という形の線型結合でのみ表現されることが明らかになりました。
\end{equation*}で表記します。\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の標準基底\begin{equation*}\left\{ E_{11},\cdots ,E_{mn}\right\} =\left\{
\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix},\cdots ,\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}は\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底です。先の命題より、それぞれの行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{equation*}A=b_{11}E_{11}+\cdots +b_{mn}E_{mn}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}=b_{11}\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix}+\cdots +b_{mn}\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}
\quad \cdots (1)
\end{equation}を満たすスカラーの組\(b_{11},\cdots ,b_{mn}\in \mathbb{R} \)は一意的に定まります。実際、\(\left( 1\right) \)は以下の条件\begin{equation*}\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b_{11} & \cdots & b_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & \cdots & b_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}と必要十分であるため、\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}=a_{11}\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix}+\cdots +a_{mn}\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\end{equation*}を得ます。以上より、標準基底\(\left\{ E_{11},\cdots,E_{mn}\right\} \)を採用した場合、それぞれの行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は、\begin{equation*}A=a_{11}E_{11}+\cdots +a_{mn}E_{mn}
\end{equation*}という形の線型結合でのみ表現されることが明らかになりました。
ベクトル空間上のベクトルの座標
ベクトル空間\(\left( K,V\right) \)の基底を任意に選んだ上で、それを、\begin{equation*}\beta =\left\{ x_{1},\cdots ,x_{m}\right\} \subset V
\end{equation*}で表記します。先の命題より、それぞれのベクトル\(x\in V\)に対して以下の条件\begin{equation*}x=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}
\end{equation*}を満たすスカラー\(a_{1},\cdots ,a_{n}\in K\)の組合せは一意的に定まることが保証されます。そこで、これらのスカラーを成分とするベクトルを、\begin{equation*}\left[ x\right] _{\beta }=\left(
\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{m}\end{array}\right)
\end{equation*}で表記し、これを基底\(\beta \)のもとでのベクトル\(x\)の座標ベクトル（coordinate vector of \(x\) with respect to the basis \(\beta \)）と呼びます。
例（実ベクトル空間上のベクトルの座標）
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)はベクトル空間です。\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底として標準基底\begin{equation*}\boldsymbol{e}=\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\}
=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を採用した場合、先に示したように、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\cdots +x_{n}\boldsymbol{e}_{n}
\end{equation*}と表現されるため、標準基底\(\boldsymbol{e}\)のもとでの\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{e}}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を採用した場合、先に示したように、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=x_{1}\boldsymbol{e}_{1}+\cdots +x_{n}\boldsymbol{e}_{n}
\end{equation*}と表現されるため、標準基底\(\boldsymbol{e}\)のもとでの\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{e}}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
例（実ベクトル空間上のベクトルの座標）
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)はベクトル空間です。\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底として非ゼロの実数\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)から定義されるベクトル集合\begin{equation*}\boldsymbol{v}=\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\}
=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
c \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
c\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を採用した場合、先に示したように、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\frac{x_{1}}{c}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots +\frac{x_{n}}{c}\boldsymbol{v}_{n}
\end{equation*}と表現されるため、基底\(\boldsymbol{v}\)のもとでの\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{v}}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{x_{1}}{c} \\
\vdots \\
\frac{x_{n}}{c}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
c \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
c\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を採用した場合、先に示したように、それぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)は、\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\frac{x_{1}}{c}\boldsymbol{v}_{1}+\cdots +\frac{x_{n}}{c}\boldsymbol{v}_{n}
\end{equation*}と表現されるため、基底\(\boldsymbol{v}\)のもとでの\(\boldsymbol{x}\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{v}}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{x_{1}}{c} \\
\vdots \\
\frac{x_{n}}{c}\end{array}\right)
\end{equation*}となります。
例（実行列空間上の行列の座標）
実行列空間\(\left( \mathbb{R} ,M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)はベクトル空間です。\(M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)の基底として標準基底\begin{equation*}E=\left\{ E_{11},\cdots ,E_{mn}\right\} =\left\{
\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix},\cdots ,\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を採用した場合、先に示したように、それぞれの行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は、\begin{equation*}A=a_{11}E_{11}+\cdots +a_{mn}E_{mn}
\end{equation*}と表現されるため、標準基底\(E\)のもとでの\(A\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ A\right] _{E}=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}となります。
\begin{pmatrix}
1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0\end{pmatrix},\cdots ,\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\right\} \subset M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を採用した場合、先に示したように、それぞれの行列\(A\in M_{m,n}\left( \mathbb{R} \right) \)は、\begin{equation*}A=a_{11}E_{11}+\cdots +a_{mn}E_{mn}
\end{equation*}と表現されるため、標準基底\(E\)のもとでの\(A\)の座標ベクトルは、\begin{equation*}\left[ A\right] _{E}=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}\end{equation*}となります。
同一のベクトルを対象としていても、採用する基底が変われば、そのベクトルの座標ベクトルは変化します。以下の例より明らかです。
例（ベクトルの座標は基底に依存する）
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{n}\right) \)はベクトル空間です。\(\mathbb{R} ^{n}\)の基底として標準基底\begin{equation*}\boldsymbol{e}=\left\{ \boldsymbol{e}_{1},\cdots ,\boldsymbol{e}_{n}\right\}
=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を採用した場合のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)の座標ベクトルが、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{e}}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}である一方で、非ゼロの実数\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)から定義される基底\begin{equation*}\boldsymbol{v}=\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\}
=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
c \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
c\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を採用した場合のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)の座標ベクトルが、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{v}}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{x_{1}}{c} \\
\vdots \\
\frac{x_{n}}{c}\end{array}\right)
\end{equation*}であることは先に示した通りです。したがって、例えば、以下のベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}に注目したとき、\begin{eqnarray*}
\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{e}} &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \\
\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{v}} &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{c} \\
\vdots \\
\frac{1}{c}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(c\not=0\)ゆえに、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{e}}\not=\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{v}}
\end{equation*}を得ます。
=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を採用した場合のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)の座標ベクトルが、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{e}}=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}である一方で、非ゼロの実数\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)から定義される基底\begin{equation*}\boldsymbol{v}=\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\cdots ,\boldsymbol{v}_{n}\right\}
=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
c \\
\vdots \\
0\end{array}\right) ,\cdots ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
c\end{array}\right) \right\} \subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を採用した場合のベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)の座標ベクトルが、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{v}}=\left(
\begin{array}{c}
\frac{x_{1}}{c} \\
\vdots \\
\frac{x_{n}}{c}\end{array}\right)
\end{equation*}であることは先に示した通りです。したがって、例えば、以下のベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}に注目したとき、\begin{eqnarray*}
\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{e}} &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\vdots \\
1\end{array}\right) \\
\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{v}} &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{c} \\
\vdots \\
\frac{1}{c}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(c\not=0\)ゆえに、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{e}}\not=\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\boldsymbol{v}}
\end{equation*}を得ます。
演習問題
問題（ベクトルの座標ベクトル）
実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)における以下の2つの基底\begin{eqnarray*}\alpha &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
3\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
-1\end{array}\right) \right\} \\
\beta &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。以下のベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
3 \\
5 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}について、\begin{eqnarray*}
&&\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\alpha } \\
&&\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\beta }
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
3\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2 \\
-1\end{array}\right) \right\} \\
\beta &=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。以下のベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{x}=\left(
\begin{array}{c}
3 \\
5 \\
-2\end{array}\right)
\end{equation*}について、\begin{eqnarray*}
&&\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\alpha } \\
&&\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\beta }
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。
問題（部分空間上のベクトルの座標）
実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\begin{equation*}P=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}
\end{equation*}に注目します。\(P\)は原点を通過する平面であるため、これは\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。以下のベクトル集合\begin{equation*}\beta =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
-1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}が\(P\)の基底であることを示してください。その上で、\(P\)上の基底として\(\beta \)を採用した場合、平面\(P\)上に存在する点\(\boldsymbol{x}\in P\)の座標ベクトルが、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\beta }=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
-x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}と定まることを示してください。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}
\end{equation*}に注目します。\(P\)は原点を通過する平面であるため、これは\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分空間です。以下のベクトル集合\begin{equation*}\beta =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0\end{array}\right) ,\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
-1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}が\(P\)の基底であることを示してください。その上で、\(P\)上の基底として\(\beta \)を採用した場合、平面\(P\)上に存在する点\(\boldsymbol{x}\in P\)の座標ベクトルが、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{x}\right] _{\beta }=\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
-x_{3}\end{array}\right)
\end{equation*}と定まることを示してください。
問題（ベクトル空間の座標）
実数が\(3\)以下の多項式関数からなる集合を、\begin{equation*}P_{3}=\left\{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ |\ f\text{は次数が}3\text{以下の多項式関数}\right\}
\end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,P_{3}\right) \)はベクトル空間です。以下の関数集合\begin{equation*}\beta =\left\{ 1+x,1+x^{2},x-x^{2}+2x^{3},1-x-x^{2}\right\}
\end{equation*}が\(P_{3}\)の基底であることを示してください。その上で、基底\(\beta \)のもとでの多項式関数\begin{equation*}-3+2x^{3}\in P_{3}
\end{equation*}の座標を特定してください。
\end{equation*}で表記します。\(\left( \mathbb{R} ,P_{3}\right) \)はベクトル空間です。以下の関数集合\begin{equation*}\beta =\left\{ 1+x,1+x^{2},x-x^{2}+2x^{3},1-x-x^{2}\right\}
\end{equation*}が\(P_{3}\)の基底であることを示してください。その上で、基底\(\beta \)のもとでの多項式関数\begin{equation*}-3+2x^{3}\in P_{3}
\end{equation*}の座標を特定してください。
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