部分ベクトル空間どうしの和
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分ベクトル空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選びます。これらの和（ミンコフスキー和）は、\begin{equation*}X_{1}+X_{2}=\left\{ x_{1}+x_{2}\in V\ |\ x_{1}\in X_{1}\wedge x_{2}\in
X_{2}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これもまた\(V\)の部分ベクトル空間になることが保証されます。
\end{equation*}もまた\(V\)の部分ベクトル空間である。
X_{2} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{2}=x_{3}=0\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらはともに\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分ベクトル空間です。和は、\begin{equation*}X_{1}+X_{2}=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{2}=0\right\}
\end{equation*}ですが、先の命題より、これもまた\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分ベクトル空間です。
\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,b\in \mathbb{R} \right\} \\
X_{2} &=&\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
c & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらはともに\(\left( \mathbb{R} ,M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)の部分ベクトル空間です。和は、\begin{equation*}X_{1}+X_{2}=\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,b,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、先の命題より、これもまた\(\left( \mathbb{R} ,M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)の部分ベクトル空間です。
X_{2}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これもまた\(V\)の部分ベクトル空間になることが保証されます（演習問題）。
有限個の部分ベクトル空間どうしの和
3個以上の部分ベクトル空間に関しても、それらの和を同様に定義できます。具体的には以下の通りです。
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、\(n\)個の部分ベクトル空間\(X_{1},\cdots ,X_{n}\subset V\)を任意に選びます。これらの和（ミンコフスキー和）は、\begin{equation*}X_{1}+\cdots +X_{n}=\left\{ x_{1}+\cdots +x_{n}\in V\ |\ x_{1}\in
X_{1},\cdots ,x_{n}\in X_{n}\right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}X_{i}=\left\{ \sum_{i=1}^{n}x_{i}\in V\ |\ \forall i\in
\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\in X_{i}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これもまた\(V\)の部分ベクトル空間になることが保証されます。
\end{equation*}もまた\(V\)の部分ベクトル空間である。
部分ベクトル空間の和集合の線型スパンとしての和
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分ベクトル空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選びます。これらの和集合は、\begin{equation*}X_{1}\cup X_{2}=\left\{ x\in V\ |\ x\in X_{1}\wedge x\in X_{2}\right\}
\end{equation*}と定義されます。部分ベクトル空間の定義より\(X_{1},X_{2}\)はともに非空であるため、それらの和集合\(X_{1}\cup X_{2}\)もまた非空であり、したがって、その線型スパン\begin{equation*}\mathrm{span}\left( X_{1}\cup X_{2}\right) =\left\{ a_{1}x_{1}+\cdots
+a_{m}x_{m}\in V\ |\ m\in \mathbb{N} \wedge x_{1},\cdots ,x_{m}\in X_{1}\cup X_{2}\wedge a_{1},\cdots ,a_{m}\in
X_{1}\cup X_{2}\right\}
\end{equation*}をとることができますが、実は、これは\(X_{1}\)と\(X_{2}\)の和と一致します。つまり、\begin{equation*}X_{1}+X_{2}=\mathrm{span}\left( X_{1}\cup X_{2}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つということです。
\end{equation*}が成立する。
上の命題は、ベクトル空間\(V\)の部分ベクトル空間どうしの和\(X_{1}+X_{2}\)の要素であるそれぞれのベクトルは和集合\(X\cup Y\)の要素であるベクトルの何らかの線型結合として表すことができることを意味します。線型スパンの定義より、以上の事実は、和\(X_{1}+X_{2}\)は和集合\(X_{1}\cup X_{2}\)を部分集合として持つ最小の部分ベクトル空間であることも意味します。
3個以上の部分ベクトル空間の和についても同様の命題が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。
\end{equation*}が成立する。
演習問題
\end{equation*}もまた\(V\)の部分ベクトル空間であることを示してください。
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。
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