部分空間どうしの和（ミンコフスキー和）

部分空間どうしの和は部分空間

体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられているものとします。つまり、ベクトル加法とスカラー乗法\begin{eqnarray*}+ &:&V\times V\rightarrow V \\
\cdot &:&K\times V\rightarrow V
\end{eqnarray*}と呼ばれる2つの演算が定義されているとともに、これらの演算がベクトル空間の公理\begin{eqnarray*}
&&\left( V_{1}\right) \ \forall x,y,z\in V:\left( x+y\right) +z=x+\left(
y+z\right) \\
&&\left( V_{2}\right) \ \exists 0\in V,\ \forall x\in V:x+0=x \\
&&\left( V_{3}\right) \ \forall x\in V,\ \exists -x\in V:x+\left( -x\right)
=0 \\
&&\left( V_{4}\right) \ \forall x,y\in V:x+y=y+x \\
&&\left( V_{5}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in V:a\left( bx\right)
=\left( ab\right) x \\
&&\left( V_{6}\right) \ \exists 1\in K,\ \forall x\in V:1x=x \\
&&\left( V_{7}\right) \ \forall a\in K,\ \forall x,y\in V:a\left( x+y\right)
=ax+ay \\
&&\left( V_{8}\right) \ \forall a,b\in K,\ \forall x\in V:\left( a+b\right)
x=ax+bx
\end{eqnarray*}を満たすということです。

体\(K\)上のベクトル空間\(V\)の非空な部分集合\(X\)がもとのベクトル空間\(V\)の部分空間であることとは、ベクトルがとり得る範囲を\(V\)から\(X\)へと制限することで得られる、\begin{equation*}\left( K,X\right)
\end{equation*}がベクトル空間であることを意味します。ただし、\(X\)が\(V\)の部分空間であることと、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in X:x+y\in X \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in K,\ \forall x\in X:ax\in X
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことは必要十分です。つまり、ベクトル空間\(V\)の部分空間はベクトル加法\(+\)とスカラー乗法\(\cdot \)について閉じている非空な\(V\)の部分集合です。

体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選びます。これらの和（ミンコフスキー和）は、\begin{equation*}X_{1}+X_{2}=\left\{ x_{1}+x_{2}\in V\ |\ x_{1}\in X_{1}\wedge x_{2}\in
X_{2}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これもまた\(V\)の部分ベクトル空間になります。しかも、これは\(X_{1}\)と\(X_{2}\)をともに部分集合として持つ（つまり、和集合\(X_{1}\cup X_{2}\)を部分集合として持つ）とともに、そのような部分空間の中でも最小の部分空間です。つまり、\begin{equation*}X_{1}\cup X_{2}\subset X_{1}+X_{2}
\end{equation*}が成り立つとともに、\(V\)の任意の部分空間\(X\)に対して、\begin{equation*}X_{1}\cup X_{2}\subset X\Rightarrow X_{1}+X_{2}\subset X
\end{equation*}が成り立つということです。

先の命題の主張は有限かつ任意個の部分空間についても成立します。具体的には以下の通りです。

体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、有限\(n\)個の部分空間\(X_{1},\cdots ,X_{n}\subset V\)を任意に選びます。これらの和（ミンコフスキー和）は、\begin{equation*}X_{1}+\cdots +X_{n}=\left\{ x_{1}+\cdots +x_{n}\in V\ |\ x_{1}\in
X_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n}\in X_{n}\right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}X_{i}=\left\{ \sum_{i=1}^{n}x_{i}\in V\ |\ \forall i\in
\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\in X_{i}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これもまた\(V\)の部分空間になることが保証されます。しかも、これは\(X_{1},\cdots ,X_{n}\)を部分集合として持つ（つまり、和集合\(X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}\)を部分集合として持つ）とともに、そのような部分空間の中でも最小の部分空間です。つまり、\begin{equation*}X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}\subset X_{1}+\cdots +X_{n}
\end{equation*}が成り立つとともに、\(V\)の任意の部分空間\(X\)に対して、\begin{equation*}X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}\subset X\Rightarrow X_{1}+\cdots +X_{n}\subset X
\end{equation*}が成り立つということです。

部分空間どうしの和は結合律を満たす

体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、3つの部分空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選ぶと、先の命題より、\begin{eqnarray*}&&\left( X_{1}+X_{2}\right) +X_{3} \\
&&X_{1}+\left( X_{2}+X_{3}\right)
\end{eqnarray*}はともに\(V\)のベクトル空間になります。さらに、これらは一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\left( X_{1}+X_{2}\right) +X_{3}=X_{1}+\left( X_{2}+X_{3}\right)
\end{equation*}が成り立つということです。つまり、部分空間どうしの和\(+\)は結合律を満たします。したがって、両者を区別せずに、\begin{equation*}X_{1}+X_{2}+X_{3}
\end{equation*}と表記できます。

部分空間どうしの和は交換律を満たす

体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選ぶと、先の命題より、\begin{eqnarray*}&&X_{1}+X_{2} \\
&&X_{2}+X_{1}
\end{eqnarray*}はともに\(V\)のベクトル空間になります。さらに、これらは一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}X_{1}+X_{2}=X_{2}+X_{1}
\end{equation*}が成り立つということです。つまり、部分空間どうしの和\(+\)は交換律を満たします。

部分空間どうしの差

体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選びます。これらの差（ミンコフスキー差）は、\begin{equation*}X_{1}-X_{2}=\left\{ x_{1}-x_{2}\in V\ |\ x_{1}\in X_{1}\wedge x_{2}\in
X_{2}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これもまた\(V\)の部分ベクトル空間になることが保証されます。

演習問題