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ベクトル空間

部分ベクトル空間どうしの和(ミンコフスキー和)

目次

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部分ベクトル空間どうしの和

体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分ベクトル空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選びます。これらの和(ミンコフスキー和)は、\begin{equation*}X_{1}+X_{2}=\left\{ x_{1}+x_{2}\in V\ |\ x_{1}\in X_{1}\wedge x_{2}\in
X_{2}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これもまた\(V\)の部分ベクトル空間になることが保証されます。

命題(部分ベクトル空間どうしの和)
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分ベクトル空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選ぶ。これらの和\begin{equation*}X_{1}+X_{2}
\end{equation*}もまた\(V\)の部分ベクトル空間である。
証明

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例(部分ベクトル空間どうしの和)
3次元の実ベクトル空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)について考えます。これはベクトル空間です。以下のような\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\begin{eqnarray*}X_{1} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{1}=x_{2}=0\right\} \\
X_{2} &=&\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{2}=x_{3}=0\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらはともに\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分ベクトル空間です。和は、\begin{equation*}X_{1}+X_{2}=\left\{ \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x_{2}=0\right\}
\end{equation*}ですが、先の命題より、これもまた\(\left( \mathbb{R} ,\mathbb{R} ^{3}\right) \)の部分ベクトル空間です。
例(部分ベクトル空間どうしの和)
体として実数体\(\mathbb{R} \)を採用した上で、\(\mathbb{R} \)の要素を成分として持つ次数\(2\)の正方行列からなる集合\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)を定義します。ベクトル加法として行列加法を、スカラー乗法として行列のスカラー乗法を採用すれば\(\left( \mathbb{R} ,M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)はベクトル空間になります。以下のような\(M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \)の部分集合\begin{eqnarray*}X_{1} &=&\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,b\in \mathbb{R} \right\} \\
X_{2} &=&\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
c & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらはともに\(\left( \mathbb{R} ,M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)の部分ベクトル空間です。和は、\begin{equation*}X_{1}+X_{2}=\left\{ \left.
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & 0\end{pmatrix}\ \right\vert \ a,b,c\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、先の命題より、これもまた\(\left( \mathbb{R} ,M_{2,2}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)の部分ベクトル空間です。
例(部分ベクトル空間どうしの差)
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分ベクトル空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選びます。これらの差(ミンコフスキー差)は、\begin{equation*}X_{1}-X_{2}=\left\{ x_{1}-x_{2}\in V\ |\ x_{1}\in X_{1}\wedge x_{2}\in
X_{2}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これもまた\(V\)の部分ベクトル空間になることが保証されます(演習問題)。

 

有限個の部分ベクトル空間どうしの和

3個以上の部分ベクトル空間に関しても、それらの和を同様に定義できます。具体的には以下の通りです。

体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、\(n\)個の部分ベクトル空間\(X_{1},\cdots ,X_{n}\subset V\)を任意に選びます。これらの和(ミンコフスキー和)は、\begin{equation*}X_{1}+\cdots +X_{n}=\left\{ x_{1}+\cdots +x_{n}\in V\ |\ x_{1}\in
X_{1},\cdots ,x_{n}\in X_{n}\right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{n}X_{i}=\left\{ \sum_{i=1}^{n}x_{i}\in V\ |\ \forall i\in
\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\in X_{i}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これもまた\(V\)の部分ベクトル空間になることが保証されます。

命題(有限個の部分ベクトル空間どうしの和)
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、\(n\)個の部分ベクトル空間\(X_{1},\cdots ,X_{n}\subset V\)を任意に選ぶ。これらの和\begin{equation*}X_{1}+\cdots +X_{n}
\end{equation*}もまた\(V\)の部分ベクトル空間である。
証明

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部分ベクトル空間の和集合の線型スパンとしての和

体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分ベクトル空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選びます。これらの和集合は、\begin{equation*}X_{1}\cup X_{2}=\left\{ x\in V\ |\ x\in X_{1}\wedge x\in X_{2}\right\}
\end{equation*}と定義されます。部分ベクトル空間の定義より\(X_{1},X_{2}\)はともに非空であるため、それらの和集合\(X_{1}\cup X_{2}\)もまた非空であり、したがって、その線型スパン\begin{equation*}\mathrm{span}\left( X_{1}\cup X_{2}\right) =\left\{ a_{1}x_{1}+\cdots
+a_{m}x_{m}\in V\ |\ m\in \mathbb{N} \wedge x_{1},\cdots ,x_{m}\in X_{1}\cup X_{2}\wedge a_{1},\cdots ,a_{m}\in
X_{1}\cup X_{2}\right\}
\end{equation*}をとることができますが、実は、これは\(X_{1}\)と\(X_{2}\)の和と一致します。つまり、\begin{equation*}X_{1}+X_{2}=\mathrm{span}\left( X_{1}\cup X_{2}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つということです。

命題(部分ベクトル空間の和集合の線型スパンとしての和)
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分ベクトル空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選ぶ。このとき、\begin{equation*}X_{1}+X_{2}=\mathrm{span}\left( X_{1}\cup X_{2}\right)
\end{equation*}が成立する。

証明

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上の命題は、ベクトル空間\(V\)の部分ベクトル空間どうしの和\(X_{1}+X_{2}\)の要素であるそれぞれのベクトルは和集合\(X\cup Y\)の要素であるベクトルの何らかの線型結合として表すことができることを意味します。線型スパンの定義より、以上の事実は、和\(X_{1}+X_{2}\)は和集合\(X_{1}\cup X_{2}\)を部分集合として持つ最小の部分ベクトル空間であることも意味します。

3個以上の部分ベクトル空間の和についても同様の命題が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

命題(有限個の部分ベクトル空間の和集合の線型スパンとしての和)
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、\(n\)個の部分ベクトル空間\(X_{1},\cdots ,X_{n}\subset V\)を任意に選ぶ。このとき、\begin{equation*}X_{1}+\cdots +X_{n}=\mathrm{span}\left( X_{1}\cup \cdots X_{n}\right)
\end{equation*}が成立する。

 

演習問題

問題(部分ベクトル空間どうしの差)
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、2つの部分ベクトル空間\(X_{1},X_{2}\subset V\)を任意に選びます。これらの差\begin{equation*}X_{1}-X_{2}
\end{equation*}もまた\(V\)の部分ベクトル空間であることを示してください。
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問題(等しい部分ベクトル空間どうしの和)
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)が与えられたとき、部分ベクトル空間\(X\subset V\)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}X+X=X
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。

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関連知識

部分ベクトル空間の定義と具体例

ベクトル空間の部分ベクトル空間と呼ばれる概念を定義するとともに、部分ベクトル空間であることを判定する方法を解説した上で、部分ベクトル空間の具体例を提示します。

ベクトルの線型結合と線型スパン(線型包)

ベクトルのスカラー倍どうしの和として表されるベクトルを線型結合と呼びます。ベクトル空間の部分集合に属するベクトルの線型結合をすべて集めてできる集合を線型スパンと呼びます。線型スパンは部分ベクトル空間です。