WIIS

MAPPINGS ON METRIC SPACES

距離空間上の写像

OVERVIEW

距離空間上の写像

定義域と終集合がいずれも距離空間であるような写像について、その極限や連続性など、基本的な性質について解説します。

TABLE OF CONTENTS

目次

LIMIT OF MAPPING

写像の極限

距離空間上に定義された写像の極限について解説します。

距離空間上の写像の極限(収束する写像)

距離空間の部分集合Aが与えられたとき、点aの任意の近傍がAとAの補集合の双方と交わるならば、aをAの境界点と呼びます。また、Aのすべての境界点からなる集合をAの境界と呼びます。

点列を用いた写像の収束判定

距離空間上に定義された写像が収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて証明するのは困難です。写像が収束する・収束しないことを点列を用いて判定する方法を解説します。

PROPERTIES OF LIMIT OF MAPPING

写像の極限の性質

写像の極限に関する基本的な性質について解説します。

距離空間上の合成写像の極限

距離空間上に定義された写像どうしの合成写像が収束するための条件を特定するとともに、その極限を求める方法を解説します。

CONTINUITY OF LIMIT OF MAPPING

写像の連続性

距離空間上に定義された写像の連続性について解説します。

距離空間上の写像の連続性

距離空間上に定義された写像が定義域上の集積点において連続であることの意味を定義します。また、定義域上の孤立点において写像は連続であるものと定めます。

位相を用いた写像の連続性の判定

距離空間上に定義された写像による任意の開集合の逆像が開集合であることは、その写像が定義域上において連続であるための必要十分条件です。

PROPERTIES OF CONTINUOUS MAPPING

連続写像の性質

写像の極限に関する基本的な性質について解説します。

距離空間上の連続写像による集合の像

距離空間上に定義された連続写像によるコンパクト集合の像もまたコンパクト集合です。コンパクト集合は有界な閉集合であるため、連続写像によるコンパクト集合の像は有界な閉集合です。

UNIFORM CONTINUOUS MAPPING

写像の一様連続性

距離空間上に定義された写像の一様連続性について解説します。

点列を用いた写像の一様連続性の判定

距離空間上に定義された写像が一様連続であることを点列を用いて判定する方法を解説します。また、一様連続写像はコーシー列をコーシー列へ移すことを示します。

距離空間上の写像の連続性と一様連続性の関係

距離空間もしくはその部分集合上に定義された一様連続写像は連続である一方で、連続写像は一様連続であるとは限りません。ただし、コンパクト集合上に定義された連続写像は一様連続になります。

LIPSCHITZ MAPPING

リプシッツ写像

リプシッツ写像について解説します。

距離空間上のリプシッツ写像

距離空間上に定義された写像がリプシッツ写像であることの意味を定義するとともに、写像がリプシッツ写像であること、ないしリプシッツ写像ではないことを判定する方法を解説します。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

前提知識

本節を学ぶ上で以下の知識が役に立ちます。

距離空間の定義

私たちが一般に想像する「距離」とはユークリッド距離ですが、公理主義にもとづいて距離という概念を定義する場合、ユークリッド距離は数ある距離概念の中の1つに過ぎません。公理主義の立場から距離空間と呼ばれる概念を定義します。

ユークリッド空間

ユークリッド空間を定義した上で、そこでの点列や位相の性質および各種の写像(ベクトル値関数・多変数関数・多変数のベクトル値関数)の極限や連続性などについて解説します。これらの知識は後に微分や積分について学ぶ際の土台となります。

距離空間上の点列

距離空間に属する無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列を定義するとともに、その極限など、基本的な概念について解説します。

数直線の位相

実数空間すなわち数直線の位相に関するテキストと演習問題です。実数空間上の開集合や閉集合など、位相を規定する概念について解説します。

ユークリッド位相

ユークリッド距離をもとにユークリッド空間上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。

ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。

ワイズの理念とサービス

REGISTER

プレミアム会員登録

CONTACT

メールフォーム