開集合を用いた連続写像の表現
非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。
定義域が距離空間\(\left(X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合が距離空間\(\left( Y,d_{Y}\right) \)であるような写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow Y
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(Y\)上の点\begin{equation*}f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}へ変換する写像です。
このような写像\(f\)が定義域上の点\(a\in A\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:\left[
d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left( x\right)
,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}となります。また、写像\(f\)が定義域\(A\)上において連続であることとは、\(f\)が\(A\)上の任意の点において連続であることとして、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:
\left[ d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,f\left( a\right) \right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。したがって、写像が定義域\(A\)上で連続であることを示すためには、通常、定義域上の点を任意に選んだ上で、写像がその点において連続であることを示すという手続きを踏むことになります。その一方で、そのような手続きを踏まずに、写像が定義域上において連続であることを直接示す手法も存在します。順番に解説します。
写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が与えられているものとします。その上で、\(f\)の終集合\(Y\)上の開集合\(B\in \mathcal{O}\left( Y\right) \)を任意に選びます。ただし、\(\mathcal{O}\left( Y\right) \)は\(Y\)上の開集合系を表す記号です。\(B\subset Y\)であるため\(f\)による\(B\)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in A\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}をとることができますが、一般に、これは\(f\)の定義域\(A\)上の開集合であるとは限りません。一方、\(f\)が連続写像である場合には、先のような逆像\(f^{-1}\left( B\right) \)が必ず\(A\)上の開集合になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{O}\left( Y\right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{O}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(\mathcal{O}\left( A\right) \)は\(A\)上の開集合系を表す記号です。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\mathcal{O}\left( Y\right) \)は\(Y\)上の開集合系であり、\(\mathcal{O}\left(A\right) \)は\(A\)上の開集合系である。
上の命題の逆もまた成立します。つまり、写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{O}\left( Y\right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{O}\left( A\right)
\end{equation*}を満たす場合には、\(f\)が定義域\(A\)上において連続になることが保証されます。
\end{equation*}を満たすならば、\(f\)は定義域\(A\)上において連続である。ただし、\(\mathcal{O}\left( Y\right) \)は\(Y\)上の開集合系であり、\(\mathcal{O}\left( A\right) \)は\(A\)上の開集合系である。
\end{equation*}を満たすことと、\(f\)は定義域\(A\)上において連続であることは必要十分である。ただし、\(\mathcal{O}\left( Y\right) \)は\(Y\)上の開集合系であり、\(\mathcal{O}\left(A\right) \)は\(A\)上の開集合系である。
写像\(f\)の定義域\(A\)が\(X\)である場合には、上の命題において\(\mathcal{O}\left( A\right) \)が\(\mathcal{O}\left( X\right) \)に置き換わります。つまり、写像\(f:X\rightarrow Y\)が定義域\(X\)上において連続であることと、以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{O}\left( Y\right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。
先の命題を用いれば、写像が定義域上のそれぞれの点において連続であることを示さなくても、その写像が定義域上で連続であることを直接的に示すことができます。
先の命題のもう一つのポイントは、写像の極限や距離の概念などを経由せずとも、開集合の概念（すなわち位相）さえ与えられれば写像の連続性という概念を表現できるということです。この事実は、開集合の概念だけが定義された一般の集合においても（このような集合を位相空間と呼びます）写像の連続性を定義できることを意味します。位相空間および位相空間における写像の連続性については場を改めて解説します。
写像が連続であることの判定
写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が与えられたとき、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{O}\left( Y\right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{O}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことを示せば、先の命題より、写像\(f\)が定義域\(A\)上において連続であることを示したことになります。特に、\(f\)の定義域\(A\)が\(X\)である場合、上の命題は、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{O}\left( Y\right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}となります。
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、\(f\)は定値写像です。\(Y\)上の開集合\(B\in \mathcal{O}\left( Y\right) \)を任意に選んだ上で、\(f\)による逆像をとると、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ b\in B\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
X & \left( if\ b\in B\right) \\
\phi & \left( if\ b\not\in B\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となりますが、\(X\)と\(\phi \)はともに\(X\)上の開集合であるため、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}を得ます。以上より、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{O}\left( Y\right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって先の命題より\(f\)は\(X\)上において連続です。
関数が連続でないことの証明
先の命題は写像が連続であるための必要十分条件を与えているため、写像が連続ではないことを示す際にも有用です。つまり、写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)が定義域\(A\)上で連続であることと、以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{O}\left( Y\right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{O}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分であるため、この命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}
\exists B\in \mathcal{O}\left( Y\right) :f^{-1}\left( B\right) \not\in
\mathcal{O}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は定義域\(A\)上に連続ではない点を持つことになります。特に、\(f\)の定義域\(A\)が\(X\)である場合、上の命題は、\begin{equation*}\exists B\in \mathcal{O}\left( Y\right) :f^{-1}\left( B\right) \not\in
\mathcal{O}\left( X\right)
\end{equation*}となります。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)上の距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。この写像\(f\)は\(0\)において連続ではないため、定義域\(\mathbb{R} \)上において連続ではありませんが、同様のことを先の命題から導きます。つまり、\begin{equation*}\exists B\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) :f^{-1}\left( B\right) \not\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。有界閉区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\begin{equation*}B=\left( \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}に注目すると、\(f\)による逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in B\right\} \quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \left( \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \right\}
\quad \because B=\left( \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \\
&=&[0,+\infty )
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)上の開集合ではないため、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) \not\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を得ます。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において連続ではありません。
演習問題
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、\(Y\)上の開集合は\(\phi \)と\(Y\)だけです。その上で、写像\begin{equation*}f:X\rightarrow Y
\end{equation*}を任意に選びます。\(f\)が\(X\)上において連続であることを示してください。
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。ただし、\(X\)上の距離関数\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)は2つの点\(x,y\in X\)の間の距離を、\begin{equation*}d_{X}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めます。\(f\)は\(X\)上において連続であることを示してください。
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\leq 2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)上の距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で連続ではないことを証明してください。
\end{equation*}を満たすことは必要十分です。ただし、\(\mathcal{O}\left( Y\right) \)は\(Y\)上の開集合系であり、\(\mathcal{O}\left( A\right) \)は\(A\)上の開集合系です。その上で、以下の命題\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}\left( Y\right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{A}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つこともまた、\(f\)が\(A\)上で連続であるための必要十分条件であることを示してください。ただし、\(\mathcal{A}\left( Y\right) \)は\(Y\)上の閉集合系であり、\(\mathcal{A}\left( A\right) \)は\(A\)上の閉集合系です。
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