実数値をとる写像どうしの和の極限
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d_{X}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}(x,y)=d_{X}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d_{X}\left( x,z\right) \leq
d_{X}\left( x,y\right) +d_{X}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
さらに、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)が与えられているものとします。ただし、\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は絶対値にもとづく通常の距離関数であり、2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。この場合、\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)は距離空間になります。
以上を踏まえた上で、定義域が距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合が実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)であるような2つの写像\begin{eqnarray*}f &:&X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}を定義します。つまり、これらの写像\(f,g\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} \)上の点である実数\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \\
g\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}へ変換する写像です。
2つの写像\(f,g:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられれば、それぞれの\(x\in A\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
f+g:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
2つの写像\(f,g\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)について、\(x\rightarrow a\)の場合に2つの写像\(f,g\)がともに\(\mathbb{R} \)上の点へ収束する状況を想定します。この場合、写像\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left[ f\left( x\right) +g\left( x\right) \right]
=\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、有限な実数へ収束する2つの実数値写像\(f,g\)の和の形をしている実数値写像\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまた有限な実数へ収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限と\(g\)の極限を加えれば\(f+g\)の極限が得られます。したがって、何らかの実数値写像\(f,g\)どうしの和の形をしている実数値写像\(f+g\)の収束可能性を検討する際には、写像の極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。
\end{equation*}と定める。写像\(f+g:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(A\)の集積点\(a\in X\)が与えられているものとする。\(f,g\)がともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するならば\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と定めます。つまり、これらの写像\(f,g\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)上に存在する実数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} \)上の点である実数\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \\
g\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(f,g\)がともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するならば、先の命題より写像\(f+g:\mathbb{R} \supset A\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定める一方で、\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。つまり、これらの写像\(f,g\)は一方の距離空間\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)上に存在する複素数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} \)上の点である実数\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \\
g\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)について、\(f,g\)がともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するならば、先の命題より写像\(f+g:\mathbb{C} \supset A\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定める一方で、\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。つまり、これらの写像\(f,g\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)上に存在するベクトル\(\boldsymbol{x}\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} \)上の点である実数\begin{eqnarray*}f\left( \boldsymbol{x}\right) &\in &\mathbb{R} \\
g\left( \boldsymbol{x}\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\(f,g\)がともに\(\boldsymbol{x}\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するならば、先の命題より写像\(f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(\boldsymbol{x}\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定める一方で、\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。つまり、これらの写像\(f,g\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} \)上の点である実数\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \\
g\left( x\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in X\)について、\(f,g\)がともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するならば、先の命題より\(f+g:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
複素数値をとる写像どうしの和の極限
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d_{X}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}(x,y)=d_{X}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d_{X}\left( x,z\right) \leq
d_{X}\left( x,y\right) +d_{X}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
さらに、複素数空間\(\left( \mathbb{C} ,d\right) \)が与えられているものとします。ただし、\(\mathbb{C} \)上の距離関数\(d:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの複素数\(x,y\in \mathbb{C} \)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\left\vert x-y\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right]
^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。ただし、\(\mathrm{Re}\left( x\right) \)は複素数\(x\)の実部であり、\(\mathrm{Im}\left(x\right) \)は複素数\(x\)の虚部です。この場合、\(\left( \mathbb{C} ,d\right) \)は距離空間になります。
以上を踏まえた上で、定義域が距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合が複素数空間\(\left( \mathbb{C} ,d\right) \)であるような2つの写像\begin{eqnarray*}f &:&X\supset A\rightarrow \mathbb{C} \\
g &:&X\supset A\rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}を定義します。つまり、これらの写像\(f,g\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{C} \)上の点である複素数\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &\in &\mathbb{C} \\
g\left( x\right) &\in &\mathbb{C} \end{eqnarray*}へ変換する写像です。
2つの写像\(f,g:X\supset A\rightarrow \mathbb{C} \)が与えられれば、それぞれの\(x\in A\)に対して、以下の複素数\begin{eqnarray*}\left( f+g\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) +g\left( x\right) \\
&=&\mathrm{Re}\left( f\left( x\right) +g\left( x\right) \right) +\mathrm{Im}\left( f\left( x\right) +g\left( x\right) \right) i
\end{eqnarray*}を値として定める写像\begin{equation*}
f+g:X\supset A\rightarrow \mathbb{C} \end{equation*}が定義可能です。
写像\(f,g\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)について、\(x\rightarrow a\)の場合に写像\(f,g\)がともに\(\mathbb{C} \)上の点へ収束する状況を想定します。この場合、写像\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left[ f\left( x\right) +g\left( x\right) \right]
=\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、複素数へ収束する複素数値写像\(f,g\)どうしの和の形をしている複素数値写像\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまた複素数へ収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限と\(g\)の極限を加えれば\(f+g\)の極限が得られます。したがって、何らかの複素数値関数\(f,g\)どうしの和の形をしている複素数値写像\(f+g\)の収束可能性を検討する際には、写像の極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。
\end{equation*}と定める。写像\(f+g:X\supset A\rightarrow \mathbb{C} \)を定義する。\(A\)の集積点\(a\in X\)が与えられているものとする。\(f,g\)がともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するならば\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と定める一方で、\(\mathbb{C} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの複素数\(x,y\in \mathbb{C} \)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( x,y\right) &=&\left\vert x-y\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、これらの写像\(f,g\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)上に存在する実数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{C} \)上の点である複素数\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &\in &\mathbb{C} \\
g\left( x\right) &\in &\mathbb{C} \end{eqnarray*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(f,g\)がともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するならば、先の命題より写像\(f+g:\mathbb{R} \supset A\rightarrow \mathbb{C} \)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、これらの写像\(f,g\)は一方の距離空間\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)上に存在する複素数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{C} \)上の点である複素数\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &\in &\mathbb{C} \\
g\left( x\right) &\in &\mathbb{C} \end{eqnarray*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)について、\(f,g\)がともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するならば、先の命題より写像\(f+g:\mathbb{C} \supset A\rightarrow \mathbb{C} \)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定める一方で、\(\mathbb{C} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの複素数\(x,y\in \mathbb{C} \)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( x,y\right) &=&\left\vert x-y\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、これらの写像\(f,g\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)上に存在するベクトル\(\boldsymbol{x}\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{C} \)上の点である複素数\begin{eqnarray*}f\left( \boldsymbol{x}\right) &\in &\mathbb{C} \\
g\left( \boldsymbol{x}\right) &\in &\mathbb{C} \end{eqnarray*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\(f,g\)がともに\(\boldsymbol{x}\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するならば、先の命題より写像\(f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset A\rightarrow \mathbb{C} \)もまた\(\boldsymbol{x}\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定める一方で、\(\mathbb{C} \)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの複素数\(x,y\in \mathbb{C} \)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( x,y\right) &=&\left\vert x-y\right\vert \\
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、これらの写像\(f,g\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{C} \)上の点である複素数\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &\in &\mathbb{C} \\
g\left( x\right) &\in &\mathbb{C} \end{eqnarray*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in X\)について、\(f,g\)がともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するならば、先の命題より写像\(f+g:X\supset A\rightarrow \mathbb{C} \)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{C} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
ベクトル値をとる写像どうしのベクトル和の極限
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d_{X}(x,y)=0\Leftrightarrow
x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d_{X}(x,y)=d_{X}\left( y,x\right)
\\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d_{X}\left( x,z\right) \leq
d_{X}\left( x,y\right) +d_{X}\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。
さらに、ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)が与えられているものとします。ただし、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\left\Vert x-y\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。この場合、\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)は距離空間になります。
以上を踏まえた上で、定義域が距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合がユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)であるような2つの写像\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f} &:&X\supset A\rightarrow \mathbb{R} ^{n} \\
\boldsymbol{g} &:&X\supset A\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}を定義します。つまり、これらの写像\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点であるベクトル\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n} \\
\boldsymbol{g}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
g_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}へ変換する写像です。
2つの写像\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられれば、それぞれの\(x\in A\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) \left( x\right) =\boldsymbol{f}\left( x\right) +\boldsymbol{g}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) +g_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right) +g_{n}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。
2つの写像\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)について、\(x\rightarrow a\)の場合に写像\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束する状況を想定します。この場合、写像\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束するとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) \left(
x\right) =\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
+\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{g}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left[ \boldsymbol{f}\left( x\right) +\boldsymbol{g}\left( x\right) \right] =\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
+\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{g}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) +g_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right) +g_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) =\lim_{x\rightarrow a}\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) +\lim_{x\rightarrow a}\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
g_{n}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、有限なベクトルへ収束する2つのベクトル値写像\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)のベクトル和の形をしている写像\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\)もまた有限なベクトルへ収束することが保証されるとともに、\(\boldsymbol{f}\)の極限と\(\boldsymbol{g}\)の極限のベクトル和をとれば\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\)の極限が得られます。したがって、何らかのベクトル値\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)どうしのベクトル和の形をしているベクトル値\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\)の収束可能性を検討する際には、写像の極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。
x\right) =\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
+\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{g}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}と定める一方で、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、これらの写像\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)上に存在する実数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点であるベクトル\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n} \\
\boldsymbol{g}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
g_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束するならば、先の命題より写像\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset A\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) \left(
x\right) =\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
+\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{g}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定める一方で、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、これらの写像\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)は一方の距離空間\(\mathbb{C} \)の部分集合\(A\)上に存在する複素数\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点であるベクトル\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n} \\
\boldsymbol{g}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
g_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{C} \)について、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束するならば、先の命題より写像\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}:\mathbb{C} \supset A\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) \left(
x\right) =\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
+\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{g}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定める一方で、\(\mathbb{R} ^{m}\)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} ^{m}\times \mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、これらの写像\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)は一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)上に存在するベクトル\(\boldsymbol{x}\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点であるベクトル\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m} \\
\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに\(\boldsymbol{x}\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束するならば、先の命題より写像\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}:\mathbb{R} ^{n}\supset A\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)もまた\(\boldsymbol{x}\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) \left(
x\right) =\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
+\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{g}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定める一方で、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、\begin{eqnarray*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。つまり、これらの写像\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点であるベクトル\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n} \\
\boldsymbol{g}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
g_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}へ変換する写像です。\(A\)の集積点\(a\in X\)について、\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)がともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束するならば、先の命題より写像\(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \boldsymbol{f}+\boldsymbol{g}\right) \left(
x\right) =\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
+\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{g}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
演習問題
\end{equation*}と定めます。写像\(f+g:X\supset A\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(A\)の集積点\(a\in X\)が与えられているものとします。\(f,g\)がともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するならば\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} \)上の点へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では以上の命題をイプシロン・デルタ論法を用いて証明しましたが、同じ命題を点列を用いて証明してください。
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