合成写像の極限
非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) ,\left( Z,d_{Z}\right) \)に加えて2つの写像\begin{eqnarray*}f &:&X\supset A\rightarrow Y \\
g &:&Y\supset B\rightarrow Z
\end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。ただし、\(f\)の値域が\(g\)の定義域の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}f\left( A\right) \subset B
\end{equation*}が成り立つということです。この場合には合成写像\begin{equation*}
g\circ f:X\supset A\rightarrow Z
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を像として定めます。
写像\(f\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)を任意に選びます。\(x\rightarrow a\)の場合に関数\(f\)は\(Y\)上の点へ収束するとともに、その極限がもう一方の写像\(g\)の定義域\(B\)上の点であるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists b\in B:\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つということです。さらに、写像\(g\)は\(x\rightarrow b\)の場合に\(Z\)上の点へ収束するとともに、その極限が\(g\left( b\right) \)と一致するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つということです（このとき、写像\(g\)は点\(b\)において連続である（continuous）と言います）。
以上の条件が満たされる場合、合成写像\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(Z\)上の点へ収束することが保証されるとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}となることが保証されます。
つまり、\(x\rightarrow a\)の場合に\(Y\)上の点\(b\)へ収束する写像\(f\)と点\(b\)において連続な写像\(g\)が与えられたとき、それらの合成写像\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(Z\)上の点へ収束することが保証されるとともに、その極限は\(g\left( b\right) =g\left(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \)と一致することを上の命題は保証しています。したがって、2つの写像\(f,g\)の合成写像\(g\circ f\)の収束可能性を判定する際には、写像の極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、これらがそれぞれ上述の条件を満たすことを確認すればよいということになります。
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) ,\left( Z,d_{Z}\right) \)に加えて写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)および写像\(g:Y\supset B\rightarrow Z\)が与えられているものとする。加えて、\(f\left( A\right) \subset B\)が成り立つものとする。この場合、合成写像\(g\circ f:X\supset A\rightarrow Z\)が定義可能である。\(f\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)に対して、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists b\in B:\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(Z\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}となる。
写像\(f\)の定義域が\(X\)であり、写像\(g\)の定義域が\(Y\)である場合には、先の命題において\(A,B\)が\(X,Y\)にそれぞれ置き換わります。具体的には以下の通りです。
\\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、先の命題より、\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(Z\)上の点へ収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。\(f\)は多項式関数である\(2x-1\)と\(x^{3}\)の合成写像であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(a\)は\(\mathbb{R} \)の集積点であるとともに、多項式関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( 2x-1\right) =2a-1
\end{equation*}が成り立ちます。写像\(x^{3}\)は点\(2a-1\)において定義されているとともに、多項式関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 2a-1}x^{3}=\left( 2a-1\right) ^{3}
\end{equation*}が成り立ちます（写像\(x^{3}\)は点\(2a-1\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
2x-1\right) ^{3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 2a-1\right) ^{3}\quad \because \text{合成写像の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},d_{1}\right) \)における距離関数\(d_{1}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{2}\)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\left(
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定め、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{2}\right) \)における距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数\(x^{2}+y^{2}\)と1変数の正弦関数\(\sin \left( x\right) \)の合成写像であることに注意してください。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の集積点であるとともに、多変数の多項式関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
x^{2}+y^{2}\right) =a^{2}+b^{2}
\end{equation*}が成り立ちます。写像\(\sin \left( x\right) \)は点\(a^{2}+b^{2}\)において定義されているとともに、正弦関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a^{2}+b^{2}}\sin \left( x\right) =\sin \left(
a^{2}+b^{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちます（写像\(\sin \left( x\right) \)は点\(a^{2}+b^{2}\)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\sin \left(
x^{2}+y^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sin \left( a^{2}+b^{2}\right) \quad \because \text{合成写像の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
先の命題が要求する条件の吟味
合成写像\(g\circ f\)の極限に関する先の命題では2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists b\in B:\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right)
\end{eqnarray*}を要求しています。条件\(\left( a\right) \)は、写像\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束するとともに、その極限\(b\)がもう一方の写像\(g\)の定義域上の点であることを要求しています。条件\(\left( b\right) \)は写像\(g\)が\(x\rightarrow b\)の場合に収束するとともに、その極限が\(g\left( b\right) \)と一致する（写像\(g\)は点\(b\)において連続）ことを要求しています。
条件\(\left( b\right) \)において、写像\(g\)の極限が\(g\left( b\right) \)と一致するという条件は必須なのでしょうか。写像\(g\)が\(x\rightarrow b\)の場合に収束する一方で、その極限が\(g\left( b\right) \)とは一致しない場合においても（写像\(g\)は点\(b\)において連続ではない）、合成写像\(g\circ f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束する事態は起こり得ますが、その場合、合成写像\(g\circ f\)の極限は\(g\left( b\right) \)と一致するとは限りません。したがって、合成写像\(g\circ f\)の極限が\(g\left( b\right) \)と一致することを保証するためには、写像\(g\)の極限が\(g\left( b\right) \)と一致するという条件を外すことはできません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定め、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x\not=0\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成関数\(g\circ f\)は関数\(g\)と一致します。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。その上で、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
\end{equation*}に注目します。写像\(f,g\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、写像\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、この点\(0\)について、写像\(g\)は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}0\quad
\because g\text{の定義} \\
&=&0 \\
&\not=&g\left( 0\right) \quad \because g\left( 0\right) =1
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は点\(0\)において連続ではないからです。したがって、先の命題の結論\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことを保証できません。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}0\quad \because g\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるのに対し、\begin{eqnarray*}
g\left( \lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right) &=&g\left( 0\right)
\quad \because \lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) \not=g\left(
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}となります。
先の命題は合成写像\(g\circ f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束するための条件を明らかにしています。では、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が収束しない場合や、\(x\rightarrow b\ \left( =\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) \right) \)の場合に\(g\)が収束しない場合などには、合成写像\(g\circ f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に収束しないとまで言えるのでしょうか。この主張は誤りです。
まずは、写像\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束しないにも関わらず、合成写像\(g\circ f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に収束する例を挙げます。
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x>0\right) \\
1 & \left( if\ x\leq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =0
\end{equation*}を定める場合、合成写像\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&0\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成関数\(g\circ f\)は定数関数\(0\)と一致します。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。その一方で、写像\(f,g\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、写像\(f\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}0\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}1\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となりますが、両者は異なるため、\(x\rightarrow 0\)の場合に\(f\)は収束しません。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}0\quad \because g\circ f=0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}を得ます。ちなみに、\begin{equation*}
\left( g\circ f\right) \left( 0\right) =0\quad \because g\circ f=0
\end{equation*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =\left( g\circ
f\right) \left( 0\right)
\end{equation*}もまた成立しています。
続いて、写像\(g\)が\(x\rightarrow b\ \left( =\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \)の場合に収束しないにも関わらず、合成写像\(g\circ f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に収束する例を挙げます。
\end{equation*}を定め、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x>1\right) \\
x & \left( if\ x=1\right) \\
x-1 & \left( if\ x<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。写像\(f,g\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、写像\(f\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
1-x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}1-\left( \lim_{x\rightarrow 0}x\right) ^{2} \\
&=&1-0^{2} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、この点\(1\)について、写像\(g\)は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+}g\left( x\right) &=&2 \\
\lim_{x\rightarrow 1-}g\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、\(g\)は\(x\rightarrow 1\)の場合に収束しないからです。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}g\left( f\left( x\right) \right) \\
&=&\lim_{y\rightarrow 1-}g\left( y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 1-}\left( y-1\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&1-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】