距離空間上の写像の連続性

点における写像の連続性

非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。

定義域が距離空間\(\left(X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合が距離空間\(\left( Y,d_{Y}\right) \)であるような写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow Y
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(Y\)上の点\begin{equation*}f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}へ変換する写像です。その上で、写像\(f\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)を任意に選びます。集積点の定義より、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( A\backslash \left\{
a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(N_{\delta }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\delta \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\delta }\left( a\right) =\left\{ x\in A\ |\ d_{X}\left( x,a\right)
<\delta \right\}
\end{equation*}です。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(A\)の点が必ず存在します。

写像\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(Y\)上の点へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in Y:\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(A\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x\right) \)の値が必ず何らかの点\(b\)へ限りなく近づくことを意味しますが、そのことをイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義すると、\begin{equation*}\exists b\in Y,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:
\left[ 0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left(
x\right) ,b\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}となります。

集積点の定義より、写像\(f\)は集積点\(a\)の周辺の点において定義されている一方で、点\(a\)自身において定義されているとは限りません。ただ、\(x\rightarrow a\)の場合に写像\(f\)が収束することを検討する際には、\(f\)は点\(a\)の周辺の点において定義されていればよく、点\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、写像\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合においても、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が収束する状況は起こり得ます。また、写像\(f\)が集積点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に収束する場合、その極限は点\(a\)に対して\(f\)が定める点\(f\left(a\right) \)と一致するとは限りません。

一方、写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)と定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)が与えられたとき、\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)は\(Y\)上の点へ収束し、さらにその極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) \)が\(f\left( a\right) \)と一致する場合には、すなわち、\(f\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)に対して以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in Y \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(f\)は点\(a\)において連続である（continuous at \(a\)）であると言います。逆に、\(f\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)に対して以上の3つの条件の中の少なくとも1つが成り立たない場合、写像\(f\)は点\(a\)において不連続である（discontinuous at \(a\)）と言います。

写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)の定義域上の点\(a\in A\)が定義域\(A\)の集積点ではない場合、\(a\)は\(A\)の孤立点になります。この場合、写像\(f\)は点\(a\)において連続であるものと定めます。その根拠は後ほど解説します。

写像は連続であるとは限らない

写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)と定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)が与えられたとき、写像\(f\)が点\(a\)において連続であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in Y \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義されます。したがって、これらの条件の中の少なくとも1つが成立しない場合、写像\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。

写像は点において連続であるとは限りません。まずは、条件\(\left( a\right) \)が成り立たないがゆえに連続ではないケースを挙げます。

続いて、条件\(\left( a\right) \)が成り立つ一方で条件\(\left( b\right) \)が成り立たないがゆえに連続ではないケースを挙げます。

最後に、条件\(\left( a\right) ,\left(b\right) \)が成り立つ一方で条件\(\left( c\right) \)が成り立たないがゆえに連続ではないケースを挙げます。

集合上で連続な写像

先に例を通じて確認したように、写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)は定義域\(A\)上のすべての点において連続であるとは限りません。そこで、写像\(f\)が連続な点からなる集合が\(B\subset A\)である場合、\(f\)は\(B\)上で連続である（continuous on \(B\)）と言います。特に、\(B=A\)である場合、すなわち写像\(f\)が定義域\(A\)上のすべての点において連続である場合、\(f\)は連続である（continuous）と言います。

演習問題