合成写像の連続性
非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) ,\left( Z,d_{Z}\right) \)に加えて2つの写像\begin{eqnarray*}f &:&X\supset A\rightarrow Y \\
g &:&Y\supset B\rightarrow Z
\end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。ただし、\(f\)の値域が\(g\)の定義域の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}f\left( A\right) \subset B
\end{equation*}が成り立つということです。この場合には合成写像\begin{equation*}
g\circ f:X\supset A\rightarrow Z
\end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を像として定めます。
写像\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であるものとします。合成写像の定義より\(f\left(a\right) \in B\)ですが、さらにもう一方の写像\(g\)が点\(f\left( a\right) \)において連続であるものとします。以上の条件が満たされる場合には、合成写像\(g\circ f\)もまた点\(a\)において連続になることが保証されます。
命題（合成写像の連続性）
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) ,\left( Z,d_{Z}\right) \)に加えて写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)および写像\(g:Y\supset B\rightarrow Z\)が与えられているものとする。加えて、\(f\left( A\right) \subset B\)が成り立つものとする。この場合、合成写像\(g\circ f:X\supset A\rightarrow Z\)が定義可能である。\(f\)の定義域上の点\(a\in A\)に対して\(f\left( a\right)\in B\)が成り立つ。以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は点}a\text{において連続である} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は点}f\left( a\right) \text{において連続である}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(g\circ f\)もまた点\(a\)において連続である。
&&\left( b\right) \ g\text{は点}f\left( a\right) \text{において連続である}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(g\circ f\)もまた点\(a\)において連続である。
例（合成写像の連続性）
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) ,\left( Z,d_{Z}\right) \)に加えて写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)および写像\(g:Y\supset B\rightarrow Z\)が与えられているものとします。加えて、\(f\left( A\right) \subset B\)が成り立つものとします。この場合、合成写像\(g\circ f:X\supset A\rightarrow Z\)が定義可能です。その上で、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は}A\text{上で連続である} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は}B\text{上で連続である}
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。点\(a\in A\)を任意に選んだとき、\(\left( a\right) \)より\(f\)は点\(a\)において連続であり、\(f\left( a\right) \in B\)および\(\left( b\right) \)より\(g\)は点\(f\left( a\right) \)において連続です。したがって先の命題より\(g\circ f\)は点\(a\)において連続です。\(X\)上の任意の点\(a\)について同様であるため、以上の条件のもとでは\(g\circ f\)は\(A\)上で連続です。
&&\left( b\right) \ g\text{は}B\text{上で連続である}
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。点\(a\in A\)を任意に選んだとき、\(\left( a\right) \)より\(f\)は点\(a\)において連続であり、\(f\left( a\right) \in B\)および\(\left( b\right) \)より\(g\)は点\(f\left( a\right) \)において連続です。したがって先の命題より\(g\circ f\)は点\(a\)において連続です。\(X\)上の任意の点\(a\)について同様であるため、以上の条件のもとでは\(g\circ f\)は\(A\)上で連続です。
例（合成写像の連続性）
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) ,\left( Z,d_{Z}\right) \)に加えて写像\(f:X\rightarrow Y\)および写像\(g:Y\rightarrow Z\)が与えられているものとします。加えて、\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとします。この場合、合成写像\(g\circ f:X\rightarrow Z\)が定義可能です。その上で、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は}X\text{上で連続である} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は}Y\text{上で連続である}
\end{eqnarray*}が成り立つならば、先の命題より\(g\circ f\)は\(X\)上で連続です。
&&\left( b\right) \ g\text{は}Y\text{上で連続である}
\end{eqnarray*}が成り立つならば、先の命題より\(g\circ f\)は\(X\)上で連続です。
例（合成写像の連続性）
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 2x-1\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。\(f\)は多項式関数である\(2x-1\)と\(x^{3}\)の合成写像であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より\(2x-1\)は点\(a\)において連続です。多項式関数の連続性より\(x^{3}\)は点\(2a-1\)において連続です。したがって先の命題より\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。\(f\)は多項式関数である\(2x-1\)と\(x^{3}\)の合成写像であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より\(2x-1\)は点\(a\)において連続です。多項式関数の連続性より\(x^{3}\)は点\(2a-1\)において連続です。したがって先の命題より\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例（合成写像の連続性）
写像\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( x^{2}+y^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},d_{1}\right) \)における距離関数\(d_{1}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{2}\)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\left(
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定め、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{2}\right) \)における距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数\(x^{2}+y^{2}\)と1変数の正弦関数\(\sin \left( x\right) \)の合成写像であることに注意してください。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より\(x^{2}+y^{2}\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続です。正弦関数の連続性より\(\sin \left( x\right) \)は点\(a^{2}+b^{2}\)において連続です。したがって先の命題より\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},d_{1}\right) \)における距離関数\(d_{1}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{2}\)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\left(
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定め、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{2}\right) \)における距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数\(x^{2}+y^{2}\)と1変数の正弦関数\(\sin \left( x\right) \)の合成写像であることに注意してください。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より\(x^{2}+y^{2}\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続です。正弦関数の連続性より\(\sin \left( x\right) \)は点\(a^{2}+b^{2}\)において連続です。したがって先の命題より\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続です。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。
先の命題が要求する条件の吟味
合成写像\(g\circ f\)の連続性に関する先の命題では2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は点}a\text{において連続である} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は点}f\left( a\right) \text{において連続である}
\end{eqnarray*}を要求していますが、\(g\circ f\)が点\(a\)において連続であることを保証する上でこれらの条件は必須なのでしょうか。
写像\(f\)が点\(a\)において連続ではない場合、合成写像\(g\circ f\)が点\(a\)において連続であることを保証できません。以下の例より明らかです。
例（合成写像の連続性）
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x\not=0\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。合成写像\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&f\left( x\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成写像\(g\circ f\)は写像\(f\)と一致します。点\(0\)に注目したとき、この合成写像\(g\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、写像\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}0\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0 \\
&\not=&f\left( 0\right) \quad \because f\left( 0\right) =1
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。その一方で、点\(f\left( 0\right) =1\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1}x\quad
\because g\text{の定義} \\
&=&1 \\
&=&g\left( 1\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は点\(1\)において連続です。合成写像\(g\circ f\)は写像\(f\)と一致するため、\(g\circ f\)もまた点\(0\)において連続ではありません。
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x\not=0\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。合成写像\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&f\left( x\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成写像\(g\circ f\)は写像\(f\)と一致します。点\(0\)に注目したとき、この合成写像\(g\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、写像\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}0\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0 \\
&\not=&f\left( 0\right) \quad \because f\left( 0\right) =1
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。その一方で、点\(f\left( 0\right) =1\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1}x\quad
\because g\text{の定義} \\
&=&1 \\
&=&g\left( 1\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は点\(1\)において連続です。合成写像\(g\circ f\)は写像\(f\)と一致するため、\(g\circ f\)もまた点\(0\)において連続ではありません。
写像\(g\)が点\(f\left( a\right) \)において連続ではない場合、合成写像\(g\circ f\)が点\(a\)において連続であることを保証できません。以下の例より明らかです。
例（合成写像の連続性）
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定め、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x\not=0\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。合成写像\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&g\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成写像\(g\circ f\)は写像\(g\)と一致します。点\(0\)に注目したとき、この合成写像\(g\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、写像\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において連続である一方で、点\(f\left( 0\right) =0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}0\quad
\because g\text{の定義} \\
&=&0 \\
&\not=&g\left( 0\right) \quad \because g\left( 0\right) =1
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は点\(0\)において連続ではないからです。合成写像\(g\circ f\)は写像\(g\)と一致するため、\(g\circ f\)もまた点\(0\)において連続ではありません。
\end{equation*}を定め、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x\not=0\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。合成写像\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&g\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成写像\(g\circ f\)は写像\(g\)と一致します。点\(0\)に注目したとき、この合成写像\(g\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、写像\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において連続である一方で、点\(f\left( 0\right) =0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}0\quad
\because g\text{の定義} \\
&=&0 \\
&\not=&g\left( 0\right) \quad \because g\left( 0\right) =1
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は点\(0\)において連続ではないからです。合成写像\(g\circ f\)は写像\(g\)と一致するため、\(g\circ f\)もまた点\(0\)において連続ではありません。
その一方で、写像\(f\)が点\(a\)において連続でない場合に合成写像\(g\circ f\)が点\(a\)において連続になる状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。
例（合成写像の連続性）
写像\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるとともに、写像\(g:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。合成写像\(g\circ f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\frac{1}{\frac{1}{x^{2}}}\quad \because g\text{の定義}
\\
&=&x^{2}
\end{eqnarray*}を定めます。写像\(f\left(x\right) =\frac{1}{x}\)は点\(0\)において定義されていないため点\(0\)において連続ではありません。その一方で、合成写像\(\left(g\circ f\right) \left( x\right) =x^{2}\)は点\(0\)において連続です。
\end{equation*}を定めるとともに、写像\(g:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。合成写像\(g\circ f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\frac{1}{\frac{1}{x^{2}}}\quad \because g\text{の定義}
\\
&=&x^{2}
\end{eqnarray*}を定めます。写像\(f\left(x\right) =\frac{1}{x}\)は点\(0\)において定義されていないため点\(0\)において連続ではありません。その一方で、合成写像\(\left(g\circ f\right) \left( x\right) =x^{2}\)は点\(0\)において連続です。
連続な合成写像を構成する写像は連続であるとは限らない
写像\(f,g\)が連続である場合には合成写像\(g\circ f\)もまた連続であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、合成写像\(g\circ f\)が連続である場合、写像\(f,g\)は連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。
例（合成写像の連続性）
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める一方で、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=0\right) \\
x & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。合成写像\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cl}
g\left( 1\right) & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
g\left( 0\right) & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
1 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right. \\
&=&1
\end{eqnarray*}を定めます。\(f,g\)は連続写像ではありませんが\(g\circ f\)は連続写像です（演習問題）。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める一方で、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=0\right) \\
x & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。合成写像\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cl}
g\left( 1\right) & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
g\left( 0\right) & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
1 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right. \\
&=&1
\end{eqnarray*}を定めます。\(f,g\)は連続写像ではありませんが\(g\circ f\)は連続写像です（演習問題）。
演習問題
問題（点列を用いた合成関数の連続性の証明）
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) ,\left( Z,d_{Z}\right) \)に加えて写像\(f:X\rightarrow Y\)および写像\(g:Y\rightarrow Z\)が与えられているものとします。加えて、\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとします。この場合、合成写像\(g\circ f:X\rightarrow Z\)が定義可能です。その上で、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は点}a\in X\text{において連続である} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は点}f\left( a\right) \in Y\text{において連続である}
\end{eqnarray*}が成り立つならば\(g\circ f\)もまた点\(a\)において連続です。本文中では以上の命題をイプシロン・デルタ論法を用いて証明しましたが、同じことを点列を用いて証明してください。
&&\left( b\right) \ g\text{は点}f\left( a\right) \in Y\text{において連続である}
\end{eqnarray*}が成り立つならば\(g\circ f\)もまた点\(a\)において連続です。本文中では以上の命題をイプシロン・デルタ論法を用いて証明しましたが、同じことを点列を用いて証明してください。
問題（位相を用いた合成関数の連続性の証明）
距離空間\(\left( X,d_{X}\right) ,\left(Y,d_{Y}\right) ,\left( Z,d_{Z}\right) \)に加えて写像\(f:X\rightarrow Y\)および写像\(g:Y\rightarrow Z\)が与えられているものとします。加えて、\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとします。この場合、合成写像\(g\circ f:X\rightarrow Z\)が定義可能です。その上で、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は}X\text{上で連続である} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は}Y\text{上で連続である}
\end{eqnarray*}が成り立つならば\(g\circ f\)は\(X\)上で連続です。本文中では以上の命題をイプシロン・デルタ論法を用いて証明しましたが、同じことを開集合（位相）を用いて証明してください。
&&\left( b\right) \ g\text{は}Y\text{上で連続である}
\end{eqnarray*}が成り立つならば\(g\circ f\)は\(X\)上で連続です。本文中では以上の命題をイプシロン・デルタ論法を用いて証明しましたが、同じことを開集合（位相）を用いて証明してください。
問題（合成写像の連続性）
写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める一方で、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=0\right) \\
x & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。これらの写像はいずれも連続ではない一方で、合成写像\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は連続であることを示してください。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める一方で、写像\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=0\right) \\
x & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。これらの写像はいずれも連続ではない一方で、合成写像\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は連続であることを示してください。
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