写像の極限の直感的な定義
非空な集合\(X\)と関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)からなる組\(\left( X,d\right) \)が距離空間であることとは、関数\(d\)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。この場合、\(d\)を距離関数と呼びます。
定義域が距離空間\(\left(X,d_{X}\right) \)もしくはその部分集合\(A\)であり、終集合が距離空間\(\left( Y,d_{Y}\right) \)であるような写像\begin{equation*}f:X\supset A\rightarrow Y
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)は一方の距離空間\(X\)の部分集合\(A\)上に存在する点\(x\in A\)を、もう一方の距離空間\(Y\)上の点\begin{equation*}f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}へ変換する写像です。その上で、写像\(f\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)を任意に選びます。集積点の定義より、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( A\backslash \left\{
a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(N_{\delta }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\delta \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\delta }\left( a\right) =\left\{ x\in A\ |\ d_{X}\left( x,a\right)
<\delta \right\}
\end{equation*}です。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(A\)の点が必ず存在します。このような点を議論の対象とする理由については後述します。
写像\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(A\)上の点をとりながら\(a\)へ限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x\right) \)の値が必ず\(Y\)上の点\(b\)へ限りなく近づくことが保証されているのであれば、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束する（converge）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a\text{のとき}f\left( x\right) \rightarrow b
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような点\(b\)を\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限（limit）と呼びます。
写像の収束に関して厳密な議論を行うためには、イプシロン・デルタ論法を用いて「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。
写像の極限の厳密な定義
写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)と定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)を任意に選びます。この場合、点\(b\in Y\)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(A\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)が必ず点\(b\)へ限りなく近づくことを意味します。これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。
まず、\(x\rightarrow a\)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が\(a\)とは異なる\(A\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく様子を表現するためには、\(x\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\delta >0\)を導入します。その上で、\begin{equation*}0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(x\)は\(a\)とは異なる点であるとともに、\(x\)と\(a\)の間の距離は\(\delta \)より小さい」と言えます。また、\(f\left( x\right)\rightarrow b\)が成り立つこと、すなわち、点\(f\left( x\right) \)が点\(b\)へ限りなく近づいていく様子を表現するためには、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の近さを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入します。その上で、\begin{equation*}d_{Y}\left( f\left( x\right) ,b\right) <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right)\rightarrow b\)であることは、以上のような2つの実数\(\varepsilon ,\delta \)の関係として表現することになります。
具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す値\(\varepsilon \)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つのであれば、点\(a\)に十分近くなおかつ点\(a\)とは異なる任意の\(x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。つまり、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in A\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)より小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists \delta >0,\ \forall x\in A:\left[ 0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta
\Rightarrow d_{Y}\left( f\left( x\right) ,b\right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}となります。
さて、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow b\)となる場合には、最初に設定する\(\varepsilon \)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。つまり、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right)\rightarrow b\)が成り立つ限りにおいて、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in A\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)より小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:\left[
0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left( x\right)
,b\right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}となります。以上の論理式によって、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。
結論をまとめましょう。写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)と定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)および点\(b\in Y\)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(A\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に点\(f\left( x\right) \)が必ず\(Y\)上の点\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:\left[
0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left( x\right)
,b\right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}になるということです。
実際の運用では、変数\(x\)を近づける先の点\(a\)が与えられたとき、\(f\left( x\right) \)の極限の候補となる何らかの点\(b\)を具体的に設定した上で、それに対して上の論理式が成り立つことを示すことが目標になります。極限の候補\(b\)を特定する方法については後述します。
\end{equation*}と定めます。写像\(f\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)と終集合の点\(b\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:\left[
0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right)
,b\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:\left[
0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。
&=&\sqrt{\left[ \mathrm{Re}\left( x\right) -\mathrm{Re}\left( y\right) \right] ^{2}+\left[ \mathrm{Im}\left( x\right) -\mathrm{Im}\left( y\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}と定めます。ただし、\(\mathrm{Re}\left( x\right) \)は複素数\(x\)の実部であり、\(\mathrm{Im}\left(x\right) \)は複素数\(x\)の虚部です。写像\(f\)の定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)と終集合の点\(b\in \mathbb{C} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:\left[
0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right)
,b\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:\left[
0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。ただし、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(
x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めます。写像\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in X\)と終集合の点\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:\left[
0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:\left(
0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[
f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
変数の近づき方に関する注意
写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)について\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(A\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値が必ず点\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味し、これを厳密に表現すると、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left( x\right)
,b\right) <\varepsilon \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。点\(a\)は\(f\)の定義域\(A\)の要素でもそうでなくてもどちらでも構いません。また、変数\(x\)が点\(a\)に近づいていく経路は問いませんが、\(x\)が点\(a\)へ近づいていく過程において任意の\(x\)は\(f\)の定義域\(A\)に属してなければならず、なおかつ\(x\)は\(a\)とは異なる点でなければなりません。上の論理式中の\(0<d_{X}\left( x,a\right) \)は\(x\)が\(a\)とは異なる点であることを踏まえた条件になっています。では、上の定義において\(0<d_{X}\left( x,a\right) \)という条件を外すと何が起こるでしょうか。すなわち、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right)\rightarrow b\)が成り立つことの定義として、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left( x\right)
,b\right) <\varepsilon \right] \quad \cdots (2)
\end{equation}を採用すると何らかの問題が発生するのでしょうか。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\not=0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\mathbb{R} \)上の距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めます。点\(0\)に限りなく近い任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において\(f\left( x\right) =1\)であるため、写像の極限の本来の定義\(\left( 1\right) \)にしたがうならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}となります。では、写像の極限の定義として\(\left( 2\right) \)を採用した場合には何が起こるでしょうか。\(\left( 2\right) \)では\(x\)が\(0\)に近づく際に\(x=0\)となる可能性が排除されていません。すると、\begin{eqnarray*}d\left( f\left( 0\right) ,1\right) &=&d\left( 0,1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&1 \\
&>&0
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
d\left( f\left( 0\right) ,1\right) >\varepsilon >0
\end{equation*}を満たす正の実数\(\varepsilon \)が存在し、それに対して、\begin{equation*}\forall \delta >0,\ \exists 0\in A:\left[ d_{X}\left( 0,0\right) <\delta
\wedge d_{Y}\left( f\left( 0\right) ,1\right) >\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\left( 2\right) \)は偽になるため、写像の極限の定義として\(\left( 2\right) \)を採用した場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}であると言えなくなってしまいます。このような例を踏まえると、写像の極限の定義において\(0<d_{X}\left( x,a\right) \)という条件を外すことはできません。
写像の極限を定義する際に集積点を採用する理由
写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)と定義域\(A\)の集積点\(a\in X\)および点\(b\in Y\)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in A:\left[
0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left( x\right)
,b\right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、なぜ、変数\(x\)が近づく先の点\(a\)として関数\(f\)の定義域\(A\)の集積点を採用するのでしょうか。
写像\(f:X\supset A\rightarrow Y\)と点\(a\in X\)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \)が\(Y\)上の点\(b\)へ収束することを検討するためには、そもそも\(f\)は点\(a\)の周辺の点において定義されている必要があります。なぜなら、\(f\left( x\right) \)が\(x\rightarrow a\)の場合に点\(b\)へ収束することとは、変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(A\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、それに応じて点\(f\left(x\right) \)が必ず点\(b\)へ限りなく近づくことを意味するのであり、仮に\(f\)が点\(a\)の周辺の点において定義されていない場合、\(x\)を点\(a\)へ限りなく近づけることができなくなってしまうからです。
点\(a\)が写像\(f\)の定義域\(A\)の集積点である場合には、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( A\backslash \left\{
a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、どれほど小さい\(\delta >0\)を選んだ場合でも\(N_{\delta }\left( a\right) \)と\(A\backslash \left\{ a\right\} \)は交わるため、点\(a\)から限りなく近い場所に点\(a\)とは異なる\(A\)の点が必ず存在します。ちなみに、写像\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(a\not\in A\)である場合には\(X\backslash \left\{ a\right\} =A\)となるため、上の命題は、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap A\not=\phi
\end{equation*}と必要十分になります。これは点\(a\)が\(A\)の触点であることの定義に他なりません。この場合、写像\(f\)は点\(a\)において定義されているとともに、点\(a\)から限りなく近い場所に点\(a\)とは異なる\(A\)の点が必ず存在します。
逆に、点\(a\)が\(f\)の定義域\(A\)の集積点ではない場合には何が起こるでしょうか。そこで、点\(a\)が関数\(f\)の定義域\(A\)の孤立点である状況を想定します。孤立点は集積点ではありません。さて、\(a\)が\(A\)の孤立点である場合には、\begin{equation}\exists \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap A=\left\{ a\right\}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、十分小さい\(\delta >0\)を選んだ場合には\(N_{\delta}\left( a\right) \)と\(A\)の交わりには点\(a\)だけしか存在しないため、点\(a\)から限りなく近い場所において写像\(f\)は定義されていないことになります。このような場合、\(x\)をそもそも\(a\)へ限りなく近づけることができません。さらに言うと、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、それに対して\(\left( 1\right) \)中の\(\delta >0\)に注目すると、そもそも\(0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta \)を満たす\(A\)の点\(x\)は存在しないため、以下の命題\begin{equation}0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow d_{Y}\left( f\left( x\right)
,b\right) <\varepsilon \quad \cdots (2)
\end{equation}の前提\(0<d_{X}\left( x,a\right) <\delta \)は常に偽になり、したがって\(\left( 2\right) \)全体は真になってしまいます。これは\(b\)としてどのような点を選んだ場合にも同様です。つまり、イプシロン・デルタ論法による写像の極限を踏まえたとき、\(a\)が\(A\)の孤立点である場合には、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \)は\(Y\)上の任意の点に限りなく近づくことになってしまいます。これでは写像の極限の定義として破綻しています。したがって、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が\(Y\)上の点へ収束するかを検討する際には、\(a\)が\(f\)の定義域の孤立点である状況をあらかじめ排除しておく必要があります。
写像の極限の一意性
写像が収束する場合、その極限は必ず1つの点として定まります。
\end{equation*}が成り立つ場合には、この極限\(b\)は\(Y\)上の1つの点として定まる。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 3}f\left( x\right) =7
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d\right) \)における距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。
\end{equation*}を値として定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{z\rightarrow 3+i}f\left( z\right) =3
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。ただし、複素数空間\(\left( \mathbb{C} ,d_{1}\right) \)における距離関数\(d_{1}:\mathbb{C} \times \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの複素数\(z,w\in \mathbb{C} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( z,w\right) =\left\vert z-w\right\vert
\end{equation*}と定める一方で、実数空間における距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定めるものとします。
\end{equation*}を値として定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left( 3,1\right)
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。ただし、実数空間\(\left( \mathbb{R} ,d_{1}\right) \)における距離関数\(d_{1}:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)の間の距離を、\begin{equation*}d_{1}\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}と定める一方で、2次元ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},d_{2}\right) \)における距離関数\(d_{2}:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は2つのベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{2}\)の間の距離を、\begin{equation*}d_{2}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\left(
x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定めるものとします。
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