写像の定義

集合 A のそれぞれの要素に対して集合 B の要素を 1 つずつ定める規則のことを A から B への写像と呼びます。

写像　始集合　終集合　像　関数　算術演算　多価関数　恒等写像　等しい写像　異なる写像

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写像

集合$A$のそれぞれの要素に対して集合$B$の要素を1つずつ定める規則のことを$A$から$B$への写像（mapping）と呼び、これを、\begin{equation*}f:A\rightarrow B
\end{equation*}で表記します。また、$A$を$f$の始集合（initial set）と呼び、$B$を$f$の終集合（final set）と呼びます。

写像$f:A\rightarrow B$が与えられたとき、始集合$A$の要素$a$を任意に選ぶと、$f$はそれに対して終集合$B$の要素を1つずつ定めます。これを$f$による$a$の像（image）と呼び、\begin{equation*}f\left( a\right)
\end{equation*}で表記します。

例（写像）

集合$A=\left\{ 1,2,3\right\} $と集合$B=\left\{a,b,c\right\} $に対して、写像$f:A\rightarrow B$を以下の図で定義します。図では$1$から$c$へ矢印が伸びていますが、これは$f$による$1$の像が$c$であること、すなわち$f\left( 1\right) =c$であることを意味します。他の2本の矢印より$f\left( 2\right) =a$かつ$f\left( 3\right) =b$であることも読み取れます。

図：写像

例（写像）

関数（function）は始集合と終集合がともに$\mathbb{R} $もしくはその部分集合であるような写像です。ただし、$\mathbb{R} $はすべての実数からなる集合です。具体例を挙げると、それぞれの実数$x\in \mathbb{R} $に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を像として定める関数$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $は写像です。

例（写像）

算術演算（arithmetic operations）は写像です。加法$+$という算術演算は2つの実数からなるそれぞれの順序対$\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}$に対して和$x+y\in \mathbb{R} $と呼ばれる実数を1つずつ定めるため、これは始集合が$\mathbb{R} ^{2}$で終集合が$\mathbb{R} $であるような写像です。また、減法$-$はそれぞれの$\left( x,y\right) $に対して差$x-y$と呼ばれる実数を像として定める写像$-:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} $であり、乗法$\times $はそれぞれの$\left( x,y\right) $に対して差$x\times y$と呼ばれる実数を像として写像$\cdot :\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} $です。除法$\div $については少し注意が必要です。除法$\div $は実数からなる順序対$\left( x,y\right) $に対して商$x\div y$と呼ばれる実数を定める写像ですが、割られる数である$x$は任意の実数を取り得る一方、実数をゼロで割ることはできないため、割る数である$y$は$0$ではない実数です。したがって、除法$\div $は始集合を$\mathbb{R} \times \mathbb{R} \backslash \{0\}$とし、終集合を$\mathbb{R} $とする写像です。

例（写像）

一夫一妻制を採用する社会において、既婚者である男性の集合を$M$、既婚者である女性の集合を$W$で表します。このとき、それぞれの既婚男性$m\in M$に対してその妻$f\left( m\right)\in W$を定める$f:M\rightarrow W$は写像です。また、それぞれの既婚女性$w\in W$に対してその夫$g\left( w\right) \in M$を定める$g:W\rightarrow M$も写像です。

写像$f:A\rightarrow B$は集合$A$のそれぞれの要素に対して集合$B$の要素を1つずつ定める規則でなければなりません。つまり、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists !b\in B:b=f\left( a\right)
\end{equation*}を満たす$f$だけが$A$から$B$への写像として認められます。ただし、$\exists !$は「一意的に存在する」ことを表す記号です。一方、$A$の少なくとも1つの要素$a$に対してその像$f\left( a\right) $が存在しない場合や、$A$の少なくとも1つの要素$a$に対してその像$f\left( a\right) $が一意的に定まらない場合などには、$f$は$A$から$B$への写像ではありません。

例（写像）

集合$A=\left\{ 1,2,3\right\} $と集合$B=\left\{a,b,c\right\} $に対して、$f:A\rightarrow B$を以下の図で定義します。$2$から伸びる矢印が存在しませんが、これは$f\left( 2\right) $が存在しないことを意味します。したがって、この$f$は$A$から$B$への写像ではありません。

図：写像ではない

例（写像）

集合$A=\left\{ 1,2,3\right\} $と集合$B=\left\{a,b,c\right\} $に対して、$f:A\rightarrow B$を以下の図で定義します。図では$2$から2本の矢印が伸びていますが、これは$f\left( 2\right) $が一意的に定まらないことを意味します。したがって、この$f$は$A $から$B$への写像ではありません。

図：写像ではない

例（写像）

それぞれの$x\in \mathbb{R} $に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を像として定める$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $について考えます。$0$は始集合$\mathbb{R} $の要素ですが、実数をゼロで割ることはできないため、\begin{equation*}f\left( 0\right) =\frac{1}{0}
\end{equation*}は定義されず、したがってこの$f$は写像ではありません。一方、$f$の始集合を$\mathbb{R} $から$\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} $へ縮小して$f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} $とすると、始集合の要素$x$は非ゼロの実数であることが保証されるため、それに対して$f\left( x\right) =\frac{1}{x}$は1つの実数として必ず定まります。したがって$f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} $は写像です。

例（写像）

それぞれの非負の実数$x\in \mathbb{R} _{+}$に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定める$f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} $について考えます。非負の実数$1\in \mathbb{R} _{+}$に対して、\begin{equation*}f\left( 1\right) =\sqrt{1}=\pm 1
\end{equation*}となります。つまり、$f$が$1$に対して定める実数は複数存在するため、この$f$は写像としての要件を満たしません。このような$f$を多価関数（multivalued function）と呼びます。多価関数は写像ではありません。

例（写像）

繰り返しになりますが、一夫一妻制を採用する社会において、既婚者である男性の集合を$M$、既婚者である女性の集合を$W$で表します。このとき、それぞれの既婚男性$m\in M$に対してその妻$f\left( m\right) \in W$を定める$f:M\rightarrow W$は写像です。一方、$M$をすべての男性の集合、$W$をすべての女性の集合とするとき、$f:M\rightarrow W$はもはや写像ではありません。なぜなら未婚の男性$m\in M$に対してその妻$f\left( m\right) $が定まらないからです。また、一夫多妻制を採用する社会の場合にも$f:M\rightarrow W$は写像ではありません。なぜなら、複数の妻がいる男性$m\in M$に対してその妻$f\left( m\right) $は一意的に定まらないからです。

例（写像）

すべての国からなる集合を$A$で、すべての首都からなる集合を$B$でそれぞれ表します。それぞれの国$a\in A$に対してその首都を$f\left(a\right) \in B$で表すとき、この規則$f:A\rightarrow B$は写像でしょうか。それぞれの国に対して首都は1つだけ定まるため、この$f$は写像としての要件を満たしているようですが、実はそうではありません。なぜなら、首都を持たない国が存在するからです。実際、バチカン市国は独立国家とみなされていますが、実際にはイタリアのローマ市内にある一地域であり、バチカン市国には首都が存在しません。つまり、バチカン市国を$a\in A$で表すとき、それに対する$f\left( a\right) $はそもそも存在しないため、この$f$は$A$から$B$への写像ではありません。

写像$f:A\rightarrow B$が与えられたとき、始集合$A$に属する「異なる」要素$a,a^{\prime }$を任意に選びそれらの像$f\left( a\right) ,f\left( a^{\prime}\right) $をとると、それらは一致するとは限りませんし、逆に、一致しても構いません。どちらの場合でも写像の定義には抵触しないため、何も問題ありません。

繰り返しになりますが、写像$f:A\rightarrow B$は始集合$A$のそれぞれの要素$a $に対して終集合$B$の要素である$f\left( a\right) $を 1 つずつ定めるものでなければなりません。一方、$B$の要素$b$を任意に選ぶと、それに対して$b=f\left( a\right) $を満たす$A$の要素$a$は存在するとは限りませんが、その場合にも写像の定義には抵触しないため問題ありません。

例（写像）

集合$A=\left\{ 1,2,3\right\} $と集合$B=\left\{a,b,c\right\} $に対して、$f:A\rightarrow B$を以下の図で定義します。図より$b$へ伸びる矢印が2本存在します。つまり、$f\left( 1\right) =f\left(3\right) =b$ですが、写像として何も問題ありません。また、$c$へ伸びる矢印が存在しませんが、これは$c=f\left( a\right) $を満たす$A$の要素$a$が存在しないことを意味します。これも問題ありません。この$f$は$A$から$B$への写像です。

図：写像

例（写像）

写像$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $を$f\left( x\right) =x^{2}$と定義します。始集合の要素である実数$1,2$に対して、それらの像は、\begin{equation*}f\left( 1\right) =1\not=4=f\left( 2\right)
\end{equation*}となります。一方、始集合の要素である実数$1,-1$に注目すると、それらの像は、\begin{equation*}f\left( 1\right) =1=f\left( -1\right)
\end{equation*}となります。いずれにせよ、このような事態が起きていても写像として何も問題なく、この$f$は$\mathbb{R} $から$\mathbb{R} $への写像です。

写像$f:A\rightarrow B$の始集合$A$と終集合$B$は一致するとは限りませんし、逆に、一致しても構いません。どちらの場合でも写像の定義には抵触しないため、何も問題ありません。

例（写像）

始集合と終集合が一致する写像$f:A\rightarrow A$が、\begin{equation*}\forall a\in A:f\left( a\right) =a
\end{equation*}を満たす場合、この$f$を$A$上の恒等写像（identity mapping on $A$）と呼びます。

等しい写像

2 つの写像$f:A\rightarrow B$と$g:C\rightarrow D$が与えられたとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A=C \\
&&\left( b\right) \ B=D \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in A:f\left( a\right) =g\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、$f$と$g$は等しい（equal）といい、そのことを$f=g$で表します。つまり、2つの写像$f,g$が等しいとは、それらの始集合どうし、終集合どうしがそれぞれ一致するとともに、始集合のそれぞれの要素に対して、$f$が定める像と$g$が定める像が常に一致することを意味します。

例（等しい写像）

写像$f,g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} $はそれぞれの非負の実数$x\in \mathbb{R} _{+}$に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x \\
g\left( x\right) &=&\left\vert x\right\vert
\end{eqnarray*}を定めるものとします。任意の$x\in \mathbb{R} _{+}$に対して、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&\left\vert x\right\vert \quad \because g\text{の定義} \\
&=&x\quad \because x\in \mathbb{R} _{+} \\
&=&f\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため$f$と$g$は等しい写像です。

逆に、2つの写像$f:A\rightarrow B$と$g:C\rightarrow D$に対して先の$\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) $の中の少なくとも1つの条件が成り立たない場合、$f$と$g$は異なる（notequal）といい、そのことを$f\not=g$で表します。

例（異なる写像）

写像$f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $はそれぞれの実数$x\in \mathbb{R} $に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x \\
g\left( x\right) &=&\left\vert x\right\vert
\end{eqnarray*}を定めるものとします。先とは異なり、$f$と$g$の始集合は$\mathbb{R} _{+}$ではなく$\mathbb{R} $である点に注意してください。$f$と$g$は始集合と終集合を共有しますが、始集合の要素である$-1$に注目すると、\begin{equation*}f\left( -1\right) =-1\not=1=g\left( -1\right)
\end{equation*}が成り立つため、$f$と$g $は異なる写像です。

例（異なる写像）

写像$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $はそれぞれの$x\in \mathbb{R} $に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、$f$の始集合を$\mathbb{R} _{+}$に制限して得られる写像を$g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} $で表します。この写像はそれぞれの$x\in \mathbb{R} _{+}$に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定める一方、そもそも$f$と$g$の始集合は異なるため、これらは異なる写像として区別されます。

演習問題

問題（写像）

$A$は「50音からなる集合」であり、$B$は「すべての苗字からなる集合」であるものとします。さらに、それぞれの$a\in A$に対して、\begin{equation*}f\left( a\right) =a\text{から始まる苗字}
\end{equation*}を満たすものとして$f:A\rightarrow B$は定義されます。$f$は写像でしょうか。理由とともに答えてください。

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問題（写像）

$A$と$B$はともに「すべての人間からなる集合」であるものとします。さらに、それぞれの$a\in A$に対して、\begin{equation*}f\left( a\right) =a\text{の生物学上の父}
\end{equation*}を満たすものとして$f:A\rightarrow A$は定義されます。$f$は写像でしょうか。理由とともに答えてください。

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問題（写像）

$A$と$B$はともに「すべての人間からなる集合」であるものとします。さらに、それぞれの$a\in A$に対して、\begin{equation*}f\left( a\right) =a\text{の生物学上の祖父}
\end{equation*}を満たすものとして$f:A\rightarrow A$は定義されます。$f$は写像でしょうか。理由とともに答えてください。

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問題（写像）

$A$は「すべての自然数からなる集合」であるものとします。さらに、それぞれの$a\in A$に対して、\begin{equation*}f\left( a\right) =a-2
\end{equation*}を満たすものとして$f:A\rightarrow A$は定義されます。$f$は写像でしょうか。理由とともに答えてください。

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問題（写像）

すべての有理数からなる集合を$\mathbb{Q} $で表記します。$f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} $をそれぞれ以下のように定義するとき、それが写像である場合には理由を述べ、写像ではない場合にはそのことを示す反例を具体的に提示してください。ただし、$p,q$はとも整数であり、特に$q\not=0$です。

$f\left( \frac{p}{q}\right) =\frac{p+1}{p-2}$
$f\left( \frac{p}{q}\right) =\frac{3p}{3q}$
$f\left( \frac{p}{q}\right) =\frac{p+q}{q^{2}}$
$f\left( \frac{p}{q}\right) =\frac{3p^{2}}{7q^{2}}-\frac{p}{q}$

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問題（写像）

写像の具体例を挙げてください。現実における例、数学における例のどちらでも構いません。答えはコメント欄に投稿してください。

次回は写像のグラフについて解説します。

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写像のグラフ

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