集合 A のそれぞれの要素に対して集合 B の要素を 1 つずつ定める規則のことを A から B への写像と呼びます。
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写像

集合\(A\)のそれぞれの要素に対して集合\(B\)の要素を 1 つずつ定める規則のことを\(A\)から\(B\)への写像(mapping)と呼び、これを、\begin{equation*}
f:A\rightarrow B
\end{equation*}で表します。また、\(A\)を\(f\)の始集合(initial set)と呼び、\(B\)を\(f\)の終集合(final set)と呼びます。

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合\(A\)の要素\(a\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して終集合\(B\)の要素を 1 つだけ定めます。これを\(f\)による\(a\)の(image)と呼び、\(f\left( a\right) \)と表記します。

例(写像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(1\)から\(c\)へ矢印が伸びていますが、これは\(f\)による\(1\)の像が\(c\)であること、すなわち\(f\left( 1\right) =c\)であることを意味します。他の 2 本の矢印より、\(f\left( 2\right) =a\)かつ\(f\left( 3\right) =b\)であることも読み取れます。
図:写像
図:写像
例(写像)
関数(function)は始集合と終集合がともに\(\mathbb{R}\)もしくはその部分集合であるような写像です。具体例を挙げると、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}と定義される関数\(f\)は、始集合と終集合がともに\(\mathbb{R}\)であるような写像\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)です。また、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}と定義される関数\(g\)は、始集合が\(\mathbb{R}\backslash \{0\}\)で(\(0\)で割ることはできないため)、終集合が\(\mathbb{R}\)であるような写像\(g:\mathbb{R}\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}\)です。
例(写像)
算術演算(arithmetic operations)は写像です。加法\(+\)という算術演算は 2 つの実数からなるそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \)に対して、和\(x+y\)と呼ばれる実数を 1 つずつ定めるため、これは始集合が\(\mathbb{R}^{2}\)で終集合が\(\mathbb{R}\)であるような写像です。また、減法\(-\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して差\(x-y\)と呼ばれる実数を像として定める写像\(-:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)であり、乗法\(\times \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して差\(x\times y\)と呼ばれる実数を像として写像\(\cdot :\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)です。除法\(\div \)については少し注意が必要です。除法\(\div \)は実数からなる順序対\(\left( x,y\right) \)に対して商\(x\div y\)と呼ばれる実数を定める写像ですが、割られる数である\(x\)は任意の実数を取り得る一方、実数をゼロで割ることはできないため、割る数である\(y\)は\(0\)ではない実数です。したがって、除法\(\div \)は始集合を\(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\backslash \{0\}\)とし、終集合を\(\mathbb{R}\)とする写像です。
例(写像)
一夫一妻制を採用する社会において、既婚者である男性の集合を\(M\)、彼らの妻からなる集合を\(W\)で表します。このとき、それぞれの既婚男性\(m\)に対してその妻\(f\left( m\right) \)を定める\(f:M\rightarrow W\)は写像です。逆に、それぞれの既婚女性\(w\)に対してその夫\(g\left( w\right) \)を定める\(g:W\rightarrow M\)もまた写像です。

写像\(f:A\rightarrow B\)は\(A\)のそれぞれの要素に対して\(B\)の要素を 1 つずつ定める規則でなければなりません。つまり、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists !b\in B:b=f\left( a\right)
\end{equation*}を満たす\(f\)だけが\(A\)から\(B\)への写像として認められます。ただし、\(\exists !\)は「一意的に存在する」ことを表す記号です。一方、\(A\)の少なくとも 1 つの要素\(a\)に対してその像\(f\left( a\right) \)が存在しない場合や、\(A\)の少なくとも 1 つの要素\(a\)に対してその像\(f\left( a\right) \)が一意的に定まらない場合などには、\(f\)は\(A\)から\(B\)への写像ではありません。

例(写像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(2\)から伸びる矢印が存在しませんが、これは\(f\left( 2\right) \)が存在しないことを意味します。したがって、この\(f\)は\(A\)から\(B\)への写像ではありません。
図:写像ではない
図:写像ではない
例(写像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図では\(2\)から 2 本の矢印が伸びていますが、これは\(f\left( 2\right) \)が一意的に定まらないことを意味します。したがって、この\(f\)は\(A\)から\(B\)への写像ではありません。
図:写像ではない
図:写像ではない
例(写像)
\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)を\(f\left( x\right) =\frac{1}{x}\)と定義します。\(0\in \mathbb{R}\)ですが、ゼロで割ることはできないため\(f\left( 0\right) \)は存在しません。したがって、この\(f\)は写像ではありません。一方、\(f\)の始集合を\(\mathbb{R}\)から\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)に縮小して\(f:\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R}\)とすると、始集合の要素\(x\)は非ゼロの実数であるため、それに対して\(f\left( x\right) =\frac{1}{x}\)は 1 つの実数として必ず定まります。したがって、この新たな\(f\)は写像です。
例(写像)
\(f:\mathbb{R}_{+}\rightarrow \mathbb{R}\)を\(f\left( x\right) =\sqrt{x}\)と定義します。実数\(1\)に対して\(f\left( 1\right) =\sqrt{1}=\pm 1\)となります。つまり、\(f\)が\(1\)に対して定める実数は複数存在するため、この\(f\)は写像としての要件を満たしません。このような\(f\)を多価関数(multivalued function)と呼びます。多価関数は写像ではありません。
例(写像)
すべての国からなる集合を\(A\)、すべての首都からなる集合を\(B\)でそれぞれ表します。それぞれの国\(a\in A\)に対してその首都を\(f\left( a\right) \in B\)で表すとき、この規則\(f:A\rightarrow B\)は写像でしょうか。それぞれの国に対して首都は 1 つだけ定まるため、この\(f\)は写像としての要件を満たしているようですが、実はそうではありません。なぜなら、首都を持たない国が存在するからです。実際、バチカン市国は独立国家とみなされていますが、実際にはイタリアのローマ市内にある一地域であり、バチカン市国には首都が存在しません。つまり、バチカン市国を\(a\in A\)で表すとき、それに対する\(f\left( a\right) \)はそもそも存在しないため、この\(f\)は\(A\)から\(B\)への写像ではありません。

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合\(A\)に属する異なる要素\(a,a^{\prime }\)を任意に選びそれらの像\(f\left( a\right) ,f\left( a^{\prime }\right) \)をとると、それらは一致するとは限りませんし、逆に、一致しても構いません。どちらの場合でも写像の定義には抵触しないため、何も問題ありません。

繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)は始集合\(A\)のそれぞれの要素\(a\)に対して終集合\(B\)の要素である\(f\left( a\right) \)を 1 つずつ定めるものでなければなりません。一方、\(B\)の要素\(b\)を任意に選ぶと、それに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(A\)の要素\(a\)は存在するとは限りませんが、その場合にも写像の定義には抵触しないため問題ありません。

例(写像)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。図より\(b\)へ伸びる矢印が 2 本存在します。つまり、\(f\left( 1\right) =f\left( 3\right) =b\)ですが、写像として何も問題ありません。また、\(c\)へ伸びる矢印が存在しませんが、これは\(c=f\left( a\right) \)を満たす\(A\)の要素\(a\)が存在しないことを意味します。これも問題ありません。この\(f\)は\(A\)から\(B\)への写像です。
図:写像
図:写像
例(写像)
写像\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)を\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義します。始集合の要素である実数\(1,2\)に対して、それらの像は、\begin{equation*}
f\left( 1\right) =1\not=4=f\left( 2\right)
\end{equation*}となります。一方、始集合の要素である実数\(1,-1\)に注目すると、それらの像は、\begin{equation*}
f\left( 1\right) =1=f\left( -1\right)
\end{equation*}となります。いずれにせよ、このような事態が起きていても写像として何も問題なく、この\(f\)は\(\mathbb{R}\)から\(\mathbb{R}\)への写像です。

写像\(f:A\rightarrow B\)の始集合\(A\)と終集合\(B\)は一致するとは限りませんし、逆に、一致しても構いません。どちらの場合でも写像の定義には抵触しないため、何も問題ありません。

例(写像)
始集合と終集合が一致する写像\(f:A\rightarrow A\)が、\begin{equation*}
\forall a\in A:f\left( a\right) =a
\end{equation*}を満たす場合には、この\(f\)を\(A\)上の恒等写像(identity mapping on \(A\))と呼びます。

 

等しい写像

2 つの写像\(f:A\rightarrow B,\ g:C\rightarrow D\)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A=C \\
&&\left( b\right) \ B=D \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in A:f\left( a\right) =g\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(f\)と\(g\)は等しい(equal)といい、そのことを\(f=g\)で表します。つまり、2つの写像\(f,g\)が等しいとは、それらの始集合どうし、終集合どうしがそれぞれ一致するとともに、始集合のそれぞれの要素に対して、\(f\)が定める像と\(g\)が定める像が常に一致することを意味します。

例(等しい写像)
写像\(f:\mathbb{R}_{+}\rightarrow \mathbb{R}\)を\(f\left( x\right) =x\)と定義し、写像\(g:\mathbb{R}_{+}\rightarrow \mathbb{R}\)を\(g\left( x\right) =\left\vert x\right\vert \)と定義します。これらの写像の始集合はすべての実数からなる集合\(\mathbb{R}\)ではなく、すべての非負の実数からなる集合\(\mathbb{R}_{+}\)であることに注意してください。このとき、任意の非負の実数\(x\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x=g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)と\(g\)は等しい写像です。

逆に、2 つの写像\(f:A\rightarrow B,\ g:C\rightarrow D\)に対して先の\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)の中の少なくとも 1 つの条件が成り立たない場合には、\(f\)と\(g\)は異なる(not equal)といい、そのことを\(f\not=g\)で表します。

例(異なる写像)
写像\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)を\(f\left( x\right) =x\)と定義し、写像\(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)を\(g\left( x\right) =\left\vert x\right\vert \)と定義します。\(f\)と\(g\)は始集合と終集合を共有しますが、始集合の要素である\(-1\)に注目すると、\begin{equation*}
f\left( -1\right) =-1\not=1=g\left( -1\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)と\(g\)は異なる写像です。
例(異なる写像)
写像\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)を\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義します。このとき、\(f\)の始集合を\(\mathbb{R}_{+}\)に制限して得られる写像を\(g:\mathbb{R}_{+}\rightarrow \mathbb{R}\)で表します。\(g\left( x\right) =x^{2}\)です。\(f\)と\(g\)の始集合は異なるため、\(f\)と\(g\)は異なる写像として区別されます。

次回は写像のグラフについて解説します。

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