写像
集合\(A\)のそれぞれの要素に対して集合\(B\)の要素を 1 つずつ定める規則のことを\(A\)から\(B\)への写像（mapping）と呼び、これを、\begin{equation*}
f:A\rightarrow B
\end{equation*}で表します。また、\(A\)を\(f\)の始集合（initial set）と呼び、\(B\)を\(f\)の終集合（final set）と呼びます。
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合\(A\)の要素\(a\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して終集合\(B\)の要素を 1 つだけ定めます。これを\(f\)による\(a\)の像（image）と呼び、\(f\left( a\right) \)と表記します。
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}と定義される関数\(f\)は、始集合と終集合がともに\(\mathbb{R}\)であるような写像\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)です。また、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}と定義される関数\(g\)は、始集合が\(\mathbb{R}\backslash \{0\}\)で（\(0\)で割ることはできないため）、終集合が\(\mathbb{R}\)であるような写像\(g:\mathbb{R}\backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}\)です。
写像\(f:A\rightarrow B\)は\(A\)のそれぞれの要素に対して\(B\)の要素を 1 つずつ定める規則でなければなりません。つまり、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists !b\in B:b=f\left( a\right)
\end{equation*}を満たす\(f\)だけが\(A\)から\(B\)への写像として認められます。ただし、\(\exists !\)は「一意的に存在する」ことを表す記号です。一方、\(A\)の少なくとも 1 つの要素\(a\)に対してその像\(f\left( a\right) \)が存在しない場合や、\(A\)の少なくとも 1 つの要素\(a\)に対してその像\(f\left( a\right) \)が一意的に定まらない場合などには、\(f\)は\(A\)から\(B\)への写像ではありません。
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合\(A\)に属する異なる要素\(a,a^{\prime }\)を任意に選びそれらの像\(f\left( a\right) ,f\left( a^{\prime }\right) \)をとると、それらは一致するとは限りませんし、逆に、一致しても構いません。どちらの場合でも写像の定義には抵触しないため、何も問題ありません。
繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)は始集合\(A\)のそれぞれの要素\(a\)に対して終集合\(B\)の要素である\(f\left( a\right) \)を 1 つずつ定めるものでなければなりません。一方、\(B\)の要素\(b\)を任意に選ぶと、それに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(A\)の要素\(a\)は存在するとは限りませんが、その場合にも写像の定義には抵触しないため問題ありません。
f\left( 1\right) =1\not=4=f\left( 2\right)
\end{equation*}となります。一方、始集合の要素である実数\(1,-1\)に注目すると、それらの像は、\begin{equation*}
f\left( 1\right) =1=f\left( -1\right)
\end{equation*}となります。いずれにせよ、このような事態が起きていても写像として何も問題なく、この\(f\)は\(\mathbb{R}\)から\(\mathbb{R}\)への写像です。
写像\(f:A\rightarrow B\)の始集合\(A\)と終集合\(B\)は一致するとは限りませんし、逆に、一致しても構いません。どちらの場合でも写像の定義には抵触しないため、何も問題ありません。
\forall a\in A:f\left( a\right) =a
\end{equation*}を満たす場合には、この\(f\)を\(A\)上の恒等写像（identity mapping on \(A\)）と呼びます。
等しい写像
2 つの写像\(f:A\rightarrow B,\ g:C\rightarrow D\)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A=C \\
&&\left( b\right) \ B=D \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in A:f\left( a\right) =g\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(f\)と\(g\)は等しい（equal）といい、そのことを\(f=g\)で表します。つまり、2つの写像\(f,g\)が等しいとは、それらの始集合どうし、終集合どうしがそれぞれ一致するとともに、始集合のそれぞれの要素に対して、\(f\)が定める像と\(g\)が定める像が常に一致することを意味します。
f\left( x\right) =x=g\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)と\(g\)は等しい写像です。
逆に、2 つの写像\(f:A\rightarrow B,\ g:C\rightarrow D\)に対して先の\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)の中の少なくとも 1 つの条件が成り立たない場合には、\(f\)と\(g\)は異なる（not equal）といい、そのことを\(f\not=g\)で表します。
f\left( -1\right) =-1\not=1=g\left( -1\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)と\(g\)は異なる写像です。
次回は写像のグラフについて解説します。
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