写像
集合\(A\)のそれぞれの要素に対して集合\(B\)の要素を1つずつ定める規則のことを\(A\)から\(B\)への写像（mapping）と呼び、これを、\begin{equation*}f:A\rightarrow B
\end{equation*}で表記します。また、\(A\)を\(f\)の始集合（initial set）と呼び、\(B\)を\(f\)の終集合（final set）と呼びます。
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合\(A\)の要素\(a\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して終集合\(B\)の要素を1つずつ定めます。これを\(f\)による\(a\)の像（image）と呼び、\begin{equation*}f\left( a\right)
\end{equation*}で表記します。
\end{equation*}を像として定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は写像です。
写像\(f:A\rightarrow B\)は集合\(A\)のそれぞれの要素に対して集合\(B\)の要素を1つずつ定める規則でなければなりません。つまり、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists !b\in B:b=f\left( a\right)
\end{equation*}を満たす\(f\)だけが\(A\)から\(B\)への写像として認められます。ただし、\(\exists !\)は「一意的に存在する」ことを表す記号です。一方、\(A\)の少なくとも1つの要素\(a\)に対してその像\(f\left( a\right) \)が存在しない場合や、\(A\)の少なくとも1つの要素\(a\)に対してその像\(f\left( a\right) \)が一意的に定まらない場合などには、\(f\)は\(A\)から\(B\)への写像ではありません。
\end{equation*}を像として定める\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。\(0\)は始集合\(\mathbb{R} \)の要素ですが、実数をゼロで割ることはできないため、\begin{equation*}f\left( 0\right) =\frac{1}{0}
\end{equation*}は定義されず、したがってこの\(f\)は写像ではありません。一方、\(f\)の始集合を\(\mathbb{R} \)から\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)へ縮小して\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)とすると、始集合の要素\(x\)は非ゼロの実数であることが保証されるため、それに対して\(f\left( x\right) =\frac{1}{x}\)は1つの実数として必ず定まります。したがって\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)は写像です。
\end{equation*}を定める\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。非負の実数\(1\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( 1\right) =\sqrt{1}=\pm 1
\end{equation*}となります。つまり、\(f\)が\(1\)に対して定める実数は複数存在するため、この\(f\)は写像としての要件を満たしません。このような\(f\)を多価関数（multivalued function）と呼びます。多価関数は写像ではありません。
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、始集合\(A\)に属する「異なる」要素\(a,a^{\prime }\)を任意に選びそれらの像\(f\left( a\right) ,f\left( a^{\prime}\right) \)をとると、それらは一致するとは限りませんし、逆に、一致しても構いません。どちらの場合でも写像の定義には抵触しないため、何も問題ありません。
繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)は始集合\(A\)のそれぞれの要素\(a \)に対して終集合\(B\)の要素である\(f\left( a\right) \)を 1 つずつ定めるものでなければなりません。一方、\(B\)の要素\(b\)を任意に選ぶと、それに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(A\)の要素\(a\)は存在するとは限りませんが、その場合にも写像の定義には抵触しないため問題ありません。
\end{equation*}となります。一方、始集合の要素である実数\(1,-1\)に注目すると、それらの像は、\begin{equation*}f\left( 1\right) =1=f\left( -1\right)
\end{equation*}となります。いずれにせよ、このような事態が起きていても写像として何も問題なく、この\(f\)は\(\mathbb{R} \)から\(\mathbb{R} \)への写像です。
写像\(f:A\rightarrow B\)の始集合\(A\)と終集合\(B\)は一致するとは限りませんし、逆に、一致しても構いません。どちらの場合でも写像の定義には抵触しないため、何も問題ありません。
\end{equation*}を満たす場合、この\(f\)を\(A\)上の恒等写像（identity mapping on \(A\)）と呼びます。
等しい写像
2 つの写像\(f:A\rightarrow B\)と\(g:C\rightarrow D\)が与えられたとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A=C \\
&&\left( b\right) \ B=D \\
&&\left( c\right) \ \forall a\in A:f\left( a\right) =g\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(f\)と\(g\)は等しい（equal）といい、そのことを\(f=g\)で表します。つまり、2つの写像\(f,g\)が等しいとは、それらの始集合どうし、終集合どうしがそれぞれ一致するとともに、始集合のそれぞれの要素に対して、\(f\)が定める像と\(g\)が定める像が常に一致することを意味します。
g\left( x\right) &=&\left\vert x\right\vert
\end{eqnarray*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&\left\vert x\right\vert \quad \because g\text{の定義} \\
&=&x\quad \because x\in \mathbb{R} _{+} \\
&=&f\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(f\)と\(g\)は等しい写像です。
逆に、2つの写像\(f:A\rightarrow B\)と\(g:C\rightarrow D\)に対して先の\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)の中の少なくとも1つの条件が成り立たない場合、\(f\)と\(g\)は異なる（notequal）といい、そのことを\(f\not=g\)で表します。
g\left( x\right) &=&\left\vert x\right\vert
\end{eqnarray*}を定めるものとします。先とは異なり、\(f\)と\(g\)の始集合は\(\mathbb{R} _{+}\)ではなく\(\mathbb{R} \)である点に注意してください。\(f\)と\(g\)は始集合と終集合を共有しますが、始集合の要素である\(-1\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( -1\right) =-1\not=1=g\left( -1\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)と\(g \)は異なる写像です。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\(f\)の始集合を\(\mathbb{R} _{+}\)に制限して得られる写像を\(g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)で表します。この写像はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定める一方、そもそも\(f\)と\(g\)の始集合は異なるため、これらは異なる写像として区別されます。
演習問題
\end{equation*}を満たすものとして\(f:A\rightarrow B\)は定義されます。\(f\)は写像でしょうか。理由とともに答えてください。
\end{equation*}を満たすものとして\(f:A\rightarrow A\)は定義されます。\(f\)は写像でしょうか。理由とともに答えてください。
\end{equation*}を満たすものとして\(f:A\rightarrow A\)は定義されます。\(f\)は写像でしょうか。理由とともに答えてください。
\end{equation*}を満たすものとして\(f:A\rightarrow A\)は定義されます。\(f\)は写像でしょうか。理由とともに答えてください。
- \(f\left( \frac{p}{q}\right) =\frac{p+1}{p-2}\)
- \(f\left( \frac{p}{q}\right) =\frac{3p}{3q}\)
- \(f\left( \frac{p}{q}\right) =\frac{p+q}{q^{2}}\)
- \(f\left( \frac{p}{q}\right) =\frac{3p^{2}}{7q^{2}}-\frac{p}{q}\)
次回は写像のグラフについて解説します。
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