写像のグラフ

写像 f:X→Y が与えられたとき、y=f(x) が真になるような順序対 (x, y)∈X×Y からなる集合を f のグラフと呼びます。

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写像のグラフ

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、\(b=f\left( a\right) \)が真になるような順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)からなる集合\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ b=f\left(
a\right) \right\}
\end{equation*}を\(f\)のグラフ(graph)と呼びます。\(G\left( f\right) \)は\(A\times B\)の部分集合です。

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選ぶと、グラフ\(G\left( f\right) \)の定義より、\begin{equation*}
\left( a,b\right) \in G\left( f\right) \ \Leftrightarrow \ b=f\left(
a\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、順序対\(\left( a,b\right) \)が写像\(f\)のグラフの要素であることは、\(f\)による\(a\)の像が\(b\)であるための必要十分条件です。

例(写像のグラフ)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{ a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)がグラフ\(G\left( f\right) \)の要素であることは、\(a\)から\(b\)へ伸びる矢印が存在することを意味するため、\(G\left( f\right) =\left\{ \left( 1,b\right) ,\left( 2,a\right) ,\left( 3,b\right) \right\} \)となります。
図:写像のグラフ
図:写像のグラフ
例(写像のグラフ)
関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =2x+1\)と定義されているとき、そのグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in
\mathbb{R}\times
\mathbb{R}\ |\ y=2x+1\right\}
\end{equation*}となります。これを視覚化すると下図の斜線になります。図より、それぞれの実数\(x\)に対して\(\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \)を満たす実数\(y\)が一意的に存在することが確認できます。
図:写像のグラフ
図:写像のグラフ

 

写像のグラフの特徴づけ

写像\(f:A\rightarrow B\)のグラフ\(G\left( f\right) \)は直積\(A\times B\)の部分集合ですが、これはどのような性質を満たす集合でしょうか。写像の定義より、\(a\in A\)を任意に選んだとき、それに対して\(b=f\left( a\right) \)を満たす\(b\in A\)が 1 つずつ定まります。写像のグラフの定義より、これは、\(a\in A\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( a,b\right) \in G\left( f\right) \)を満たす\(b\in B\)が 1 つずつ定まることを意味します。

命題(写像のグラフの性質)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、そのグラフ\(G\left( f\right) \subset A\times B\)は、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists !b\in B:\left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}を満たす。ただし、\(\exists !\)は「一意的に存在する」ことを表す記号である。
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逆に、直積\(A\times B\)の部分集合\(G\)が、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists !b\in B:\left( a,b\right) \in G
\end{equation*}という性質を満たすものとします。このとき、それぞれの\(a\in A\)に対して\(\left( a,b\right) \in G\)を満たすような\(b\)を\(f\left( a\right) \)として定める規則\(f:A\rightarrow B\)を定めれば、これは\(A\)から\(B\)への写像になります。

命題(写像のグラフであるための条件)
集合\(A,B\)に対して、その直積の部分集合\(G\subset A\times B\)が、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists !b\in B:\left( a,b\right) \in G
\end{equation*}を満たす場合には、\(G=G\left( f\right) \)を満たす写像\(f:A\rightarrow B\)が存在する。ただし、\(\exists !\)は「一意的に存在する」ことを表す記号である。
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上の 2 つの命題より、以下を得ます。

命題(写像のグラフ)
集合\(A,B\)に対して、その直積の部分集合\(G\subset A\times B\)が、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists !b\in B:\left( a,b\right) \in G
\end{equation*}を満たすことは、\(G=G\left( f\right) \)を満たす写像\(f:A\rightarrow B\)が存在するための必要十分条件である。ただし、\(\exists !\)は「一意的に存在する」ことを表す記号である。
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上の命題より、集合\(A\)から集合\(B\)への写像\(f:A\rightarrow B\)を、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists !b\in B:\left( a,b\right) \in G
\end{equation*}という条件を満たす直積\(A\times B\)の部分集合\(G\)と同一視することができます。

例(写像のグラフ)
直積\(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\)の部分集合\(G\)が下図の曲線として与えられているものとします。図より、それぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(\left( x,y\right) \in G\)を満たす\(y\in \mathbb{R}\)は 1 つずつ存在するため、上の命題より、これは何らかの関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)のグラフです。
図:写像のグラフ
図:写像のグラフ
例(写像のグラフ)
直積\(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\)の部分集合\(G\)が下図の曲線として与えられているものとします。図より、\(x\in \mathbb{R}\)に対して\(\left( x,y\right) \in G\)を満たす\(y\in \mathbb{R}\)は一意的に定まるとは限らないため、上の命題より、この\(G\)をグラフとするような関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)は存在しません。
図:写像のグラフではない
図:写像のグラフではない

次回は写像による像という概念について学びます。
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