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写像のグラフ

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写像のグラフ

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、\(b=f\left( a\right) \)が真になるような順序対\(\left(a,b\right) \in A\times B\)からなる集合を、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ b=f\left(
a\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)のグラフ(graph)と呼びます。\(G\left( f\right) \)は\(A\times B\)の部分集合です。

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、順序対\(\left( a,b\right)\in A\times B\)を任意に選ぶと、グラフ\(G\left( f\right) \)の定義より、\begin{equation*}\left( a,b\right) \in G\left( f\right) \Leftrightarrow b=f\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、順序対\(\left( a,b\right) \)が写像\(f\)のグラフの要素であることと、\(f\)による\(a\)の像が\(b\)であることは必要十分です。

例(写像のグラフ)
集合\(A=\left\{ 1,2,3\right\} \)と集合\(B=\left\{a,b,c\right\} \)に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。

図:写像のグラフ
図:写像のグラフ

順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)がグラフ\(G\left( f\right) \)の要素であることは\(a\)から\(b\)へ伸びる矢印が存在することと必要十分であるため、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( 1,b\right) ,\left( 2,a\right) ,\left(
3,b\right) \right\}
\end{equation*}となります。

例(写像のグラフ)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ y=2x+1\right\}
\end{equation*}であり、これを視覚化すると下図の斜線になります。図より、始集合のそれぞれの値\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \)を満たす\(y\in \mathbb{R} \)が1つずつ存在することを確認できます。

図:写像のグラフ
図:写像のグラフ

 

直積の部分集合としての写像

繰り返しになりますが、写像\(f:A\rightarrow B\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ b=f\left( a\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(A\times B\)の部分集合ですが、これはどのような性質を満たす集合でしょうか。写像\(f\)は始集合のそれぞれの要素\(a\in A\)に対してその像\(f\left( a\right) \in B\)を1つずつ定めますが、\(G\left( f\right) \)の定義より、これはそれぞれの\(a\in A\)に対して\(\left( a,b\right) \in G\left( f\right) \)を満たす\(b\in B\)が1つずつ存在することを意味します。

命題(写像のグラフの性質)
写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、そのグラフ\(G\left( f\right) \subset A\times B\)は、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists !b\in B:\left( a,b\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}を満たす。ただし、\(\exists !\)は「一意的に存在する」ことを表す記号である。
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逆に、直積\(A\times B\)の部分集合\(G\)が、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists !b\in B:\left( a,b\right) \in G
\end{equation*}という性質を満たすものとします。つまり、集合\(A\)の要素\(a\)を任意に選んだとき、\(\left( a,b\right) \in G\)を満たすような\(b\in B\)が1つずつ存在するということです。したがってこの場合、それぞれの\(a\in A\)に対して\(\left( a,b\right) \in G\)を満たすような\(b\)を\(f\left( a\right) \)として定める写像\(f:A\rightarrow B\)が定義可能であり、なおかつ\(f\)のグラフは\(G\)と一致します。

命題(写像のグラフであるための条件)
集合\(A,B\)に対して、その直積の部分集合\(G\subset A\times B\)が、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists !b\in B:\left( a,b\right) \in G
\end{equation*}を満たす場合には、\(G=G\left( f\right) \)を満たす写像\(f:A\rightarrow B\)が存在する。ただし、\(\exists !\)は「一意的に存在する」ことを表す記号である。
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上の2つの命題より、以下を得ます。

命題(写像のグラフ)
集合\(A,B\)に対して、その直積の部分集合\(G\subset A\times B\)が、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists !b\in B:\left( a,b\right) \in G
\end{equation*}を満たすことは、\(G=G\left(f\right) \)を満たす写像\(f:A\rightarrow B\)が存在するための必要十分条件である。ただし、\(\exists !\)は「一意的に存在する」ことを表す記号である。

上の命題より、集合\(A\)から集合\(B\)への写像\(f:A\rightarrow B\)を、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists !b\in B:\left( a,b\right) \in G
\end{equation*}という条件を満たす直積\(A\times B\)の部分集合\(G\)と同一視することができます。

例(写像のグラフ)
直積\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \)の部分集合\(G\)が下図の曲線として与えられているものとします。図より、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(\left( x,y\right) \in G\)を満たす\(y\in \mathbb{R} \)が1つずつ存在するため、上の命題より、これは何らかの関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフです。

図:写像のグラフ
図:写像のグラフ
例(写像のグラフ)
直積\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \)の部分集合\(G\)が下図の曲線として与えられているものとします。図より、\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(\left( x,y\right) \in G\)を満たす\(y\in \mathbb{R} \)は一意的に定まるとは限らないため、上の命題より、この\(G\)をグラフとするような関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在しません。

図:写像のグラフではない
図:写像のグラフではない

 

演習問題

問題(写像のグラフ)
集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ 1,3,5,7\right\} \\
B &=&\left\{ 1,3,5,7,9,11\right\}
\end{eqnarray*}と定義されています。さらに写像\(f:A\rightarrow B\)はそれぞれの\(a\in A\)に対して、\begin{equation*}f\left( a\right) =a+2
\end{equation*}を定めるものとして定義されています。この写像\(f\)のグラフ\(G\left(f\right) \)の要素を明らかにしてください。
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問題(写像のグラフ)
集合\(A=\left\{ 1,2,3,4\right\} \)が与えられたとき、以下の中で\(A\)から\(A\)への写像であるものを特定してください。また、\(A\)から\(A\)への写像でないものについては、その理由を述べてください。

  1. \(f=\left\{ \left( 2,3\right) ,\left( 1,4\right) ,\left( 2,1\right),\left( 3,2\right) ,\left( 4,4\right) \right\} \)
  2. \(g=\left\{ \left( 3,1\right) ,\left( 4,2\right) ,\left( 1,1\right)\right\} \)
  3. \(h=\left\{ \left( 2,1\right) ,\left( 3,4\right) ,\left( 1,4\right),\left( 2,1\right) ,\left( 4,4\right) \right\} \)
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次回は写像による像という概念について学びます。

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