写像のグラフ

写像のグラフ

写像\(f:A\rightarrow B\)が与えられたとき、以下の命題\begin{equation*}b=f\left( a\right)
\end{equation*}が真になるような順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ b=f\left(
a\right) \right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(f\)のグラフ（graph）と呼びます。明らかに、\begin{equation*}G\left( f\right) \subset A\times B
\end{equation*}です。

写像\(f:A\rightarrow B\)のグラフは\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ b=f\left(
a\right) \right\}
\end{equation*}と定義されるため、順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left( a,b\right) \in G\left( f\right) \Leftrightarrow b=f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、順序対\(\left( a,b\right) \)が写像\(f\)のグラフの要素であることと、写像\(f\)が\(a\)に対して定める像が\(b\)と一致することは必要十分です。

例（写像のグラフ）

以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
B &=&\left\{ a,b,c\right\}
\end{eqnarray*}に対して、写像\(f:A\rightarrow B\)を以下の図で定義します。

順序対\(\left( a,b\right) \in A\times B\)がグラフ\(G\left( f\right) \)の要素であることと\(b=f\left( a\right) \)が成り立つことは必要十分であり、さらに\(b=f\left( a\right) \)であることは\(a\)から\(b\)へ伸びる矢印が存在することを意味するため、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( 1,b\right) ,\left( 2,a\right) ,\left(
3,b\right) \right\}
\end{equation*}となります。

例（写像のグラフ）

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ |\ y=2x+1\right\}
\end{equation*}であり、これは下図の直線として描かれます。

図より、始集合のそれぞれの値\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \)を満たす\(y\in \mathbb{R} \)が1つずつ存在することを確認できます。

直積の部分集合としての写像

写像\(f:A\rightarrow B\)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( a,b\right) \in A\times B\ |\ b=f\left(
a\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(A\times B\)の部分集合ですが、これはどのような性質を満たす集合でしょうか。

写像\(f\)は始集合のそれぞれの要素\(a\in A\)に対してその像\(f\left( a\right) \in B\)を1つずつ定めますが、以上の事実は、それぞれの\(a\in A\)に対して\(\left( a,b\right)\in G\left( f\right) \)を満たす\(b\in B\)が1つずつ存在することを意味します。

逆に、直積\(A\times B\)の部分集合\(G\)が以下の性質\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists !b\in B:\left( a,b\right) \in G
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、集合\(A\)の要素\(a\)を任意に選んだとき、それに対して\(\left( a,b\right) \in G\)を満たすような\(b\in B\)が1つずつ存在するということです。この場合、この\(G\)をグラフとして持つような写像\(f:A\rightarrow B\)が存在することを保証できます。

以上の2つの命題より、以下の概念の間には1対1の関係が成立することが明らかになりました。したがって、これらの概念は実質的に等しく、互いに交換可能です。

1. 写像\(f:A\rightarrow B\)
2. 写像\(f:A\rightarrow B\)のグラフ\(G\left( f\right) \)
3. 以下の条件\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists !b\in B:\left( a,b\right) \in G
   \end{equation*}を満たす集合\(G\subset A\times B\)

例（写像のグラフ）

直積\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \)の部分集合\(G\)が下図の曲線として与えられているものとします。

図より、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(\left( x,y\right) \in G\)を満たす\(y\in \mathbb{R} \)は1つずつ存在するため、先の命題より、これは何らかの写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフです。

例（写像のグラフではない集合）

直積\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \)の部分集合\(G\)が下図の曲線として与えられているものとします。

図より、\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(\left( x,y\right) \in G\)を満たす\(y\in \mathbb{R} \)は一意的に定まるとは限らないため、先の命題より、この\(G\)をグラフとするような写像\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在しません。

演習問題