順序対
何らかの2つの対象\(a,b\)が与えられたとき、これらを並べる順番を考慮した上で組にしたものを順序対（ordered pair）と呼びます。具体的には、1番目の要素が\(a\)で2番目の要素が\(b\)であるような順序対を、\begin{equation*}\left( a,b\right)
\end{equation*}と表記します。この場合、\(a\)を第1成分（first entry）と呼び、\(b\)を第2成分（second entry）と呼びます。一方、第1成分が\(b\)で第2成分が\(a\)であるような順序対は、\begin{equation*}\left( b,a\right)
\end{equation*}と表記されます。順序対\(\left( a,b\right) \)を構成する成分\(a,b\)は異なる対象でなくてもかまいません。
2,2\right)
\end{equation*}などが考えられます。
a,b\right\} ,\left\{ 1,2\right\} \right) \\
&&\left( \left\{ 1,2\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right) ,\ \left( \left\{
a,b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right)
\end{eqnarray*}などが考えられます。
1,\left\{ a,b\right\} \right) ,\ \left( \left\{ a,b\right\} ,\left\{
a,b\right\} \right)
\end{equation*}などが考えられます。
順序対の固有性
2つの順序対\(\left( a,b\right) ,\left(c,d\right) \)が等しい（equal）こととは、それらの対応する成分どうしが等しいこととして定義されます。つまり、\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left( c,d\right) \Leftrightarrow \left( a=c\wedge
b=d\right)
\end{equation*}を満たすものとして順序対どうしの相等関係\(=\)を定義するということです。この性質を順序対の固有性（characteristic property）と呼びます。このとき、\begin{equation*}\left( a,b\right) \not=\left( c,d\right) \Leftrightarrow \left( a\not=c\vee
b\not=d\right)
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。つまり、2つの順序対の対応する成分の中に異なるものが存在するとき、そしてその場合にのみ、それらの順序対は異なるものとして判定されます。
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(a\)と\(b\)が異なる要素である場合、そしてその場合にのみ\(\left( a,b\right) \)と\(\left(b,a\right) \)を異なる順序対として判定するということです。これは、順序対が2つの要素を並べる順番を考慮した上で組にしたものであることと整合的です。同時に、\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left( b,a\right) \Leftrightarrow a=b
\end{equation*}という関係も成り立ちます。つまり、\(a\)と\(b\)が等しい場合、そしてその場合にのみ\(\left(a,b\right) \)と\(\left( b,a\right) \)は等しい順序対とみなされます。これもまた当然です。
集合の直積
2つの集合\(A,B\)が任意に与えられたとき、\(A\)の要素\(a\)と\(B\)の要素\(b\)を1つずつ選べばそこから順序対\(\left( a,b\right) \)を作ることができます。このような順序対をすべて集めてできる集合を\(A\)と\(B\)の直積（direct product）やカルテシアン積（Cartesian product）などと呼び、\begin{equation*}A\times B
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{equation*}
A\times B=\left\{ \left( a,b\right) \ |\ a\in A\wedge b\in B\right\}
\end{equation*}です。
B &=&\left\{ 1,2\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、\begin{eqnarray*}
A\times B &=&\left\{ \left( a,1\right) ,\left( a,2\right) ,\left( b,1\right)
,\left( b,2\right) ,\left( c,1\right) ,\left( c,2\right) \right\} \\
B\times A &=&\left\{ \left( 1,a\right) ,\left( 1,b\right) ,\left( 1,c\right)
,\left( 2,a\right) ,\left( 2,b\right) ,\left( 2,c\right) \right\} \\
A\times A &=&\left\{ \left( a,a\right) ,\left( a,b\right) ,\left( a,c\right)
,\left( b,a\right) ,\left( b,b\right) ,\left( b,c\right) ,\left( c,a\right)
,\left( c,b\right) ,\left( c,c\right) \right\} \\
B\times B &=&\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 2,1\right)
,\left( 2,2\right) \right\}
\end{eqnarray*}などとなります。
B &=&\left\{ x\in \mathbb{N} \ |\ x^{2}=x\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、\begin{equation*}
A\times B=\left\{ \left( \sqrt{2},1\right) ,\left( -\sqrt{2},1\right)
\right\}
\end{equation*}となります。
\left( 1,-1\right) &\in &\mathbb{N} \times \mathbb{Z} \\
\left( 2,2\right) &\in &\mathbb{N} \times \mathbb{Z} \\
\left( 3,0\right) &\in &\mathbb{N} \times \mathbb{Z} \end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\left( -1,1\right) &\not\in &\mathbb{N} \times \mathbb{Z} \\
\left( 0,\frac{1}{2}\right) &\not\in &\mathbb{N} \times \mathbb{Z} \\
\left( 1,\pi \right) &\not\in &\mathbb{N} \times \mathbb{Z} \end{eqnarray*}などとなります。
集合\(A,B\)からは以下の2つの直積\begin{eqnarray*}A\times B &=&\left\{ \left( a,b\right) \ |\ a\in A\wedge b\in B\right\} \\
B\times A &=&\left\{ \left( b,a\right) \ |\ b\in B\wedge a\in A\right\}
\end{eqnarray*}が定義可能です。\(A\not=B\)の場合、\(A\times B\)と\(B\times A\)のどちらか一方だけの要素であるような順序対が存在するため（演習問題とします）、\begin{equation*}A\not=B\Rightarrow A\times B\not=B\times A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一方、\(A=B\)の場合、\(A\times B\)と\(B\times A\)はお互いに同じ順序対だけ要素として持つため（演習問題とします）、\begin{equation*}A=B\Rightarrow A\times B=B\times A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、同じ集合\(A\)どうしの直積\(A\times A\)を\(A^{2}\)と表記します。つまり、\begin{equation*}A^{2}=\left\{ \left( a_{1},a_{2}\right) \ |\ a_{1}\in A\wedge a_{2}\in
A\right\}
\end{equation*}です。
\quad \because \text{直積の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\wedge \bot \quad \because \text{空集合の定義（}\bot \text{は恒偽式）} \\
&\Leftrightarrow &\bot \quad \because \text{恒等律} \\
&\Leftrightarrow &\left( x,y\right) \in \phi \quad \because \text{空集合の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
A\times \phi =\phi
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、任意の集合と空集合の直積は空集合です。同様に考えると、任意の集合\(A\)について、\begin{equation*}A\times \phi =\phi \times A=\phi \times \phi =\phi
\end{equation*}が成り立つことが示されます（演習問題とします）。
演習問題
B &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
C &=&\left\{ x\right\}
\end{eqnarray*}とそれぞれ定めます。このとき、以下の集合の要素をすべて明らかにしてください。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\times B \\
&&\left( b\right) \ B\times A \\
&&\left( c\right) \ \left( A\cup C\right) \times B
\end{eqnarray*}
&&\left( b\right) \ A=B\Rightarrow A\times B=B\times A
\end{eqnarray*}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\cup \left( B\times C\right) \\
&&\left( b\right) \ \left( A\cap B\right) \times C=\left( A\times C\right)
\cap \left( B\times C\right) \\
&&\left( c\right) \ A\times \left( B\cup C\right) =\left( A\times B\right)
\cup \left( A\times C\right) \\
&&\left( d\right) \ A\times \left( B\cap C\right) =\left( A\times B\right)
\cap \left( A\times C\right)
\end{eqnarray*}
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