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2つの集合の直積(カルテシアン積)

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順序対

何らかの2つの対象\(a,b\)が与えられたとき、これらを並べる順番を考慮した上で組にしたものを順序対(ordered pair)と呼びます。具体的には、1番目の要素が\(a\)で2番目の要素が\(b\)であるような順序対を、\begin{equation*}\left( a,b\right)
\end{equation*}と表記します。この場合、\(a\)を第1成分(first entry)と呼び、\(b\)を第2成分(second entry)と呼びます。一方、第1成分が\(b\)で第2成分が\(a\)であるような順序対は、\begin{equation*}\left( b,a\right)
\end{equation*}と表記されます。順序対\(\left( a,b\right) \)を構成する成分\(a,b\)は異なる対象でなくてもかまいません。

例(順序対)
整数\(1,2\)を成分として持つ順序対としては、\begin{equation*}\left( 1,1\right) ,\ \left( 1,2\right) ,\ \left( 2,1\right) ,\ \left(
2,2\right)
\end{equation*}などが考えられます。

例(順序対)
集合\(\left\{ 1,2\right\} ,\left\{ a,b\right\} \)を成分として持つ順序対としては、\begin{eqnarray*}&&\left( \left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 1,2\right\} \right) ,\ \left( \left\{
a,b\right\} ,\left\{ 1,2\right\} \right) \\
&&\left( \left\{ 1,2\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right) ,\ \left( \left\{
a,b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right)
\end{eqnarray*}などが考えられます。

例(順序対)
整数\(1\)と集合\(\left\{ a,b\right\} \)を成分として持つ順序対としては、\begin{equation*}\left( 1,1\right) ,\ \left( \left\{ a,b\right\} ,1\right) ,\ \left(
1,\left\{ a,b\right\} \right) ,\ \left( \left\{ a,b\right\} ,\left\{
a,b\right\} \right)
\end{equation*}などが考えられます。

 

順序対の固有性

2つの順序対\(\left( a,b\right) ,\left(c,d\right) \)が等しい(equal)こととは、それらの対応する成分どうしが等しいこととして定義されます。つまり、\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left( c,d\right) \Leftrightarrow \left( a=c\wedge
b=d\right)
\end{equation*}を満たすものとして順序対どうしの相等関係\(=\)を定義するということです。この性質を順序対の固有性(characteristic property)と呼びます。このとき、\begin{equation*}\left( a,b\right) \not=\left( c,d\right) \Leftrightarrow \left( a\not=c\vee
b\not=d\right)
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。つまり、2つの順序対の対応する成分の中に異なるものが存在するとき、そしてその場合にのみ、それらの順序対は異なるものとして判定されます。

例(順序対の固有性)
要素\(a,b\)が与えられたとき、順序対の固有性より、\begin{equation*}\left( a,b\right) \not=\left( b,a\right) \Leftrightarrow a\not=b
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(a\)と\(b\)が異なる要素である場合、そしてその場合にのみ\(\left( a,b\right) \)と\(\left(b,a\right) \)を異なる順序対として判定するということです。これは、順序対が2つの要素を並べる順番を考慮した上で組にしたものであることと整合的です。同時に、\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left( b,a\right) \Leftrightarrow a=b
\end{equation*}という関係も成り立ちます。つまり、\(a\)と\(b\)が等しい場合、そしてその場合にのみ\(\left(a,b\right) \)と\(\left( b,a\right) \)は等しい順序対とみなされます。これもまた当然です。

 

集合の直積

2つの集合\(A,B\)が任意に与えられたとき、\(A\)の要素\(a\)と\(B\)の要素\(b\)を1つずつ選べばそこから順序対\(\left( a,b\right) \)を作ることができます。このような順序対をすべて集めてできる集合を\(A\)と\(B\)の直積(direct product)やカルテシアン積(Cartesian product)などと呼び、\begin{equation*}A\times B
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{equation*}
A\times B=\left\{ \left( a,b\right) \ |\ a\in A\wedge b\in B\right\}
\end{equation*}です。

例(集合の直積)
集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ a,b,c\right\} \\
B &=&\left\{ 1,2\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、\begin{eqnarray*}
A\times B &=&\left\{ \left( a,1\right) ,\left( a,2\right) ,\left( b,1\right)
,\left( b,2\right) ,\left( c,1\right) ,\left( c,2\right) \right\} \\
B\times A &=&\left\{ \left( 1,a\right) ,\left( 1,b\right) ,\left( 1,c\right)
,\left( 2,a\right) ,\left( 2,b\right) ,\left( 2,c\right) \right\} \\
A\times A &=&\left\{ \left( a,a\right) ,\left( a,b\right) ,\left( a,c\right)
,\left( b,a\right) ,\left( b,b\right) ,\left( b,c\right) ,\left( c,a\right)
,\left( c,b\right) ,\left( c,c\right) \right\} \\
B\times B &=&\left\{ \left( 1,1\right) ,\left( 1,2\right) ,\left( 2,1\right)
,\left( 2,2\right) \right\}
\end{eqnarray*}などとなります。

例(集合の直積)
集合\(A,B\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}=2\right\} \\
B &=&\left\{ x\in \mathbb{N} \ |\ x^{2}=x\right\}
\end{eqnarray*}で与えられているとき、\begin{equation*}
A\times B=\left\{ \left( \sqrt{2},1\right) ,\left( -\sqrt{2},1\right)
\right\}
\end{equation*}となります。

例(集合の直積)
すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)とすべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)について、\begin{equation*}\mathbb{N} \times \mathbb{Z} =\left\{ \left( n,z\right) \ |\ n\in \mathbb{N} \wedge z\in \mathbb{Z} \right\} \end{equation*}となります。例えば、\begin{eqnarray*}
\left( 1,-1\right) &\in &\mathbb{N} \times \mathbb{Z} \\
\left( 2,2\right) &\in &\mathbb{N} \times \mathbb{Z} \\
\left( 3,0\right) &\in &\mathbb{N} \times \mathbb{Z} \end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\left( -1,1\right) &\not\in &\mathbb{N} \times \mathbb{Z} \\
\left( 0,\frac{1}{2}\right) &\not\in &\mathbb{N} \times \mathbb{Z} \\
\left( 1,\pi \right) &\not\in &\mathbb{N} \times \mathbb{Z} \end{eqnarray*}などとなります。

集合\(A,B\)からは以下の2つの直積\begin{eqnarray*}A\times B &=&\left\{ \left( a,b\right) \ |\ a\in A\wedge b\in B\right\} \\
B\times A &=&\left\{ \left( b,a\right) \ |\ b\in B\wedge a\in A\right\}
\end{eqnarray*}が定義可能です。\(A\not=B\)の場合、\(A\times B\)と\(B\times A\)のどちらか一方だけの要素であるような順序対が存在するため(演習問題とします)、\begin{equation*}A\not=B\Rightarrow A\times B\not=B\times A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。一方、\(A=B\)の場合、\(A\times B\)と\(B\times A\)はお互いに同じ順序対だけ要素として持つため(演習問題とします)、\begin{equation*}A=B\Rightarrow A\times B=B\times A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。特に、同じ集合\(A\)どうしの直積\(A\times A\)を\(A^{2}\)と表記します。つまり、\begin{equation*}A^{2}=\left\{ \left( a_{1},a_{2}\right) \ |\ a_{1}\in A\wedge a_{2}\in
A\right\}
\end{equation*}です。

例(集合の直積)
すべての実数からなる集合を\(\mathbb{R} \)で表します。これは数直線上のすべての点からなる集合です。このとき、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{2}=\left\{ \left( x,y\right) \ |\ x\in \mathbb{R} \wedge y\in \mathbb{R} \right\}\end{equation*}となります。つまり、\(\mathbb{R} ^{2}\)は実数を成分とする座標\(\left( x,y\right) \)からなる集合であり、これは2次元平面上のすべての点からなる集合です。
例(集合の直積)
空集合\(\phi \)も集合であるため、それと任意の集合\(A\)の直積\(A\times \phi \)をとることができます。このとき、任意の順序対\(\left( x,y\right) \)について、\begin{eqnarray*}\left( x,y\right) \in A\times \phi &\Leftrightarrow &x\in A\wedge y\in \phi
\quad \because \text{直積の定義} \\
&\Leftrightarrow &x\in A\wedge \bot \quad \because \text{空集合の定義(}\bot \text{は恒偽式)} \\
&\Leftrightarrow &\bot \quad \because \text{恒等律} \\
&\Leftrightarrow &\left( x,y\right) \in \phi \quad \because \text{空集合の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
A\times \phi =\phi
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、任意の集合と空集合の直積は空集合です。同様に考えると、任意の集合\(A\)について、\begin{equation*}A\times \phi =\phi \times A=\phi \times \phi =\phi
\end{equation*}が成り立つことが示されます(演習問題とします)。

 

演習問題

問題(集合の直積)
集合\(A,B,C\)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}A &=&\left\{ a,b,c\right\} \\
B &=&\left\{ 1,2,3\right\} \\
C &=&\left\{ x\right\}
\end{eqnarray*}とそれぞれ定めます。このとき、以下の集合の要素をすべて明らかにしてください。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\times B \\
&&\left( b\right) \ B\times A \\
&&\left( c\right) \ \left( A\cup C\right) \times B
\end{eqnarray*}
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問題(集合の直積)
集合\(A,B\)をそれぞれ任意に選んだとき、以下が成り立つことを証明してください。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\not=B\Rightarrow A\times B\not=B\times A \\
&&\left( b\right) \ A=B\Rightarrow A\times B=B\times A
\end{eqnarray*}
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問題(集合の直積)
集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\times \phi =\phi \times A=\phi \times \phi =\phi
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(集合の直積)
集合\(A,B,C\)を任意に選んだとき、以下が成り立つことを証明してください。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( A\cup B\right) \times C=\left( A\times C\right)
\cup \left( B\times C\right) \\
&&\left( b\right) \ \left( A\cap B\right) \times C=\left( A\times C\right)
\cap \left( B\times C\right) \\
&&\left( c\right) \ A\times \left( B\cup C\right) =\left( A\times B\right)
\cup \left( A\times C\right) \\
&&\left( d\right) \ A\times \left( B\cap C\right) =\left( A\times B\right)
\cap \left( A\times C\right)
\end{eqnarray*}
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次回は有限集合族の直積集合について学びます。

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