直積の補集合

直積の補集合と補集合の直積の関係

2つの集合\begin{eqnarray*}
A &\subset &U_{A} \\
B &\subset &U_{B}
\end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。ただし、\(U_{A},U_{B}\)は全体集合です。この場合、それぞれの集合の補集合は、\begin{eqnarray*}A^{c} &=&U_{A}\backslash A \\
B^{c} &=&U_{B}\backslash B
\end{eqnarray*}と定義されます。

集合\(A,B\)の直積は、\begin{equation*}A\times B=\left\{ \left( a,b\right) \in U_{A}\times U_{B}\ |\ a\in A\wedge
b\in B\right\}
\end{equation*}と定義されますが、以下の関係\begin{equation*}
A\times B\subset U_{A}\times U_{B}
\end{equation*}が成り立つため、全体集合を\(U_{A}\times U_{B}\)とみなした場合の直積\(A\times B\)の補集合を、\begin{equation*}\left( A\times B\right) ^{c}=\left( U_{A}\times U_{B}\right) \backslash
\left( A\times B\right)
\end{equation*}と定義できます。

集合\(A,B\)の補集合と直積\(A\times B\)の補集合の間に以下の関係\begin{equation*}\left( A\times B\right) ^{c}=A^{c}\times B^{c}
\end{equation*}は成り立つとは限りません。つまり、直積の補集合は補集合の直積と一致するとは限りません。以下の例より明らかです。

集合\(A,B\)の補集合\(A^{c},B^{c}\)と、直積\(A\times B\)の補集合\(\left(A\times B\right) ^{c}\)の間には以下の関係\begin{equation*}\left( A\times B\right) ^{c}=A^{c}\times B^{c}
\end{equation*}は成り立つとは限らないことが明らかになりました。その一方で、以下の関係\begin{equation*}
A^{c}\times B^{c}\subset \left( A\times B\right) ^{c}
\end{equation*}は常に成り立ちます。つまり、補集合の直積は直積の補集合の部分集合になります。

2つの集合の直積の補集合

集合\(A,B\)の補集合\(A^{c},B^{c}\)と、直積\(A\times B\)の補集合\(\left(A\times B\right) ^{c}\)の間には以下の関係\begin{equation*}\left( A\times B\right) ^{c}=A^{c}\times B^{c}
\end{equation*}は成り立つとは限らないことが明らかになりました。その一方で、以下の関係\begin{equation*}
\left( A\times B\right) ^{c}=\left( A^{c}\times U_{B}\right) \cup \left(
U_{A}\times B^{c}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( U_{A}\times U_{B}\right) \backslash \left( A\times B\right) =\left(
U_{A}\backslash A\times U_{B}\right) \cup \left( U_{A}\times \left(
U_{B}\backslash B\right) \right)
\end{equation*}は常に成り立ちます。

有限集合族の直積の補集合

有限集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)が与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :A_{i}\subset U_{i}
\end{equation*}です。つまり、\(\left\{U_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)は全体集合の族です。この場合、それぞれの集合の補集合は、\begin{equation*}A_{i}^{c}=U_{i}\backslash A_{i}\quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}と定義されます。

集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の直積は、\begin{equation*}\prod_{i=1}^{n}A_{i}=\left\{ \left( a_{i}\right) _{i=1}^{n}\in
\prod_{i=1}^{n}U_{i}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}\in
A_{i}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、以下の関係\begin{equation*}
\prod_{i=1}^{n}A_{i}\subset \prod_{i=1}^{n}U_{i}
\end{equation*}が成り立つため、全体集合を\(\prod_{i=1}^{n}U_{i}\)とみなした場合の直積\(\prod_{i=1}^{n}A_{i}\)の補集合を、\begin{equation*}\left( \prod_{i=1}^{n}A_{i}\right) ^{c}=\left( \prod_{i=1}^{n}U_{i}\right)
\backslash \left( \prod_{i=1}^{n}A_{i}\right)
\end{equation*}と定義できます。

集合族\(\left\{ A_{i}\right\} _{i=1}^{n}\)の要素である個々の集合\(A_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の補集合と、直積\(\prod_{i=1}^{n}A_{i}\)の補集合の間には以下の関係\begin{equation*}\left( \prod_{i=1}^{n}A_{i}\right) ^{c}=\prod_{i=1}^{n}A_{i}^{c}
\end{equation*}は成り立つとは限りません。つまり、直積の補集合は補集合の直積と一致するとは限りません。その一方で、以下の関係

\begin{equation*}
\left( \prod_{i=1}^{n}A_{i}\right) ^{c}=\bigcup_{i=1}^{n}\left( U_{1}\times
\cdots \times U_{i-1}\times A_{i}^{c}\times U_{i+1}\times \cdots \times
U_{n}\right)
\end{equation*}は常に成り立ちます。

演習問題